Математические основы цифровой обработки сигнала

Литература Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб для вузов. – М.: Радио и связь, Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов: Справочник. – М.: Радио и связь, 1985.

Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. – М.: Высшая школа, Солонина А.И., Улахович Д.А., Арбузов С.М., Соловьева Е.Б., Гук И.И.. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций. – СПб.: БХВ- Петербург, 2003.

Дискретные сигналы

Аналоговый сигнал – непрерывная или кусочно- непрерывная функция x(t) Дискретный сигнал (ДС) – последовательность отсчетов функции x(t), взятой в определенные моменты времени: 0Т, 1Т, 2Т, …, nТ, где Т – интервал времени, через которые берутся отсчеты (период дискретизации) Дискретизация аналогового сигнала – процесс преобразования аналогового сигнала в последовательность временных отсчетов

Дискретизация осуществляется управляемым электронным ключом Дискретный сигнал -последовательность отсчетов

Теорема Котельникова Если функция x(t) имеет спектр, ограниченный некоторой частотой, то сигнал x(t) может быть полностью восстановлен по его отсчетам, взятым через время

Выбор Искажение спектра ведет к искажению сигнала Сигнал невозможно восстановить по его отсчетам

Пример Дан прямоугольный импульс. Выполнить его дискретизацию, построить диаграмму ДС, записать числовой массив ДС, если: - верхняя граница спектра Частота дискретизации

Числовой массив ДС: период дискретизации Число отсчетов

позволяет определить спектр дискретного сигнала по последовательности его отсчетов Преобразование Фурье Дискретные непериодические сигналы

Спектр дискретного сигнала представляет собой периодическое повторение спектра аналогового сигнала с периодом повторения равным частоте дискретизации: Связь между спектрами аналогового и дискретного непериодических сигналов

дискретный сигнал его Z- изображение Z-преобразование дискретного сигнала получаются из формул преобразования Фурье для дискретного сигнала путем замены:

Свойства Z-преобразования 1.Свойство однозначности: каждой последовательности соответствует одно и только одно z-преобразование. 2.Линейность:

3. Теорема запаздывания: если, тогда 4. Теорема свертки: свертка сигналов соответствует умножению их z- преобразований

Выполнить линейную свертку входного сигнала и импульсной характеристики Пример Решение длина выходной последовательности - длина входной последовательности - длина импульсной характеристики

Z-изображения некоторых функций 1

Методы определения сигналов по его z- изображению 1. С помощью теоремы вычетов 3. Метод непрерывного деления полинома числителя на полином знаменателя 2.Приведение функции к табличной Если то

использование теоремы о вычетах Пример

Решение: приведем X(z) к виду полюсы X(z): тогда:

коэффициенты :

дискретный сигнал

отчеты ДС:

Пример Приведение функции к табличной

Пример

Преобразование Лапласа Z-преобразование Преобразование Фурье

Преобразование точек р плоскости в точки Z- плоскости При движении точки на плоскости Р вдоль оси, т.е. при, соответствующая ей точка плоскости Z описывает окружность единичного радиуса - комплексное число

Один оборот соответствует изменению частоты При движении точки р1 вдоль оси в пределах от до точка z1 описывает бесконечное число окружностей

Взаимно-однозначное отображение p на z существует только для полосы р - плоскости в пределах (левая полуплоскость - внутрь единичного круга, правая – во всю остальную z- плоскость) Все параллельные полосы р-плоскости такой же ширины также отображаются на всю z- плоскость. С помощью ряда Тейлора Билинейное Z- преобразование

Пусть имеется аналоговый периодический сигнал x(t) Спектр - дискретный Дискретные периодические сигналы

Произведем дискретизацию аналогового сигнала с периодом T = 1 мс Дискретизация периодического сигнала осуществляется на интервале, равном его периоду - число отсчетов сигнала на периоде

В силу периодичности сигнала, его спектр – дискретный, а так как сигнал дискретный, то его спектр периодический в частотной области

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) для дискретного периодического сигнала, имеющего периодический дискретный спектр Число отсчетов сигнала и число отсчетов его спектра одинаковы на периоде повторения

Огибающая спектра периодического дискретного сигнала совпадает со спектром дискретного непериодического сигнала. Можно определить спектр непериодического сигнала, используя ДПФ, для этого необходимо сделать его периодическим

Комплексные числа Алгебраическая форма записи числа Показательная форма записи числа Переход от одной формы к другой +j +1 b a A

Действия над комплексными числами 1.Сложение и вычитание (в алгебраической форме) 2.Умножение (в показательной форме) 3.Деление (в показательной форме)

Комплексно-сопряженные числа 4. Извлечение корня

Пример Применить прямое ДПФ к сигналу Делаем сигнал периодическим и ОДПФ к полученным коэффициентам ДПФ

Спектр дискретного периодического сигнала Спектр дискретного непериодического сигнала

Рассчитаем отсчеты по найденным коэффициентам ДПФ с помощью формулы ОДПФ

Дискретные цепи.

Дискретная цепь (ДЦ) – любая система (цепь), преобразующая одну последовательность х(n) в другую y(n). Свойства ДЦ: линейность– выходная реакция на сумму ДС равна сумме реакций на эти сигналы стационарность – задержка входного ДС приводит лишь к такой же задержке выходного ДС

+ Т Элементы линейных дискретных цепей: Сумматор умножитель Блок памяти с задержкой на 1 период дискретизации

рекурсивная дискретная цепь (прямая схема) Разностное уравнение

Если разностное уравнение имеет только прямые связи нерекурсивная цепь

Каноническая форма

Типовые звенья ДЦ нерекурсивные рекурсивные 1-го порядка 2-го порядка

Виды соединения звеньев 1. Каскадное 2. Параллельное 3. С обратной связью

Системные характеристики дискретных цепей Передаточная функция может быть получена путем Z-преобразования разностного уравнения

Для рекурсивной цепи Для нерекурсивной цепи

Комплексная частотная характеристика

нормированная частота Достаточно рассчитать частотную характеристику в диапазоне Частотные характеристики ДЦ – периодические функции с периодом, равным частоте дискретизации

Если полюсы передаточной функции цепи H(z) находятся внутри окружности единичного радиуса на комплексной плоскости z, то цепь устойчива Устойчивость ДЦ цепь устойчива

Импульсная характеристика дискретной цепи h(n) – реакция дискретной цепи на сигнал в виде дискретной δ-функции при

Способы определения импульсной характеристики 1. По разностному уравнению Пример

2. Выполнив обратное Z-преобразование H(z)

цепьнерекурсивнаярекурсивная H(z)полиномотношение полиномов h(n)имеет конечное число отсчетов имеет бесконечное число отсчетов Назва- ние схема с конечной импульсной характеристикой или КИХ-фильтр схема с бесконечной импульсной характеристикой или БИХ-фильтр

Определение сигнала на выходе ДЦ 1. Выполнив свертку последовательностей x(n) и h(n) 2. Определив и выполнив обратное Z-преобразование 3. По разностному уравнению 4. Определив. Для расчетов применяют ДПФ и ОДПФ.