Конус Геометрия 11 класс Р.О.Калошина, ГОУ лицей 533 Санкт-Петербург

План урока Историческая справка Определение прямой круговой конической поверхности Определение прямой круговой конической поверхности Сечения конической поверхности Определение прямого кругового конуса Площадь поверхности конуса Сечения конуса Усеченный конус Вопросы

Историческая справка Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287– 212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Историческая справка (продолжение) Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Платон был учеником Сократа (470–399 гг. до н. э.) и в 387 г. до н. э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии».

Историческая справка (продолжение) Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.

Историческая справка (продолжение) Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260–170 гг. до н. э.) – учеником Евклида (III в. до н. э.), который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.

Определение конической поверхности Множество всех прямых пространства, проходящих через некоторую точку S и точки линии g, называют конической поверхностью. Точка S называется вершиной конической поверхности, линия g – направляющей, а все линии, проходящие через S и точки линии g, – образующими этой поверхности. S g

Определение прямой круговой конической поверхности S – точка пересечения прямых – вершина конической поверхности; l – образующая; окружность – направляющая; p – ось поверхности S p l

Прямая круговая коническая поверхность – это поверхность, которую заполняют все прямые l, пересекающие некоторую прямую p (ось вращения) в одной точке и проходящие через каждую точку некоторой окружности. точка пересечения прямых – вершина конической поверхности l – образующие; окружность – направляющая.

Теорема «Всякая плоскость, перпендикулярная оси конической поверхности и не проходящая через ее вершину, пересекает эту поверхность по окружности.»

Если плоскость проходит через вершину конической поверхности, то она пересекает эту поверхность либо в одной точке; либо по двум образующим; либо имеет с поверхностью одну общую образующую, т.е. касается данной поверхности

Определение прямого кругового конуса Тело, ограниченное прямой круговой конической поверхностью, вершиной этой поверхности и плоскостью перпендикулярной оси данной поверхности наз. прямым круговым конусом вершина основание боковая поверхность ось (высота)

Сечения конуса Осевое сечение – равнобедренный треугольник Перпендикулярно оси – круг Параллельно оси – равнобедренная трапеция r S O A B O1O1

Площадь боковой поверхности конуса Развертка боковой поверхности конуса – КРУГОВОЙ СЕКТОР с радиусом равным образующей S A B A1A1 l

Площадь поверхности конуса S A B A1A1 l α 2πr2πr

Усеченный конус - это часть конуса, заключенная между основанием и плоскостью параллельной основанию ОО 1 – высота ус. конуса l - образующая B основание S O A O1O1 l

Усеченный конус Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую: S бок = (2πr + 2πr 1 )/2 ·l B S O A O1O1 r r1r1 l S бок = π(r + r1)·l

Вопросы для закрепления 1. Дайте определение прямой круговой конической поверхности. 2. Что называется: а) вершиной; б) образующей; в) осью конической поверхности? 3. Какая плоскость наз. касательной к конической поверхности? 4. Какие кривые могут получиться в сечении конической поверхности плоскостью? 5. Дайте определение прямого кругового конуса. 6. Какой конус наз. усеченным?

Вопросы для закрепления (продолжение) 7. Что понимается под площадью боковой поверхности конуса? 8. Чему равна площадь: а) боковой поверхности прямого кругового конуса; б) полной поверхности прямого кругового конуса? 9. Чему равна площадь: а) боковой поверхности усеченного кругового конуса; б) полной поверхности усеченного кругового конуса? 10. Приведите общее определение конической поверхности. 11. Имеет ли конус центр симметрии? ось симметрии?