Применение производной к исследованию функций. Достаточное условие возрастания функции Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)>0, то функция f(x) возрастает. - презентация

1 Применение производной к исследованию функций

2 Достаточное условие возрастания функции Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)>0, то функция f(x) возрастает на этом интервале. Достаточное условие убывания функции. Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)

3 Определение: x 0 называется критической точкой функции f(x), если: 1) x 0 – внутренняя точка области определения f(x) ; 2) f'(x 0 )=0 или f'(x 0 ) не существует.

4 Необходимое условие экстремума: Если x 0 – точка экстремума функции f(x), то эта точка является критической точкой данной функции. Достаточное условие экстремума: Если при переходе через точку x 0 производная функции меняет знак, то x 0 – точка экстремума функции f(x).

5 Примеры экстремумов:

6 Схема исследования функции. 1. Найти область определения функции. 2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической. 3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две три дополнительные точки. 4. Найти производную функции и ее критические точки. 5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции. 6. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

7 Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b]. 1. Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b) ; 2. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b) ; 3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

8 ПРИМЕР1: 1.Найти промежутки убывания и возрастания функции Решение: 4) (для определения знаков производной использовали метод интервалов) Ответ: при функция убывает, при функция возрастает.

9 ПРИМЕР2: Исследовать функцию f(x)=x 3 -3x 2 +4 с помощью производной и построить ее график. Решение: 4) x=0 – точка максимума, x=2 – точка минимума. 5) f(0)=4; f(2)=0 Используя результаты исследования, строим график функции: f(x)=x 3 -3x 2 +4

10 Над презентацией работали: Подбирали информацию: Сныткин А. Задачу решила: Сныткина А. Оформляли: Черненко А., Жуковец А. Озвучивали: Толстых А., Кравченко А.