Координатный метод в решении задач на плоскости Белобородова Н. Е., учитель математики МАОУ «СОШ 2» Чернушка 2012 г.

Координатный метод, возникновение которого обычно связывают с именем великого французского математика и философа Рене Декарта, жившего в первой половине 17 века, произвел настоящий переворот в геометрии и не только в ней. Метод координат дает универсальный способ поставить в соответствие геометрическим объектам – фигурам, линиям, те или иные алгебраические соотношения. Иначе, метод координат – это способ перевода с геометрического языка на язык алгебры, после чего геометрические проблемы превращаются в алгебраические, и мы получаем возможность использовать для решения геометрических задач алгебраические методы.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Применение прямоугольных координат к решению задач Задача 1: Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Решение: 1. Пусть АВСD – данный параллелограмм. Введем систему координат так, как показано на рисунке. Если АD = ВС = а, а точка В имеет координаты (b; с), то D(а; 0), точка С(а + b; с). 2. Используя формулу расстояний между точками, находим АВ 2 = b 2 + с 2, AD 2 = a 2, AC 2 = (b + a) 2 + c 2, BD 2 = (a – b) 2 +c 2, тогда AВ 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = 2(AB 2 + AD 2 ) = 2(a 2 + b 2 + c 2 ) AC 2 + BD 2 = (b + a) 2 + c 2 + (a – b) 2 + c 2 = 2(a 2 + b 2 + c 2 ) Таким образом, AВ 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2, что и требовалось доказать. у хА(0; 0) В(b; с)С(b + а; с) D(a; 0)

Задача 2: Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника. Решение: 1. Пусть треугольник АВС – данный равнобедренный треугольник, АМ – медиана. Введём систему координат таким образом, что М(0; 0), точка А лежит на оси Оу, основание ВС – на оси Ох. Так как ВС = 80 см, то В(-40; 0), С(40; 0); АМ = 160, значит, А(0; 160). 2. По формуле координат середины отрезка найдём середины двух других сторон треугольника: Р – середина АС, Р(20; 80) К – середина АВ, К(-20; 80) 3. Используя формулу расстояния между двумя точками, получаем, что ВР = (-40 – 20) 2 + (80 – 0) 2 = 100 см, СК = (-20 – 40) = 100 см Ответ: ВР = СК = 100 см у х А РК МВС

Задача 3: Докажите, что середины отрезков, соединяющих середины противолежащих сторон четырехугольника, совпадают. Решение: 1. Пусть дан произвольный четырехугольник АВСD. Расположим его на координатной плоскости так, чтобы точка А совпала с началом координат, а В оказалась на оси х. 2. Введем координаты вершин данного четырехугольника: А(0; 0), В(а;0), С(m; n), D(p; q). Тогда координаты середин сторон четырехугольника будут следующие: Е(а/2; 0), F((m + p)/2; (n + q)/2), К((а + m)/2; n/2), Р(р/2; q/2). 3. Координаты середины М отрезка ЕF: М((а + m + р)/4; (n + q)/4). Координаты середины М 1 отрезка КР: М 1 ((а + m + р)/4; (n + q)/4). 4. Координаты точек М и М 1 совпадают. Значит, середина отрезка ЕF совпадает с серединой отрезка КР, что и требовалось доказать

Задача 4: На прямой l даны три точки А, В, С так, что точка В лежит между А и С. По одну сторону от прямой l построены равносторонние треугольники АМВ и ВNС. Докажите, что середина отрезка МС, середина отрезка NА и точка В являются вершинами равностороннего треугольника. Решение: 1. Пусть Р – середина отрезка МС, а Q – середина отрезка АN. 2. Введем прямоугольную систему координат. Если ВС = а, то легко убедиться в том, что вершины данных треугольников имеют координаты: А(0; 0), В(1; 0), С(1 + а; 0), М(1/2; 3/2), N(1+ а/2; 3 а/2). 3. Определим координаты точек Р(х 1, у 1 ) и Q(х 2, у 2 ): х 1 = (1/ а)/2 =(3 + 2 а)/4, у 1 = 3/4, т.е. Р( (3 + 2 а)/4; 3/4) х 2 = (2 + а)/4, у 2 = 3 а/4, т.е. Q((2 + а)/4; 3 а/4). 4. Пользуясь формулой для вычисления длины отрезка по координатам концов, получаем: ВQ = ((2 + а)/4 – 1) 2 + (3 а/4 – 0) 2 = (а 2 – а + 1)/2, РQ = ((2 + а)/4 – (3 + 2 а)/4) 2 + (3 а/4 – 3/4) 2 = (а 2 – а + 1)/2, РВ = (1 – (3 + 2 а)/4) 2 + (0 – 3/4) 2 = (а 2 – а + 1)/2, т.е. ВQ = РQ = РВ.

Задачи на нахождение геометрических мест точек Задача 5: Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В. Решение: 1. Введем прямоугольную систему координат так, что А(0; 0), В(а; 0), где а = АВ. 2. Найдём расстояние от произвольной точки М(х; у) до точек А и В: АМ = х 2 + у 2 ; ВМ = (х – а) 2 + у Если точка М(х; у) принадлежит искомому множеству, то АМ = 2ВМ или АМ 2 = 4ВМ 2. Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению х 2 + у 2 = 4((х – а) 2 + у 2 ). Если точка М(х; у) не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Следовательно, полученное уравнение и есть уравнение искомого множества. 4. Преобразуя х 2 + у 2 = 4((х – а) 2 + у 2 ), 3 х у 2 – 8 ах + 4 а 2 = 0, получаем (х–(4/3)а) 2 + у 2 = ((2/3)а) 2. То есть искомым множеством является окружность радиуса (2/3)а с центром в точке С((4/3)а; 0). у х.. А(0; 0)В(а; 0). М

Задача 6: Два предприятия А и В производят продукцию с одной и той же ценой m за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 руб. на 1 км, а для предприятия В 20 руб. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть разделен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными? Решение: Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Введем систему координат так, чтобы ось х проходила через пункты А и В, а ось у – через точку А. Пусть М – произвольная точка, М(х, у), s 1 и s 2 – расстояния от точки М до предприятий А и В.

При доставке груза из пункта А расходы равны m + 10s 1. При доставке груза из пункта В расходы равны m + 20s 2. Если для пункта М выгоднее доставлять груз с предприятия А, то m + 10s 1 2s 2. Таким образом, границей области для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и В равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению s 1 =2s 2. Выразим s 1 и s 2 через координаты: s 1 =х 2 + у 2, s 2 =(300-х) 2 + у 2. Имея в виду s 1 =2s 2, получим (х- 400) 2 + у 2 = Это есть уравнение окружности. Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, - из пункта А.

Задача 7: Лестница, стоящая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз. По какой линии движется котенок, сидящий на середине лестницы? Решение: Выберем прямоугольную систему координат, где ось х находится на полу, а ось у – на стене. Допустим, что лестница имеет длину, равную 2 а, тогда из рисунка видно, что точка М(х, у), находясь все время в середине лестницы, имеет координаты х=аcosα, y=asinα. ОМ 2 = х 2 + у 2 = (аcosα) 2 + (asinα) 2 = а 2, т.е. х 2 + у 2 = а 2. Следовательно, котенок будет двигаться по дуге окружности

Применение аффинных координат к решению задач Задача 8: Точки К и М делят стороны ВС и СD параллелограмма АВСD в отношении ВК:КС = 1:2, СМ:МD = 1:2. В каком отношении делятся отрезки АК и ВМ точкой пересечения? Решение: 1. Введем аффинную систему координат с началом в точке В и координатными векторами е 1 = ВА, е 2 = ВС (рис. 45). Тогда точки К и М имеют координаты: К(0; 1/3), М(1/3; 1). 2. Составим уравнения прямых ВМ и АК, как прямых, проходящих через две точки. Уравнения прямых ВМ и АК имеют вид: ВМ: 3 х –у = 0, АК: х + 3 у – 1 = Найдем координаты точки Р пересечения этих прямых. Для этого решим оба уравнения в системе. Получим Р(0,1; 0,3). 4. Вычислим отношение λ, в котором точка Р делит отрезки КА и ВМ. λ 1 = (х – х 1 )/(х 2 – х) = (у – у 1 )/(у 2 – у ) = (0,1 – 0)/(1 – 0,1) = 1/9, т.е. точка Р делит отрезок КА в отношении 1/9. λ 2 = (х – х 1 )/(х 2 – х ) = (у – у 1 )/(у 2 – у ) = (0,1 – 0)/(1/3 – 0,1) = 3/7, т.е. точка Р делит отрезок ВМ в отношении 3/7. х у С М D AB KP е 1 е 1 е 2 е 2

Задача 9: На сторонах СК и СВ треугольника СКВ взяты соответственно точки Р и М, которые делят эти стороны в отношении: СР:РК = 3:2, СМ:МВ = 4:1. В каком отношении делят друг друга отрезки КМ и ВР? Решение: 1. Введем аффинную систему координат с началом в точке С и координатными векторами е 1 = СВ, е 2 = СК, тогда вершины треугольника СКВ будут иметь координаты: С(0; 0), К(0; 1), В(1; 0) и Р(0;3/5), М(4/5; 0). 2. Найдем координаты точки О пересечения ВР и КМ. Для этого составим уравнения прямых ВР и КМ. ВР: 3 х + 5 у – 3 = 0, КМ: 5 х + 4 у – 4 = 0. Решив в системе уравнения, получим О(8/13; 3/13). 3. Вычислим отношение λ, в котором отрезки делят друг друга. λ = (х – х 1 )/(х 2 – х) = (у – у 1 )/(у 2 – у) = (3/13 – 0)/(1 – 3/13) = 3/10, т.е.точка О делит отрезок МК в отношении 3/10. λ = (х – х 1 )/(х 2 – х) = (у – у 1 )/(у 2 – у) = (8/13 – 1)/(0 – 8/13) = 5/8, т.е. точка О делит отрезок ВР в отношении 5/8.

Задача 10: (Теорема Менелая) Для того, чтобы три точки А 1, В 1, С 1, лежащие соответственно на сторонах ВС, СА, АВ треугольника АВС (или на их продолжениях), принадлежали одной и той же прямой, необходимо и достаточно, чтобы АС 1 /ВС 1 · ВА 1 /СА 1 · СВ 1 /АВ 1 = 1( символом АС 1 /ВС 1 назовем отношение направленных отрезков, лежащих на одной прямой, которое положительно, если они сонаправлены, и отрицательно, если они противоположно направлены; |АС 1 /ВС 1 |=|АС 1 | / |ВС 1 |). Решение: 1. Введем аффинную систему координат с началом в точке А и координатными векторами е 1 = АВ, е 2 = АС. 2. Обозначим λ 1, λ 2, λ 3 отношения такие, что АС 1 = λ 3 С 1 В, ВА 1 = λ 1 А 1 С, СВ 1 = λ 2 В 1 А, и определим координаты точек А 1, В 1, С 1. В выбранной системе координат вершины треугольника АВС будут иметь координаты А(0; 0), В(1;0), С(0; 1). Если А 1 (х 1, у 1 ), В 1 (х 2, у 2 ), С 1 (х 3, у 3 ), то х 1 = (1 + λ 1 0)/(1 + λ 1 ) = 1/(1 + λ 1 ), у 1 = (0 + λ 1 1)/(1 + λ 1 ) = λ 1 /(1 + λ 1 ); х 2 = 0, у 2 = 1/(1 + λ 2 ); х 3 = λ 3 /(1 + λ 3 ), у 3 = 0.

3. Для того, чтобы точки А 1, В 1, С 1 лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы х 1 у 1 1 х 2 у 2 1 = 0 х 3 у 3 1 или 1/(1+λ 1 ) λ 1 /(1+λ 1 ) 1 0 1/(1+λ 2 ) 1 = 0 λ 3 /(1+λ 3 ) 0 1 откуда 1/(1 + λ 1 )(1 + λ 2 ) + λ 3 /(1+λ 3 ) · [ λ 1 /(1+λ 1 ) – 1/(1+λ 2 )] = 0. После элементарных преобразований получаем: λ 1 · λ 2 · λ = 0. Таким образом, АС 1 /С 1 В ·ВА 1 /А 1 С ·СВ 1 /В 1 А = -1 или АС 1 /ВС 1 ·ВА 1 /СА 1 ·СВ 1 /АВ 1 = 1.

Возможности использования метода координат в школьной практике Использование координатного метода в школьной практике возможно: На математических кружках, факультативах; На индивидуальных занятиях с более увлеченными математикой учащимися; В проектной деятельности. Темы проектов с использованием координатного метода: Аффинные координаты; Деление отрезка в данном отношении; Комплекс задач, связанных с нахождением суммы квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин правильного многоугольника, которая постоянна, если центр окружности совпадает с центром многоугольника ( прил. 3).

Задач планиметрии, решаемых введением системы координат, на данный момент в школьном курсе геометрии недостаточно. Метод координат на плоскости значительно упрощает решение задач. Решение задач, как в прямоугольных, так и в аффинных координатах на плоскости значительно упрощается, в связи с тем, что геометрическая проблема сводится к алгебраической; Введение системы координат позволяет находить длины отрезков, геометрические места точек и решать задачи на установление свойств фигур; Использование метода координат расширяет множество задач, решаемых в школе, его применение возможно в исследовательской деятельности учащихся. Внедрение метода координат на плоскости в школьную практику необходимо.