ЛЕКЦИЯ 4 по дисциплине «Математика» на тему: «Определенный интеграл» для курсантов I курса по военной специальности «Фармация»

Рассмотрим некоторую непрерывную на конечном отрезке [a,b] функцию y=f(x). Разделим отрезок [a,b] на n частей (необязательно равных) и обозначим абсциссы точек деления A 0, A 1, A 2, …, A n-2, A n-1, A n в порядке возрастания следующим образом: x 0 =a, x 1, x 2, x 3, …, x n-2, x n-1, x n =b

Из точек деления восставим перпендикуляры к оси абсцисс до их пересечения с графиком функции в точках, соответственно: B 0, B 1, B 2, …, B n-2, B n-1, B n

На каждом из отрезков [x 0, x 1 ], [x 1, x 2 ], [x 2, x 3 ], …, [x n-2, x n-1 ], [x n-1, x n ] (эти отрезки в отличие от всего отрезка [a,b] называют частичными отрезками) выберем по одной точке (необязательно в центре отрезка), обозначив их, соответственно, с 1, с 2, с 3, …, с n-2, с n-1, с n. Из этих точек также восставим перпендикуляры к оси абсцисс до их пересечения с графиком функции.

Составим сумму произведений значений функции y=f (x) в точках c i, где индекс i – номер частичного отрезка (1, 2, 3, …, n), на величины Δx i =x i -x i-1 соответствующих отрезков:

или, в сокращенной записи

где символ означает суммирование по индексу i, последовательно изменяющемуся от 1 до n включительно.

Сумма I n называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Определение: Если существует конечный предел интегральной суммы функции y=f(x) на отрезке [a,b] при стремлении к 0 величины максимального из частичных отрезков, не зависящий от способа разделения данного отрезка на частичные отрезки и выбора на них точек c i, то такой предел называют определенным интегралом от этой функции на данном отрезке и обозначают следующим образом:

Процесс вычисления определенного интеграла называется интегрированием. Функция f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования. Числа a и b (границы отрезка [a,b]) называют, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.

Если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале [a,b], то ее n-ная интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшего частичного интервала. Этот предел не зависит от способа разбиения интервала интегрирования на частичные интервалы и от выбора в них промежуточных точек.

Основное отличие определенного интеграла от неопределенного: Неопределенный интеграл – это семейство первообразных функций; Определенный интеграл – число!

Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, т.е. плоской фигуры, ограниченной сверху графиком непрерывной функции у= f(x), снизу – осью абсцисс, слева – прямой линией x=a, справа – прямой линией x=b.

а) Метод разложения (непосредственного интегрирования)

б) Метод замены переменной (подстановки)

в) Метод интегрирования по частям

Физический смысл определенного интеграла – работа переменной силы.