ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В настоящее время разработано большое число методов численного интегрирования систем дифференциальных уравнений. К их числу можно отнести метод Рунге- Кутта, явный и неявный методе Эйлера, метод Милна и т. д. Однако, несмотря на большое разнообразие этих методов, алгоритм программ для всех их примерно одинаков и состоит из следующих блоков, а именно:
Алгоритм программ блока исходных и расчета дополнительных данных; блока формирования начальных условий и итерационных циклов; блока формирования итерационных уравнений в зависимости от принятого метода численного интегрирования дифференциальных уравнений; блока формирования решения дифференциальных уравнений и обработки полученных результатов.
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ Основным элементом численных методов является производная функции. Производная функции - есть предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к нулю приращения независимой переменной
При численном нахождении производной заменяют отношение бесконечно малых приращений функций и аргумента отношением конечных разностей. Очевидно, что чем меньше будет приращение аргумента, тем точнее численное значение производной.
Методы графического представления производной В основе методов графического представления производной лежит геометрический смысл производной. Для вычисления первой производной разработаны двухточечные методы численного дифференцирования.
Двухточечные методы Для двухточечных методов при вычислении производных используется значение функции в двух точках. Приращение аргумента задается тремя способами, откладывая Δ x = h вправо, влево и в обе стороны от исследуемой точки. Соответственно получается три двухточечных метода численного дифференцирования
Метод 1
Метод 2
Метод 3
Численное решение дифференциальных уравнений Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида или
Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.
Метод Эйлера В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения c начальными условиями y 0 =y(x 0 )
Варианты вывода формул Существуют аналитический и графический варианты вывода расчетных формул метода Эйлера Представим это уравнение в виде
Тогда можно записать:
Расчетные формулы 1-го шага Тогда расчетные формулы для первого шага можно представить в виде:
Расчетные формулы i -го шага Расчетные формулы i-го шага по аналогии с первым шагом можно записать в виде:
Если обозначить то расчетные формулы можно записать в виде
Численное решение системы дифференциальных уравнений Системой дифференциальных уравнений называется система вида
или где x – независимый аргумент, y i – зависимая функция, y i|x=x0 =y i0 – начальные условия. Функции y i (x), при подстановке которой система уравнений обращается в тождество, называется решением системы дифференциальных уравнений.
Метод Эйлера Итеррацонные уравнения для численного решения системы дифференциальных уравнений можно записать в виде:
Математическая модель двигателя постоянного тока Математическое описания процессов электромеханического преобразования энергии в двигателе постоянного тока (ДПТ) содержит: систему уравнений равновесия напряжений, в которых в качестве переменных приняты значения токов в обмотках ОВ и ОЯ; уравнение механического равновесия;
выражение для электромагнитного момента. В результате определенного вида преобразований получают систему уравнений, описывающую электромеханические процессы в двигателе постоянного тока, в удобном для математического моделирования виде, в форме уравнений Коши:
Система уравнений ДПТ
Для реализации такой модели в среде Mathcad с использованием метода Эйлера необходимо: сформировать исходные данные, которые включают в себя параметры двигателя, напряжения ОВ и ОЯ, суммарный момент инерции двигателя и момент статической нагрузки на валу двигателя; определить и записать начальные условия для исследуемых переменных ДПТ; определяют число итераций.
Система итерационных уравнений