С троительная механика Ч асть II ПОНЯТИЕ О НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМАХ И МЕТОДАХ ИХ РАСЧЁТА

Нелинейно деформируемой называется система, для которой зависимость между параметром Р воздействия ( нагрузки ) и характерным (обобщённым) перемещением не прямо пропорциональная. P 0 = C ( ) – обобщённая жёсткость системы Р ( ) ( ) P 0 НДС с мягкой нелинейностью (МН) НДС с жёсткой нелинейностью (ЖН) P 0 НДС с комбинированной нелинейностью ЖН МН Виды нелинейностей: 1) физическая (ФН); 2) геометрическая (ГН); 3) конструктивная (КН).

Физическая нелинейность – нелинейность зависимости Р –, обусловленная физико-механическими свойствами материала, не описываемыми законом Гука. i 0 i интенсивности напряжений и деформаций Сталь Бетон, древесина Полимеры (резина и т.п.) В случае ЛНС ( 2 = 3 = 0): i = 1 ;

Физическая нелинейность – нелинейность зависимости Р –, обусловленная физико-механическими свойствами материала, не описываемыми законом Гука. 0 F интенсивности напряжений и деформаций В случае ЛНС ( 2 = 3 = 0): i = 1 ; Расчётные модели нелинейного деформирования материалов Степенной закон (1729) Г.Б. Бюльфингера (1693 – 1750) i 0 i i 0 i 0 i i 0 i i 0 i i 0 i k > 1k > 1 k < 1k < 1 k = 1k = 1 k = 0k = 0 a = s s Параболическая зависимость (1831) Ф.И. Герстнера (1756 – 1832) Модель А.А. Ильюшина (1958) (1911 – 1998) i Идеализированные диаграммы i 0 s i 0 s i i Диаграмма Прандтля Идеальный упруго- пластический материал Диаграмма Сен-Венана Идеальный жёстко- пластический материал Модели с упрочнением i 0 s i 0 s Упруго- пластический материал Жёстко- пластический материал i i A i i l = i A F

Геометрическая нелинейность – нелинейность зависимости Р –, обусловленная большими перемещениями и/или значительным формоизменением системы. Тензор деформаций: Линейные деформации: A F A(F) < A 0 F ГЛ ГН при растяжении ~0,2l ГН при сжатии A F A(F) > AA(F) > A l ФЛ материал: i = E * i Сущность ГН – непропорциональность деформаций и перемещений.

Геометрическая нелинейность – нелинейность зависимости Р –, обусловленная большими перемещениями и/или значительным формоизменением системы. l М r Сущность ГН – непропорциональность деформаций и перемещений. Кривизна оси из уравнения Линеаризованная зависимость: ~ 2 /l 2 0 l 0,5l ГЛ 1 1,109 0 M 0,5l ГЛ ФЛ ГН F y x x v(x)v(x) Выражение кривизны через прогибы: Линеаризованная зависимость: Оценка: при v ( x) = 0,2 ( (x) ~11 o ) (x) = 0,943 v (x) (~ 5,3 %) q Большие прогибы балок Деформации гибких нитей

Конструктивная нелинейность – нелинейность зависимости Р –, обусловленная изменением расчётной схемы сооружения в процессе его деформации: а) структурными изменениями – включением или выключением связей, изменением их положения; б) изменением координат точек сооружения за счёт их перемещений при расчёте «по деформированной схеме». Общий признак конструктивной нелинейности: при составлении уравнений равновесия учитываются перемещения, которые могут непосредственно входить в статические уравнения (расчёт по деформированной схеме); о писывать условия (изменения связей), учитываемые при записи уравнений равновесия. l F u0u0 VAVA A MAMA V A = F M A = – F ( l – u 0 ) 0 F Лин. КН F F N N F q = kF A MAMA l M A = ql 2 /2 + F = F (kl 2 /2 + ) 0 F Лин. КН

Конструктивная нелинейность – нелинейность зависимости Р –, обусловленная изменением расчётной схемы сооружения в процессе его деформации: а) структурными изменениями – включением или выключением связей, изменением их положения; б) изменением координат точек сооружения за счёт их перемещений при расчёте «по деформированной схеме». Общий признак конструктивной нелинейности: при составлении уравнений равновесия учитываются перемещения, которые могут непосредственно входить в статические уравнения (расчёт по деформированной схеме); описывать условия (изменения связей), учитываемые при записи уравнений равновесия. q 0 q Лин. q 0 q Лин. КН 0 q 0 Лин. q q0q0 Усиление под нагрузкой + q доп q доп КН lоlо h 0 h КН q0q0

Классификация задач расчёта нелинейно деформируемых систем по видам нелинейностей ФН+ГН+КНФН+ГНФН+КНГН+КНФНКНГН Методы расчёта нелинейно деформируемых систем Полное исследование истории деформирования системы Методы теории предельного равновесия (ТПР) Статический метод ТПР Кинематический метод ТПР Двусторонняя оценка предельной нагрузки Метод упругих решений Метод переменных параметров упругости Метод последовательных приближений Метод пошагового нагружения Формы решения – метод сил – метод перемещений – метод конечных элементов 0 P Z P i+1 PiPi Касательная Секущая ZiZi Z i+1 P i+1 = C(P i ) * Z i+1 Секущая (~)(~) ~ Касательная Z i+1 = P i+1 / C(P i ) = B(P i ) * P i+1 P i ) * X + ( P i+1 ) = 0 r P i ) * Z + R( P i+1 ) = 0 КУМС: КУМП: K P i ) * = F( P i+1 ) ОУМКЭ:

Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций (физическая нелинейность) Полное исследование процесса упругопластического деформирования Системы с однородным линейным напряжённым состоянием элементов (равномерное растяжение/сжатие, без учёта потери устойчивости при сжатии) Статически определимая система F aa EA f l 1. Статическая сторона задачи: N = 2F/sin 2. Геометрическая сторона задачи (совместность перемещений и деформаций): f = 2 l /sin 3. Физическая сторона задачи: КЛ ГЛ 0 s s = s /E s ~ e ~ pr в упругой стадии < s, s ) = E в стадии текучести ( > s ): = s = inv( ) При = s : N s = s A; F s = ( s A sin )/2; f s = 2 s a /(E sin cos ) 0 F f FsFs F u = F s fsfs Статически неопределимая система aa l f = l 2 l 1 q K 1. ССЗ: m K = 0 N 1 + 2N 2 = 2qa 1 2 EA 2. ГСЗ: l 2 = 2 l 1 (2) = 2 (1) а) в упругой стадии (при (max (j) ) < s ): max (j) = (2) = 2 (1), N 2 = 2N 1 ССЗ Из ФСЗ:, перемещение f e = s l /E б) в упругопластической стадии (при (2) = s, s /2 < (1) < s ; q e < q < q u ): N 2 = s A; N 1 = 2(qa – s A) ; f = 2 l 1 = 2N 1 l /EA = 4l (qa – s A)/(EA) Нагрузка, соответствующая пределу упругой работы системы (при (2) = s, (1) = s / 2): в) в предельном равновесии ( (1) = (2) = s ): N 1 = N 2 = s A; q u = 3 / 2 s A/a ; f s = 2 s l /E = 2 f e

Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций (физическая нелинейность) Полное исследование процесса упругопластического деформирования Системы с однородным линейным напряжённым состоянием элементов (равномерное растяжение/сжатие, без учёта потери устойчивости при сжатии) Статически определимая система F aa EA f l 1. Статическая сторона задачи: N = 2F/sin 2. Геометрическая сторона задачи (совместность перемещений и деформаций): f = 2 l /sin 3. Физическая сторона задачи: КЛ ГЛ 0 s s = s /E s ~ e ~ pr в упругой стадии < s, s ) = E в стадии текучести ( > s ): = s = inv( ) 0 F f FsFs F u = F s fsfs Статически неопределимая система aa l f = l 2 l 1 q K 1. ССЗ: m K = 0 N 1 + 2N 2 = 2qa 1 2 EA 2. ГСЗ: l 2 = 2 l 1 (2) = 2 (1) а) в упругой стадии (при (max (j) ) < s ):, перемещение f e = s l /E 0 q f qeqe q u = q s fefe fs = 2fefs = 2fe б) в упругопластической стадии (при (2) = s, s /2 < (1) < s ; q e < q < q u ): N 2 = s A; N 1 = 2(qa – s A) ; f = 2 l 1 = 2N 1 l /EA f = 4l(qa – s A)/(EA) qsqs При = s : N s = s A; F s = ( s A sin )/2; f s = 2 s a /(E sin cos ) в) в предельном равновесии ( (1) = (2) = s ): N 1 = N 2 = s A; q u = 3 / 2 s A/a ; f s = 2 s l /E = 2 f e

Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций (физическая нелинейность) Полное исследование процесса упругопластического деформирования Системы с неоднородным напряжённым состоянием элементов (изгиб, кручение) M z y Эп. M < MeM < Me s s s M > MeM > Me s s s s s s y dy b(y)b(y) M e = s W z Для идеального упругопластического материала:

Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций (физическая нелинейность) Полное исследование процесса упругопластического деформирования Системы с неоднородным напряжённым состоянием элементов (изгиб, кручение) M z y Эп. s s s s s s y dy b(y)b(y) M e = s W z Для идеального упругопластического материала: Односторонняя текучесть Двухсторонняя текучесть Предельное состояние – пластический шарнир z н.о. с y Ан Ан Ав Ав Ан = Ав Ан = Ав Предельный изгибающий момент в пластическом шарнире: Кинематический смысл пластического шарнира F F > FeF > Fe M (кривизна) MeMe M0M0 0 F M0M0 M0M0 F M0M0 M0M0 Предельная (разрушающая) нагрузка: Для прямоугольного сечения в упругопластической стадии: h0h0 M < MeM < Me s s M > MeM > Me s

Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций (физическая нелинейность) Теория предельного равновесия (ТПР) Условие пластичности (текучести) материала Жёсткопластическое тело 2 3 Интенсивности напряжений и деформаций i 0 s i Условие Треска – Сен-Венана Условие Мизеса – Губера – Генки i – s = 0 max ( | k |, | k – j | ) – s = 0, k, j = 1, 2, 3 0 s s s s 1 2 Условие предельного состояния (предельного равновесия) сечения стержня, пластинки или оболочки f (, s ) = 0 M z N s s y н.о. При М = 0: N = N 0 = s A При N = 0: M = M 0 = s W pl При – N 0 < N < N 0 и – M 0 < M < M 0 0 – N0– N0 N M N0N0 – M0– M0 M0M0 или m = M/M 0 ; n = N/N 0 m n 1 1 – 1– 1 – 1– 1 Ф ( S, S 0 ) = 0 Для стержней: S = { M z M y M t Q y Q z N } Для пластин и оболочек: S = { M x M y M xy Q zx Q zy T xy N x N y } Обобщённо: для прямоугольного сечения:

Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций (физическая нелинейность) Теория предельного равновесия (ТПР) Статический метод ТПРКинематический метод ТПР Двухсторонняя оценка предельной нагрузки Статическая теорема ТПР Предельная нагрузка P u не ниже той, которую может уравновесить статически допустимое поле напряжений (усилий): или – нагрузка, находящаяся в равновесии со статически допустимыми напряжениями (усилиями) Статически допустимым называется статически возможное распределение (поле) напряжений (усилий), удовлетворяющее по всему объёму системы условию или Статически возможным называется распре- деление (поле) напряжений (усилий), удовлетворяющее при заданных воздействиях уравнениям равновесия и статическим граничным условиям. Кинематическая теорема ТПР Предельная нагрузка P u не выше той, которая соответствует кинематически допустимому п олю скоростей перемещений и деформаций: Кинематически допустимым называется распределение (поле) скоростей перемещений и деформаций, удовлетворяю- щее уравнениям совместности и кинемати- ческим граничным условиям. Обобщающая (двойственная) теорема ТПР Предельная нагрузка является максимальной из всех уравновешиваемых статически допустимыми полями напряжений (усилий) и одновременно минимальной из всех нагрузок, соответствующих кинематически допустимым п олям скоростей перемещений и деформаций: – нагрузка, найденная для некоторой схемы механизма разрушения с кинемати- чески допустимым полем перемещений (деформаций)

Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций (физическая нелинейность) Теория предельного равновесия (ТПР) Вариационные принципы статики жёсткопластических систем Принцип минимума полной энергии системы: из всех кинематически допустимых п олей скоростей перемещений (деформаций) истинным при заданных воздействиях является то, которому соответствует минимальная и равная нулю полная энергия жёсткопластической системы: W int = D – энергия диссипации в пластических зонах (для системы с введёнными шарнирами текучести D = –W S 0 ; W S 0 – работа предельных усилий на перемещениях механизма разрушения); W F – потенциал нагрузки ( < 0 ). ( I ) Вариант записи ( I ): ( I*) – работа нагрузки на перемещениях предельного пластического механизма. Принцип максимума работы нагрузки: из всех статически допустимых п олей напряжений истинным является то, которому соответствует максимум работы нагрузки, уравновешиваемой этим полем, на истинных перемещениях механизма разрушения: ( II ) или

Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций (физическая нелинейность) Определение предельных нагрузок балок q l Сечение – постоянное 1. Решение статическим методом ТПР Определение статически возможного поля изгибающих моментов: – дифференциальное уравнение равновесия: d 2 M (x) /dx 2 = – q = const, е го решение: M (x) = – qx 2 /2 + C 1 x + C 2 ; x – статические граничные условия: M (0) = 0, Q(0) = – dM/dx(0) = – R C 2 = 0, C 1 = R. R ql 2 /8 M (x) = – qx 2 /2 + Rx – – параметр варьирования статически возможного поля моментов, тогда M (l) = – ql 2 /8 R = ql (1 – /4)/2, x 0 = R/q = l (1 – /4)/2 x0x0 M (x0)M (x0) Условия допустимости статически возможного поля: q ( ) ( * q* ) q I ( ) q II ( ) 1/2 1/43/43/25/ x x x x x x x x По статической теореме ТПР : u q I ( u ) = q II ( u ) Область статически допустимых значений q ( ) u

Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций (физическая нелинейность) Определение предельных нагрузок балок q l 2. Решение кинематическим методом ТПР Задание кинематически допустимого поля перемещений – предельного пластического механизма ( механизма разрушения ) l где W int = 0, W ext = W M0 + W q, W M0 = – M 0 (2 l + r ), W q = (1/2) q l Уравнение предельного равновесия механизма разрушения (по принципу Лагранжа): q ( ) ( * M 0 /l 2 ) 1/2 1/43/ q М0М0 М0М0 М0М0 l r W ext + W int = 0, По кинематической теореме ТПР : u По двойственной теореме ТПР : Оценка: Область кинематически возможных значений q ( ) u

Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций (физическая нелинейность) Определение предельных нагрузок балок l/2 Сечение – постоянное l/2 F В упругой стадии 1. Решение статическим методом ТПР Fl/4 M0M0 M0M0 Статически допустимые поля изгибающих моментов M0M0 M0M0 Статически недопустимое поле моментов Статически невозможное поле моментов 2. Решение кинематическим методом ТПР F М0М0 М0М0 М0М0 Кинематически недопустимое поле перемещений F М0М0 М0М0 М0М0 F М0М0 М0М0 М0М0 F l/4 F /(l/2) F * F – M 0 * ( 2 * 2 + ) = 0F * F – M 0 * 3 = 0 FuFu

Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций (физическая нелинейность) Определение предельных нагрузок балок Способ выравнивания моментов F1F1 q2q2 qjqj F n (1) F n (2) ljlj lnln ln – 1ln – 1 l1l1 l2l2 M0M0 M0M0 а) при независимых нагрузках – определение предельных нагрузок в каждом пролёте отдельно: F 1, u, q 2, u, q j, u, …, F n, u б) при однопараметрических нагрузках F 1 = 1 P, q 2 = 2 P, q j = j P, …, F n = n P : P u = min P j, u Балки переменного сечения Fn – 1Fn – 1 Статически допустимое поле определяется точками a, b, c a b c Эпюра предельных моментов сечений Подбор сечений балки по предельному равновесию q = 50 кН/м F = 20 кН ll/2 l = 6 м ; s = 240 МПа Любая статически возможная эпюра моментов АВ MАMА MBMB ql 2 /8 = 225 кН * м ql 2 /8 +Fl/4= = 255 кН * м M А = 112,5 =MBMB 112,5 199,52 M 01 M 02 Сечение по М 01 : W pl (1) = M 01 / s = = 469 см 3 Сечение по М 02 : W pl(2) = M 02 / s = = 831 см 3 27 а 36

Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций (физическая нелинейность) Предельное равновесие рам l /2 2F2F 4F4F Сечения одина- ковые 2F– Х2F– ХХ 3F3F F АВ (из m B = 0) (из m A = 0) (из x = 0) X – характеристика статически возможного поля усилий 1. Решение статическим методом ТПР n st = 1 N варианта (i) Статически возможное поле усилий ( эпюра изгибающих моментов, соответству- ющих X (i) ) Значение характерис- тики X (i) Условие допустимо- сти стати- чески возможного поля усилий Значение параметра нагрузки /2 3/4 1 1/ /8 5/8 3/4 9/16 7/8 5/8 3/4 1/4 5/8 7/8 3/8 11/16 0 Все ординаты умножать на Fl F* ( * M 0 /l ) 0 X/F* По статической теореме ТПР:

Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций (физическая нелинейность) Предельное равновесие рам l /2 2F2F 4F4F АВ Количество возможных вариантов механизмов разрушения – где r – число пластических шарниров в механизме ( r = n st + 1 ); k – число сечений, в которых могут образовываться шарниры. 2. Решение кинематическим методом ТПР n st = 1 N варианта (i) Схема предельного механизма, соответству- ющего i -му кинематиче- ски допусти- мому полю перемещений Комбинация сечений с пласт.шарн. Уравнение возможных работ Значение параметра нагрузки r = = 2; k = 4 n m = 4!/(2! * 2!) = F4F 4F4F 4F4F 4F4F 4F4F 2F2F 2F2F 2F2F 2F2F2F2F M0M0 M0M0 M0M0 M0M0 M0M0 M0M0 M0M0 M0M0 M0M0 M0M0 M0M0 M0M0 2F2F 4F4F По кинематической теореме ТПР: По двойственной теореме ТПР:

Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций (физическая нелинейность) Предельное равновесие пластин M M s s s s h M h0h0 NaNa M 0 = s h 2 /4 M 0 = N a h 0 = = s,a A a h 0 Погонный предельный момент: Условие предельного состояния сечения пластины: (m x = M x /M 0 ; m y = M y /M 0 ; m xy = M xy /M 0 ; k t = 3 v 4 ) Типовые схемы предельных пластических механизмов пластин Вид нагрузки Т и п ы п л а с т и н п о о ч е р т а н и ю к о н т у р а Сосредо- точенная Распреде- лённая Прямоугольные Полигональные Круглые Эллиптические

Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций (физическая нелинейность) Предельное равновесие пластин Определение предельной нагрузки ( параметра P u ) пластин кинематическим методом ТПР Уравнение баланса работы нагрузки и энергии диссипации в пластических шарнирах: По кинематической теореме ТПР: – перемещение точки приложения сосредоточенной нагрузки P, – объём эпюры перемещений предельного механизма при равномерно распределённой нагрузке q D = D к + D в внутреннихконтурных шарниров текучести Прямоугольные пластины при равномерно распределённой нагрузке q a b d 1 2 в к 2 к 1 к 2 к 1 n a, n b – к оличества защемлённых сторон длинами a и b с оответственно

Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций (физическая нелинейность) Предельное равновесие пластин Определение предельной нагрузки ( параметра P u ) пластин кинематическим методом ТПР Уравнение баланса работы нагрузки и энергии диссипации в пластических шарнирах: По кинематической теореме ТПР: – перемещение точки приложения сосредоточенной нагрузки P, – объём эпюры перемещений предельного механизма при равномерно распределённой нагрузке q D = D к + D в внутреннихконтурных шарниров текучести Прямоугольные пластины при равномерно распределённой нагрузке q a b d 1 2 в к 2 к 1 к 2 к 1 n a, n b – количества защемлённых сторон длинами a и b соответственно j = 1j = 1j = 2j = 2j = 3j = 3 j = 4j = 4j = 5j = 5j = 6j = 6j = 7j = 7j = 8j = 8 n a = n b = 0 n a = 1 n b = 0 n a = 1 n b = 2 n a = 1 n b = 1 n a = 2 n b = 1 n a = 0 n b = 1 n a = 0 n b = 2 n a = 2 n b = 0 = a/b

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы ( в скобках даны номера слайдов, в которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках *) ; для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 26» ) 1. Какие системы называются нелинейно деформируемыми? ( 2 )( 2 ) 2. Виды нелинейностей, влияющих на поведение деформируемых систем ( 2 ).( 2 ) 3. Чем различаются процессы деформирования систем с мягкой и жёсткой нелинейностями? ( 2 )( 2 ) 4. Чем обусловлена физическая нелинейность (ФН)? ( 3 ) Примеры расчётных моделей( 3 ) нелинейного деформирования материалов ( 4 ).( 4 ) 5. В чём сущность геометрической нелинейности (ГН)? ( 5 ) Примеры проявления ГН( 5 ) в деформировании некоторых типов стержневых конструкций ( 6 ).( 6 ) 6. Что такое конструктивная нелинейность (КН)? ( 7 ) Каков общий признак КН? ( 7 )( 7 ) 7. Что называется «расчётом по деформированной схеме»? ( 7 )( 7 ) 8. Характерные случаи проявления конструктивной нелинейности в работе строительных конструкций ( 7, 8 ).( 7, 8 ) 9. Как классифицируются задачи расчёта нелинейно деформируемых систем по видам нелинейностей? ( 9 ) Какие виды и сочетания нелинейностей наиболее актуальны( 9 ) для строительных конструкций? ( 9 )( 9 ) 10. Методы расчёта нелинейно деформируемых систем ( 9 ).( 9 ) 11. Понятие об упругопластическом деформировании стержневых систем в случаях растяжения/сжатия и изгиба элементов ( 10 – 13 ). Предельное состояние сечения( 10 – 13 ) при изгибе (пластический шарнир) ( 13 ).( 13 ) 12. Расчёты физически нелинейно деформируемых систем методом предельного равновесия: основная идея определения предельной (разрушающей) нагрузки ( 14 ).( 14 ) 13. Статическая, кинематическая и обобщающая (двойственная) теоремы теории предельного равновесия ( 15 ).( 15 ) 14. Применение методов теории предельного равновесия для определения предельных нагрузок балок ( 17 – 20 ), рам ( 21, 22 ) и пластин ( 23 – 25 ) – общие представления.( 17 – 20 )( 21, 22 )( 23 – 25 ) *) Только в режиме «Показ слайдов».