Длина окружности и площадь круга Подготовил Симонов Клим ученик 9 А класса СПб лицей 488 ( учитель Курышова Н.Е. ) Геометрия глава 12

Оглавление : § 1. Правильные многоугольники Правильный многоугольник Правильный многоугольник Окружность, описанная около правильного многоугольника Окружность, описанная около правильного многоугольника Окружность вписанная в правильный многоугольник Окружность вписанная в правильный многоугольник Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности Построение правильных многоугольников Построение правильных многоугольников § 2. Длина окружности и площадь круга Длина окружности Длина окружности Площадь круга Площадь круга Площадь кругового сектора Площадь кругового сектора

Правильный многоугольник Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы и все стороны равны Например:

Выведем формулу для вычисления угла n правильного n-угольника n правильного n-угольника Сумма всех углов правильного n- угольника = (n - 2) · 180° => => = n - 2 n · 180°

Окружность описанная около правильного многоугольника Окружность называется описанной около многоугольника если все вершины этого многоугольника лежат на окружности ТЕОРЕМА : Возле любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну

Доказательство: Пусть: - правильный многоугольник 0- точка пересечения биссектрис углов

Окружность, вписанная в правильный многоугольник Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности ТЕОРЕМА : В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну

Доказательство Пусть - правильный многоугольник, - центр описанной окружности 0 A1A1 AnAn A2A2 A3A3 HnHn H1H1 H2H2 H3H3

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник, ЭТА ТОЧКА НАЗЫВАЕТСЯ ЦЕНРОМ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности Допустим : S- площадь правильного n- угольника a n - его сторона P- периметр R- радиус описанной окружности r- радиус вписанной окружности 0 A1A1 AnAn A2A2 A3A3 HnHn H1H1 H2H2 H3H3 0 A1A1 AnAn A2A2 A3A3 HnHn H1H1 H2H2 H3H3

В прямоугольном треугольнике 0 A1A1 AnAn A2A2 A3A3 HnHn H1H1 H2H2 H3H3

Если в формуле вместо «n» подставить числа : 3, 4 и 6, то получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и шестиугольника :

Решение: Построение правильных многоугольников Задача 1: построить правильный 6-угольник, сторона, которого равна данному отрезку Дано: PQ – отрезок, PQ = OA 1, OA 1 – радиус окружности с центром O - произвольная точка на окружности. O PQ

Задача 2: дан правильный n-угольник, построить правильный 2n-угольник Дано : - Данный правильный n- угольник, вокруг него описана окружность с центром в точке О и радиусом ОА Решение: Разделим дуги пополам и каждую из точек деления соединим отрезкам с концами соответствующей дуги

Длина окружности AA1A1 =>

Длина дуги

Площадь круга Круг- часть плоскости, ограниченная окружностью при - Радиус вписанной в многоугольник окружности. При, учитывая, что при, получаем ( формула для вычисления S круга радиуса R)

Площадь кругового сектора Круговой сектор - это часть круга, ограниченная дугой и 2- мя радиусами О R A B L M