Учительство - не труд, а отреченье, Умение всего себя отдать, Уйти на долгий подвиг и мученье, И в этом видеть свет и благодать. Учительство - когда в глазах холодных Зажжется понимания заря, И ты поймешь: старался не бесплодно И знания разбрасывал не зря.

Липлянская Татьяна Геннадьевна, учитель математики МОБУ «СОШ 3» город Ясный Оренбургская область

Исследование функций с применением производной 1. Исследование функции на экстремумы; 2. Исследование функции на возрастание/ убывание; 3. Исследование функции на наибольшие и наименьшие значения на отрезке; 4. Исследование функции с помощью графика ее производной (чтение графика производной)

Если f(x)>0 в каждой точке интервала, то функция y=f(x) возрастает на этом интервале. Если f(x)

Признак максимума. Если функция f(x) – непрерывна в точке х 0 Признак минимума. Если функция f(x) – непрерывна в точке х 0 Исследование функции на экстремумы

x y a b y=f(x) точка максимума точка максимума точка минимума f(x) a b Графическая интерпретация 0 x

a x y 0 b точка максимума точка минимума точка максимума

Алгоритм 1. Найти f (x) 2. Найти стационарные (f(x)=0) и критические точки (f(x) не существует) 3. Определить знаки производной, выполнить графическую иллюстрацию. 1) y / = 3x 2 – 48 2) y / = 3x 2 – 48 = 3(x 2 – 16) = 3(x – 4)(x + 4) x y\y\ y Найдите точку минимума функции y = x 3 – 48x + 17 Ответ: 4 3(x – 4)(x + 4)=0 х = 4, х = - 4 Точка минимума Найти область определения функции: D(y)=(-;+)

Реши самостоятельно! 2. Найдите точку максимума функции Ответ: 2 Проверь себя: D(y)=(-;+) у у + --

Реши самостоятельно! 3. Найдите точку максимума функции Ответ: -3 Проверь себя: D(y)=(-;+) у у + - +

4. Найдите точку минимума функции y = 2 х – ln(x+3) + 7 / 1 lnx x x y\y\ y -2,5-3 Ответ: -2,5

5. Найдите точку минимума функции x y\y\ y 8 2 // / uvvu Ответ: 2

6. Найдите точку минимума функции x y\y\ y // / uvvu Ответ: -17

7. Найдите точку минимума функции x y\y\ y 4 Ответ: 4 0

8. Найдите точку максимума функции x y\y\ y 9 Ответ: 9

9. Найдите точку максимума функции x y\y\ y Ответ: 17

10. Найдите точку максимума функции y = ln(9x+10) – 9 х / 1 lnx x x y\y\ y – Ответ: -1

11. Найдите точку минимума функции x y\y\ y // / uvvu Ответ: -3

1. Найдите наименьшее значение функции y = 3x 2 – 2x на отрезке [-4;0] Алгоритм 1. Найти f (x) у=6 х-6 х 2 2. Найти стационарные (f(x)=0) и критические точки (f(x) не существует) лежащие внутри отрезка [а;b] 6 х-6 х 2 =0 6 х(1-х)=0 х=0 или х=1 3. Вычислить значение функции на концах отрезка и в отобранных точках (см. п.2) у (-4)=316-2(-64)+1=177 у (0) = =1 4. Выбрать наименьшее значение (у min ) y min =1 Ответ: 1 Критических точек нет

Реши самостоятельно! 2. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [1;3] Ответ: 0 Проверь себя: у(1)=-1 у(3)=-3 у(2)=0 // / uvvu

Реши самостоятельно! 3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-2;2] Ответ: -32 Проверь себя: у(-2)=-5 у(2)=-25 у(1)=-32 // / uvvu

Реши самостоятельно! 4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-1;7] Ответ: 108 Проверь себя: у(-1)=-242 у(7)=54 у(4)=108

5. Найдите наименьшее значение функции Ответ: 8 на отрезке [2;8] Стационарные точки х=-4;4 Критическая точка х=0

Реши самостоятельно! 6. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-14;-1] Ответ: -7 Проверь себя: у(-14)=-10,5 у(-1)=-43 у(-7)=-7 х=-7, х=7, х 0

Реши самостоятельно! 7. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-10;-1] Ответ: -25 Проверь себя: у(-10)=-75 у(-1)=-201 у(-5)=-25

5. Найдите наибольшее значение функции Ответ: 11 на отрезке [-4;4] Стационарная точка х=-8,5 Критическая точка х=-5

Использован материал рабочей тетради С.А. Шестакова «ЕГЭ Математика. Задача В14. Исследование функции»