1

2 8.1 Возникновение переходных процессов и законы коммутации В электрических цепях могут происходить включения и отключения пассивных или активных цепей, короткие замыкания отдельных участков, различного рода переключения, внезапные изменения параметров и т.д.

3 В результате таких изменений, называемых коммутационными или просто коммутациями, в цепи возникают переходные процессы, заканчивающиеся спустя некоторое время после коммутации.

4 Переходным процессом называется процесс перехода от одного установившегося энергетического состояния к другому установившемуся энергетическому состоянию

5 Примем следующие обозначения: t = 0 – начало отсчета времени переходного процесса; 0 – – момент времени непосредственно перед коммутацией; 0 + – момент времени непосредственно сразу после коммутации.

6 Обозначение переходных процессов: Изменение сопротивления участка цепи: от до 0 от 0 до Δ t – время коммутации Принимается Δ t = 0 Замыкание цепи Размыкание цепи

7 1 установившийся режим 2 установившийся режим t п.п t Δt0 I1I1 I2I2 t=0 _ t=0 t=0 +

8 1 установившийся режим 2 установившийся режим t I1I1 I2I2 t=0 _ t=0 t=0 +

9 Сформулируем законы коммутации

10

11

12

13 e u L uLuL C R uRuR uCuC

14 Когда с переходным процессом можно не считаться, наступает принужденный режим. Принужденный режим, создаваемый источником произвольной периодически изменяющейся ЭДС (или током) называется установившимся. В установившемся режиме (1)

15 где i у, u Cу – ток и напряжение установившегося режима (установившийся ток и установившееся напряжение). Если вычесть из уравнения (1) уравнение (2) и обозначить (2)(2)

16 Разности токов и напряжений переходного процесса и принужденного режима называются током и напряжением свободного процесса или просто свободным током и напряжением. Процесс, происходящий в цепи, можно рассматривать состоящим из двух накладывающихся друг на друга процессов – установившегося, который как бы наступил сразу, и свободного, имеющего место только во время переходного процесса: (3)

17 Физически существуют только переходные токи и напряжения, и разложение их на составляющие является удобным математическим приемом, облегчающим расчет переходных процессов.

18 Разложение переходных токов и напряжений соответствует правилу решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, согласно которому общее решение равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. Свободный ток представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения (3), и в его выражении должны быть постоянные интегрирования, число которых равно порядку дифференциального уравнения.

19 Установившийся ток – частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1). Вид этого решения подобен виду правой части неоднородного дифференциального уравнения. Если u = U = const, то i у = const. Если u = u (t), то i у = i у (t).

20 Начальные условия – значения переходных токов в индуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах при t = 0, т.е. те значения, которые в момент коммутации не изменяются скачком. Это так называемые независимые начальные условия. Начальные значения всех остальных токов и напряжений называются зависимыми начальными условиями. Их определяют по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составленных по I и II законам Кирхгофа.

21 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ МОГУТ БЫТЬ РАССЧИТАНЫ СЛЕДУЮЩИМИ МЕТОДАМИ: КЛАССИЧЕСКИМ; ОПЕРАТОРНЫМ; СПЕКТРАЛЬНЫМ; С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ; ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ ( МЕТОДОМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ)

8.2 Классический метод расчёта переходных процессов 22

23

24

25

26

27 U = const R L схема Переходные процессы в цепи с последовательно соединёнными участками R и L

28 Дифференциальное уравнение такой цепи где U – напряжение на зажимах цепи. (1)

29 Для расчёта установившегося режима учитываем, что вид решения этой составляющей подобен правой части исходного уравнения, т.е. является постоянной величиной Тогда исходное уравнение (1) преобразуется к виду:

30 Ток установившегося режима может быть определён и по виду схемы в послекоммутационный период. Расчёт в этом случае выполняется как для обычного установившегося режима. Тогда

31 U = const R iуiу Cопротивление катушки индуктивности на постоянном токе равняется нулю (X L = 2πf L =0)

32 Соответствующее однородное уравнение, определяющее свободный ток: Характеристическое уравнение Lp + R = 0 имеет единственный корень p = –R/L. Тогда свободный ток можно вычислить как

33 Ток в переходном режиме Постоянная интегрирования A определяется по начальному условию и законам коммутации. Начальным условием является значение искомого тока в начальный, нулевой, момент времени.

34 Определим начальное значение тока i(0) при помощи первого закона коммутации

35 Выполним расчёт 1 установившегося режима U = const R L

36

37 Окончательное решение уравнения:

38 Величина = L/R имеет размерность времени и называется постоянной времени цепи. За промежуток времени t = ток уменьшается в e раз. Теоретически ток станет равным нулю через бесконечно большой промежуток времени, практически он становится малым за промежуток времени в несколько значений ( 5 значений ). Практически время переходного процесса t п.п. = 5 Чем больше, тем медленнее затухает ток.

39 Напряжение на зажимах катушки u, i i t U I uLuL

40 u(t)=U m sin( ɷ t+ Ψ ) R L i (t) схема 2

41 Дифференциальное уравнение такой цепи где u(t) – напряжение на зажимах цепи.

42 u(t)=U m sin( ɷ t+ Ψ ) R L i у (t) Ток установившегося режима

43 Общий ток Постоянную интегрирования A определяем из начального условия i(0 – )= i(0) = 0. 0 = I m sin( – ) + A A = – I m sin( – ) Общий ток:

44 u i t i св iуiу u,iu,i

45 Начальное значение свободного тока зависит от начальной фазы напряжения. Наибольшее значение свободного тока, равное амплитуде I m установившегося тока, имеет место, если – = + /2. Наибольшее значение результирующего тока не превышает двойной амплитуды установившегося тока. Свободный ток не возникает, и сразу наступает установившийся режим при условии =.

46 схема 3 R L U = const R0R0 i(t)

47 Дифференциальное уравнение такой цепи

48 Соответствующее однородное уравнение, определяющее свободный ток: Характеристическое уравнение Lp + (R+R 0 ) = 0 имеет единственный корень p = –(R+R 0 ) /L. Тогда свободный ток можно вычислить как

49 Переходный процесс описывается уравнением

50 Постоянная интегрирования A определяется по начальному условию и законам коммутации. Начальным условием является значение искомого тока в начальный, нулевой, момент времени.

51 Определим начальное значение тока i(0) при помощи первого закона коммутации До размыкания рубильника в катушке протекает ток i (0 – ) = U/R

52 Следовательно, i (0) = U/R Тогда:

53 Переходный процесс описывается уравнением Напряжение на участке с сопротивлением R 0 до размыкания было равно U, а в первый момент времени после размыкания (при t = 0) оно окажется равным:

54 Если R 0 > R, например, на зажимах катушки с сопротивлением R включен вольтметр с большим сопротивлением, то при отключении цепи напряжение на вольтметре в первый момент повысится R 0 /R раз.

Переходные процессы в цепи с последовательно соединёнными участками R и C E U=const C R uRuR uCuC схема 1

56 Ri + u C = U Дифференциальное уравнение такой цепи (1)

57 Для расчёта установившегося режима учитываем, что вид решения этой составляющей подобен правой части исходного уравнения, т.е. является постоянной величиной Тогда исходное уравнение (1) преобразуется к виду:

58 U=const R Расчёт установившегося значения напряжения на зажимах конденсатора после завершения переходного процесса можно определить и так:

59 Cопротивление конденсатора на постоянном токе равняется бесконечности (Xс =1/2πf C = )

60 Однородное уравнение цепи Характеристическое уравнение: RCp + 1 = 0. Его корень Решение однородного уравнения

61 Переходное напряжение:. Пусть конденсатор до включения не был заряжен, т.е.

62 В соответствии со вторым законом коммутации: Постоянную интегрирования А определяем с помощью начальных условий и закона коммутации

63 0 = U + A; A = – U. При t = 0, получим В общем случае:

64 Общее решение для напряжения на конденсаторе Ток в цепи конденсатора

65 ; ; U i t I=U/R ucuc

66 Энергия, выделяемая в виде теплоты в сопротивлении цепи, равна энергии, запасенной в электрическом поле конденсатора к начальному моменту времени Постоянная времени = RC в реальных устройствах может иметь различные значения (до нескольких суток).

67 Количество теплоты, выделившееся в цепи во время заряда, равно Если конденсатор до включения был заряжен, т.е.

68 Переходное напряжение в этом случае имеет следующий вид: Если то конденсатор дозаряжается до напряжения U, а если – конденсатор перезаряжается до приложенного напряжения U.

69 i t U ucuc Дозарядка конденсатора

70 U i t ucuc Перезарядка конденсатора

71 U=const R C схема Ключ переходит из положения 1 в положение 2

72 Для установившегося режима (1) R ucуucу Cопротивление конденсатора на постоянном токе равняется бесконечности (Xс =1/ 2πf C = )

73 При расчёте до коммутационного напряжения на зажимах конденсатора выполним расчёт следующей цепи: U=const R

74 В соответствии со вторым законом Кирхгофа: u c (0_ ) = U (2) В соответствии со вторым законом коммутации u c (0-)=u c (0)=u c (0+) Подставим (2) в (1) при t = 0

75 Полное решение для напряжения на конденсаторе получим: Ток в цепи:

76 Ток в начальный момент изменяется скачком от нуля до величины

77 t U0U0 i ucuc

78 e C R uRuR uCuC схема 3

79 RC Напряжение u Cу в установившемся режиме:

80

81 Напряжение u C на конденсаторе в общем виде: Если конденсатор не был заряжен, то :

82 Напряжение на конденсаторе: Ток в переходном режиме Если конденсатор был предварительно заряжен, то

83 Если то переходный процесс не возникает и сразу же наступает установившийся режим, так как при этом в момент t = 0 свободная составляющая напряжения обращается в нуль.,

84 Если включение происходит при =, то свободная составляющая напряжения будет наибольшей и в начальный момент имеет значение I m X C. Начальное значение свободного тока при этом

85 Если CR < 1, т.е. R < X C, то в начальный момент времени происходит большой всплеск тока, намного превосходящий амплитуду I m. i t ImIm

86 Максимальное значение напряжения в переходном процессе не превышает удвоенной амплитуды напряжения на конденсаторе в установившемся режиме. (При и )

Переходные процессы в цепи с последовательно соединёнными участками R,L и C e U = const L C R

88 Уравнение цепи имеет вид Производим преобразования данного уравнения с учётом соотношений:

89 Искомое решение для напряжения на конденсаторе в общем виде имеет вид:

90 С учётом того, что напряжение на входе цепи является постоянным ( U = const ), получим u cу = const : Откуда:

91 Однородное уравнение, определяющее свободную составляющую напряжения на конденсаторе, можно записать или

92 Тогда Введем обозначения

93 Характеристическое уравнение: Корни уравнения Корни могут быть: действительные разные p 1 < 0 и p 2 < 0; действительные равные p 1 = p 2 = p < 0; комплексно-сопряженные

94 В соответствии с полученными корнями уравнения, записывается вид решения для свободной составляющей. В первом случае, переходный процесс называется апериодическим и характеризуется решением вида: где – коэффициент затухания; св – угловая частота свободных колебаний.

95 Во втором случае, переходный процесс называется пограничным или критическим и характеризуется решением вида: Во третьем случае, переходный процесс называется колебательным или периодическим затухающим и характеризуется решением вида:

96 Рассмотрим апериодический переходный режим Общий вид полного решения в этом случае: Для t = 0 (1)

97 Для определения двух постоянных интегрирования A 1 и A 2 необходимо сформировать два уравнения. Второе уравнение получим в результате дифференцирования полученного решения для напряжения конденсатора.

98 Для t = 0 (2)(2) Совместное решение уравнений (1) и (2) позволяет найти значения коэффициентов А 1 и А 2.

99. Для определения постоянных интегрирования А 1 и А 2 выполним расчёт схемы в 1 установившемся режиме и воспользуемся законами коммутации :

100 e U = const R Вид схемы для расчёта предкоммутационного режима:

101 Тогда:

102

103

104

105

106

107

I1I1 108

109 Рассмотрим критический или пограничный переходный режим Общий вид полного решения в этом случае: Для t = 0 Второе уравнение получим в результате дифференцирования полученного решения для напряжения конденсатора

110 Для t = 0

111 Ранее получены начальные значения:

112 С учётом того, что

113

114 Графические зависимости в данном случае подобны зависимостям предыдущего режима. Рассмотрим колебательный или периодический затухающий переходный режим Общий вид полного решения в этом случае: Для t = 0

115 Второе уравнение получим в результате дифференцирования полученного решения для напряжения конденсатора Для t = 0

116 Ранее получены начальные значения:

117

118

119

120

121

122 Процесс в данном случае является колебательным. Ток и напряжение на всех участках периодически меняют знак. Амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону, в цепи совершаются затухающие колебания. Угловая частота этих колебаний

123 В предельном случае R = 0 имеем = 0 и В этом случае колебания будут незатухающими. Период незатухающих колебаний и угловая частота этих колебаний: Следовательно, равна резонансной частоте контура.

124 Быстроту затухания тока принято характеризовать декрементом колебаний: Логарифмический декремент колебаний

Операторный метод расчёта переходных процессов Операторное изображение функций, их производных и интегралов При использовании операторного метода действительные функции времени, называемые оригиналами, заменяются операторными изображениями.

126 Соответствие между оригиналом и изображением устанавливается с помощью некоторого функционального преобразования. Это преобразование выбирается так, чтобы операции интегрирования и дифференцирования оригиналов заменялись алгебраическими операциями над их изображениями.

127 В этом случае дифференциальные уравнения для оригиналов переводят в алгебраические для их изображений. Связь между оригиналом f(t) и его изображением устанавливается с помощью интеграла Лапласа: где p = G + j – комплексное число.

128 Операторное изображение действительной функции f(t) является функцией комплексного числа p. Комплексное число p называют оператором. Соответствие между оригиналом и изображением F(p) := f(t).

129 Существует обратное функциональное преобразование Лапласа, по которому можно определить оригинал, зная его изображение. Его называют обратным преобразованием Лапласа: где p = G 0 + j.

130 Операторное изображение постоянной

131

132 Операторное изображение экспоненты

133

134 Операторное изображение производной

135

136

137

138 Пример практической реализации

139

140 Операторное изображение интеграла

141

142

143

R2R2 144 Пример практической реализации

145

146 Таким образом, при составлении уравнений цепи в операторной форме автоматически будут учитываться физические начальные условия – значения токов в катушках и напряжений на конденсаторах при t = 0.

147

148

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Первый закон Кирхгофа Второй закон Кирхгофа

150 Для k-ой ветви, содержащей элементы R, L, C: Операторное уравнение при ненулевых начальных условиях

151 или Величину называют обобщенным, или операторным, сопротивлением ветви.

152 Операторная запись законов Кирхгофа Закон Ома для k-й ветви

153 При ненулевых начальных условиях II закон Кирхгофа можно записать Рассматривая члены как ЭДС добавочных источников энергии в контурах, можно использовать все общие методы расчета сложных цепей. и

154 Соответствие изображений индуктивности и конденсатора во временной и операторной областях показано на рис. L C L C

Расчет переходных процессов операторным методом Главное достоинство операторного метода для расчета переходных процессов, заключающееся в алгебраизации дифференциальных уравнений цепи, особенно проявляется при расчете сложных цепей. Рассмотрим сначала несколько простых примеров, исследованных ранее классическим методом.

156 При практической реализации операторного метода исходная схема должна быть представлена операторной схемой замещения, которая представляет исходную схему после коммутации.

157 U = const R L схема 1 i(t)

158 Операторная схема замещения U/p R pLpL I(p) Li(0) i(0)=0

159 E U=const C R uRuR uCuC схема 2 i(t)

160 Операторная схема замещения E U/p 1/pC R i(t) u c (0)/p

161

1 162 схема 3

163 Операторная схема замещения Li 1 (0) U/p pL

164

165

166

Переход от изображения к оригиналу. Теорема разложения Для перехода к оригиналу необходимо представить изображение в виде рациональной дроби и заменить его простейшими слагаемыми, для которых известны оригиналы. Воспользуемся теоремой разложения.

168 Пусть имеется изображение в виде где M(p) и N(p) – полиномы от р, причем будем полагать m < n (m – степень полинома в числителе, n – в знаменателе). Предположим, что N(p) = 0 не имеет кратных корней, а также не имеет корней, равных корням уравнения M(p) = 0. При указанных условиях рациональную дробь можно разложить на простейшие дроби

169 где р n – корни уравнения N(p) = 0 Определим значение коэффициента А 1

170

171 р 1 – один из корней уравнения N(p) = 0

172 Для раскрытия неопределённости воспользуемся правилом Лопиталя

173 Аналогично определяются остальные коэффициенты А k

174 Искомая величина (оригинал функции) Данное выражение носит название ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ

175 ПРИМЕР практической реализации теоремы разложения

176

177

178

179

180

181

182 - ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА

Спектральный метод анализа переходных процессов

184 Непериодическую функцию времени можно представить в виде интеграла Фурье при помощи преобразований Лапласа, заменив формально оператор p на j ɷ Прямое преобразование Лапласа Прямое преобразование Фурье

185 Обратное преобразование Лапласа Обратное преобразование Фурье

186 Прямое преобразование Фурье называют спектральной функцией, спектральной характеристикой или спектральной плотностью

187

188 Из таблицы соответствия оригиналов и изображений получаем:

189 Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) Фазо-частотная характеристика (ФЧХ)

190 АЧХ

191 ФЧХ

192

193 Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) Фазо-частотная характеристика (ФЧХ)

194 АЧХ

195 ФЧХ

196 Одиночный прямоугольный импульс

197

198 АЧХ

199

200

Расчёт переходных процессов при произвольном воздействии (интеграл Дюамеля) Интеграл Дюамеля используется для расчета переходных процессов в линейных пассивных цепях с нулевыми начальными условиями при воздействии напряжения источника электрической энергии произвольной формы.

Переходная характеристика Переходная характеристика h(t) используется для расчета переходных процессов при воздействиях в линейных пассивных цепях при нулевых начальных условиях.

203 Переходная характеристика h(t) - это реакция цепи в виде тока или напряжения на единичную возмущающую функцию 1(t) источника при нулевых начальных условиях

204 Переходная характеристика h(t) зависит от времени t, параметров цепи R, L, C и может быть безразмерной, иметь размерность сопротивления или проводимости

205 Переходные характеристики h(t) определяются экспериментально или аналитически, например, операторным методом при подключении ЭДС в 1 (В) или источника тока в 1 (А)

206 Пусть на некоторую цепь воздействует источник u(t) произвольной формы, который заменим ступенчатой функцией

207

208 В основе метода расчета с помощью интеграла Дюамеля лежит принцип наложения. С учетом того, что цепь линейна, просуммируем токи от начального скачка напряжения и всех ступенек напряжения до момента t, вступающих в действие с запаздыванием по времени.

209 В момент времени t = 0 составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения: i (0) = u (0) h(t). В последующие моменты времени составляющие полного тока определяются с учётом временного интервала от начала скачка до текущего момента времени t :

210 i (τ) = Δu 1 × h(t- τ) i (2τ) = Δu 2 × h(t- 2τ) i (3τ) = Δu 3 × h(t- 3τ) i (kτ) = Δu k × h(t- kτ) Полный ток:

211 Данное соотношение называется интегралом Дюамеля

212 Последовательность расчета с использованием интеграла Дюамеля 1. Определение функции h (t) для исследуемой цепи. 2. Запись выражения h (t-τ) путем формальной замены t на t – τ. 3. Определение производной u'(τ) путем формальной замены t на t – τ в производной u'(t). 4. Подстановка найденных значений в уравнение и его интегрирование.

213 В качестве примера использования интеграла Дюамеля определим ток в приведённой цепи.

214 Исходные данные для расчета: 1. Определяем переходную проводимость. Ранее было получено:

215 Переходная проводимость h (t ) численно равно переходному току при действии напряжения на входе цепи U =1 В

Определяем выражение h (t- τ ):

Определяем производную u'( τ ) : 4. Подставляем найденные значения в уравнение и интегрируем его:

218

219

220 t 1000 i u(t)u(t)

Расчёт переходных процессов численными методами (метод переменных состояния) Метод переменных состояния используется для численного расчета на ЭВМ переходных процессов особенно в цепях

222 высокого порядка (n>2), когда применение аналитических методов затруднительно. Сущность этого метода состоит в составлении для схемы после коммутации и численном решении системы дифференциальных уравнений 1-го порядка для токов в индуктивностях и напряжений в емкостях.

223 Эти уравнения состояния составляются по законам Кирхгофа и решаются численно на ЭВМ при помощи специальных программ.

224 Этот

225 Порядок расчета Е С R1R1 R2R2 R3R3 L i1(t)i1(t) i2(t)i2(t) i3(t)i3(t)

226 В качестве переменных состояния следует выбрать те переменные, которые определяют энергетическое состояние заданной цепи, т.е. i 1 и u c. Составляем дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа:

227

228 Установим связь напряжения на катушке и тока в цепи конденсатора с переменными состояния, т.е.:

229 Из уравнения (3) выражаем ток i 3 и подставляем его в уравнение (2):

230 Подставим уравнения (4) и (5) в уравнение (1):

231

232

233

234

235 Учитываем, что

236 Уравнения (5) и (6) принимают вид:

237 Выражаем переменные состояния:

С учётом того, что: (7)

239

240

241 С учётом того, что: Определим начальные условия (8)

242 как результат расчёта до коммутационного режима: Е R1R1 R2R2 i 1 (0) = 0 u с (0) = E

243 R1,ОмR2,ОмR3,Ом 25 C, ФЕ,ВL,Гн 0, ,125 Для заданных числовых значений получим систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

244 Решение системы уравнений выполняется любым численным методом ( например, методом Рунге-Кутта). Графически полученные зависимости имеют следующий вид:

245 Зависимость напряжения на конденсаторе

246 Зависимость тока в ветви с индуктивностью

Понятие об электрических цепях с распределенными параметрами Параметры электрической цепи в той или иной степени распределены вдоль ее участков, и только абстрагируясь от действительности можно предполагать, что такие параметры цепи как активное сопротивление – R, индуктивность – L и

248 емкость – C сосредоточены в ее определен- ных участках. Во многих случаях такое допущение не приводит к существенным ошибкам в результатах проводимого анализа. Ранее мы имели дело с цепями с сосредоточенными параметрами. Однако, такой подход не всегда возможен. Например, рассматривая электромагнитные процессы, происходящие в электрических линиях, при помощи которых электрическая энергия или сигналы передаются на расстояние, необходимо иметь ввиду,

249 что электрические и магнитные поля распределены по всей длине линии, и превращение электрической энергии в тепло также происходит по всей длине линии. Критерием необходимости рассматривать цепь в качестве цепи с распределенными параметрами является то, что интервал времени распространения электромагнитной волны вдоль всей цепи и интервал времени, в течение которого токи и напряжения меняются на заметную величину, должны быть соизмеримыми.

250 Токи напряжения в таких цепях являются функциями двух независимых переменных: времени – t и расстояния – x, отсчитываемого вдоль направления цепи. Уравнения, описывающие процессы в таких цепях, являются уравнениями в частных производных. Примерами являются линии передачи электрической энергии, линии связи, антенные вводы радиотехнических устройств, обмотки электрических машин при воздействии на них импульсных токов и напряжений.

251 Параметры цепи могут быть распределены неравномерно вдоль линии. Однако во многих случаях этим можно пренебречь и считать параметры равномерно распределенными. Такие линии называются однородными.

252

253

Уравнения линии с распределенными параметрами

255 Уравнение по II закону Кирхгофа:

256

257 Эти уравнения носят название телеграфных.

258 Уравнения решаются однозначно при использовании начальных и граничных условий. Начальными условиями будут служить значения напряжения и тока в начале и конце линии в момент времени, принятый за нуль.

Периодический режим в однородной линии При периодическом режиме под действием приложенного гармонического напряжения в любой точке линии напряжение и ток изменяются гармонически с частотой источника.

260

261

262 Полученные соотношения подставим в систему телеграфных уравнений и сократим на сомножитель

263 Разрешим полученную систему относительно комплексного напряжения Ů

264

265 – постоянная распространения α – коэффициент затухания; β – коэффициент фазы

266

267

Определение постоянных интегрирования

269 Определим постоянные интегрирования из начальных условий: х = 0 ; Ů = Ů 1 ; İ = İ 1

270

271

272

273

274 Zвİ2Zвİ2 ZвZв

275 Zвİ2Zвİ2 ZвZв

Бегущие волны

277

278

279

240º240º 280

281 (1) (2)

282

283

284

285

286

Линия без искажений

288

289

Линия без потерь

291

292

293

294

295

296

297

298

299

300

301

302

303

304

Переходные процессы в электрических цепях с распределёнными параметрами В длинных линиях после коммутаций не сразу наступает установившийся режим. Теоретически переходный процесс продолжается бесконечно долго. Практически его длительность зависит от первичных параметров линии (R 0, L 0, G 0, C 0, l) и внутренних сопротивлений источников и приемников.

306 Однако даже при небольшой длительности переходных процессов отказ от их учета может привести к неправильному выбору оборудования, что, в свою очередь, может вызвать пробой изоляции при перенапряжениях и ложную работу защиты, ведущую к отключению установок. Анализ переходных процессов в однородных длинных линиях основан на дифференциальных уравнениях относительно токов и напряжений в начале линии:

307

308 Для расчета установившегося режима достаточно знать граничные условия (например, сопротивление приемника и напряжение в конце линии). Во время переходного процесса характер изменения напряжения и тока зависит не только от граничных, но и от начальных условий, т.е. величин напряжений и токов в момент коммутации.

309 Следовательно, для определения напряжений и токов необходимо найти решение дифференциальных уравнений в частных производных, удовлетворяющее начальным (t = 0) и граничным (x = 0) условиям, а также значениям токов в тех точках линии, где они заданы.

310 Для упрощения нахождения этого решения можно ограничиться рассмотрением переходных процессов в линиях без потерь. В качестве таких линий можно рассматривать линии связи. Кроме того, такое допущение можно сделать для рассмотрения начальных стадий переходного процесса в линиях электропередачи, которые важны для определения возможных перенапряжений и сверхтоков.

311 В этом случае решение можно записать как сумму прямой и обратной волн

312 Форма напряжения и тока прямой и обратной волн при движении остается неизменной. Анализ переходных процессов с волнами произвольной (и даже синусоидальной) формы очень сложен. Поэтому ограничимся рассмотрением переходных процессов с волнами прямоугольной формы.

313 С помощью таких волн могут рассматриваться процессы в начальный период после коммутаций (оперативное включение, повреждения) на линиях средней длины, когда за время распространения волны синусоидальное напряжение или ток заметно не изменяются

RнRн 2'2' 1' U1U1 Схема цепи

315 После замыкания рубильника напряжение в начале линии сразу станет равно напряжению источника – U 1. Возникнет прямая волна прямоугольной формы, перемещающаяся вдоль линии со скоростью v ф. Эту волну принято называть падающей Ток падающей волны:

316 u, i x t = 0

317 Точка, ограничивающая участок линии, до которого дошло волновое возмущение, называется фронтом волны. Достигнув конца линии, волна отражается. Величина обратной волны определяется коэффициентом отражения

318 При этом напряжение на нагрузке Ток в нагрузке Отсюда

319 Тогда

320 Исходя из этой формулы, можно составить эквивалентную схему замещения для расчета тока и напряжения в конце линии при произвольной нагрузке

321 Отраженная волна, дойдя до начала линии, вновь отразится, но отражение уже будет происходить с другим знаком

322

323

324

325 Нелинейности могут быть как полезными, так и вредными. В области передачи и преобразования энергии примерами отрицательных нелинейных эффектов могут служить: насыщение магнитопроводов электрических машин и связанные с этим искажения формы кривых тока и напряжения, увеличение тока холостого хода и потерь в стали. Положительная роль нелинейностей проявляется в таких важнейших электротехнических устройствах,

326 как стабилизаторы, преобразователи частоты, выпрямители, статические генераторы и др. Физические процессы, определяющие характеристики нелинейных элементов, часто настолько сложны, что не удается установить аналитическое выражение этих характеристик и получить уравнения, описывающие цепь.

327 Физические процессы, определяющие характеристики нелинейных элементов, часто настолько сложны, что не удается установить аналитическое выражение этих характеристик и получить уравнения, описывающие цепь. В этом случае, чаще всего на основе экспериментальных данных, приходится прибегать к приближенному аналитическому или графическому выражению нелинейных зависимостей. При этом важным моментом является рациональное упрощение или идеализация. В этом случае, чаще всего на основе экспериментальных данных, приходится прибегать к приближенному аналитическому или графическому выражению нелинейных зависимостей. При этом важным моментом является рациональное упрощение или идеализация.

328 С трого

329

330

331

332

333

334

335

336

337 I I I UU U а) б) в) I I I U U U г) д) е) Вольтамперные характеристики нелинейных элементов

338 Вольтамперные характеристики типа показанных на рис. а имеют, например, лампы накаливания с металлической нитью. Чем больше протекающий через них ток, тем сильнее нагревается нить и тем больше становится ее сопротивление.

339 Вольтамперные характеристики типа показанных на рис. б имеют тиритовые и вилитовые сопротивления, некоторые типы терморезисторов и лампы накаливания с угольной нитью. Сопротивление таких элементов с ростом тока уменьшается.

340 Вольт-амперной характеристикой типа, изображенной на рис. в, обладает бареттер, который используется в цепях стабилизации тока накала электронных ламп

341 Для этих характеристик (а,б,в) справедливо условие: f (I) = – f (–I). Такие нелинейные элементы называются элементами с симметричной вольт-амперной характеристикой.

342 Вольтамперная характеристика, представленная на рис. г несимметрична. Ею обладают полупроводниковые диоды. На рис. д изображена вольтамперная характеристика туннельного диода, на рис. е – вольтамперная характеристика динистора (неуправляемого тиристора).

343

344

345

346

347 а)б)

348

349

350

351

352

353

354 Для нелинейных электрических цепей справедливы законы Кирхгофа. Для цепей постоянного тока в установившемся режиме уравнения по законам Кирхгофа представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений. Так как метод наложения для таких цепей неприменим, то становится невозможным применение многих методов

355 расчета, разработанных на его основе (например, методы контурных токов и узловых потенциалов). Общих аналитических методов расчета нелинейных цепей в настоящее время не существует. Можно рассчитать нелинейную цепь тем или иным методом численного анализа, однако часто расчет становится громоздким и его необходимо проводить с помощью средств вычислительной техники.

356 При выполнении некоторых ограничений система нелинейных алгебраических уравнений может быть решена графическими, аналитическими или комбинированными методами. В случае применения графических методов характеристики линейных и нелинейных элементов представляют в виде графиков, а система алгебраических уравнений по законам Кирхгофа решается графическими построениями на плоскости.

357 Для аналитического решения вольтамперные характеристики нелинейных элементов, известные из опыта или заданные графическими либо табличными данными, аппроксимируются аналитическими функциями. Наибольшее применение находят графо- аналитические методы расчета, которые сочетают в себе возможность применения математических расчетов с простотой и наглядностью графических построений.

358 E I R 5.1 Последовательное соединение нелинейных элементов

359 I U E m n p g

360 Вольтамперная характеристика нелинейного элемента на рисунке обозначена как I = f(U нэ ), вольтамперная характеристика линейного сопротивления представляет собой прямую линию. Вольтамперная характеристика всей цепи обозначена через I = f(U нэ + U R ).

361 Расчет основывается на законах Кирхгофа. Строится вольтамперная характеристика всей пассивной цепи исходя из того, что при последовательном соединении через нелинейный элемент и резистор протекает один и тот же ток. Если задаться произвольной точкой m на оси ординат и провести через нее горизонталь, то можно сложить отрезки mn и mp, соответствующие падениям напряжения на элементах цепи mn + mp = mg.

362 Точка g принадлежит результирующей вольт-амперной характеристике всей схемы. Аналогично можно построить все остальные точки вольт-амперной характеристики. Затем на оси абсцисс откладывается величина ЭДС E и проводится вертикаль до пересечения с результирующей вольт-амперной характеристикой. Точка пересечения дает значение тока, протекающего в цепи.

Параллельное соединение нелинейных элементов I НЭ1 НЭ2 0 m n p g I U 1 2 3

364 Построение вольт-амперной характеристики ведется при одинаковом приложенном напряжении. Сначала задаются произвольным напряжением U, например, равным отрезку 0m. Проводят через точку m вертикаль. Затем производят суммирование mn + mp = mg. Отрезок mg равен току в неразветвленной части цепи при напряжении U 0m. Аналогично определяются и другие точки вольт-амперной характеристики параллельного соединения.

Расчет разветвленной нелинейной цепи методом двух узлов а) a b

б) в) г)

367 Положим, что E 1 > E 2 > E 3. По первому закону Кирхгофа I 1 + I 2 + I 3 = 0; I 1 = f(U 1 ); I 2 = f(U 2 ); I 3 = f(U 3 ). Выразим все токи в функции не от различных напряжений U 1, U 2, U 3, а в функции одного переменного – напряжения U ab между узлами:

368

369 Необходимо перестроить кривую I 1 = f(U 1 ) в кривую I 1 = f(U ab ) и т.д. Т.е.

Порядок построения кривой

371 Порядок перестройки кривой: 1) кривая I 1 = f(U 1 ) смещается параллельно самой себе так, чтобы ее начало находилось в точке U ab = E 1. Кривая, полученная в результате переноса, показана пунктиром; 2) через точку U ab = E 1 проводится вертикаль и кривая зеркально отражается относительно нее.

372 Аналогично производится перестройка кривых и для других ветвей. I m I 1 + I 2 + I 3 = f(U ab )

373 Точка m пересечения кривой I 1 + I 2 + I 3 = f(U ab ) с осью абсцисс дает значение напряжения U ab, при котором удовлетворяется I закон Кирхгофа. Если восстановить в этой точке перпендикуляр к оси абсцисс, то ординаты его пересечения с кривыми I 1 = f(U ab ), I 2 = f(U ab ), I 3 = f(U ab ) будут равны токам в ветвях по величине и по знаку.

Статические характеристики магнитных материалов Для увеличения магнитного потока, а также для концентрации магнитного поля и придания ему желаемой конфигурации в определенном месте электротехнической установки ее части выполняют из ферромагнитных материалов.

375 Эти ферромагнитные части называются магнитопроводом или сердечником. В цепях переменного тока ферромагнитные сердечники позволяют получить целый ряд особых явлений. Магнитный поток в большинстве случаев создается токами, протекающими по системе проводов, которую называют обмоткой (катушкой) устройства.

376 Систему ферромагнитных тел, предназначенных для усиления и концентрации магнитного потока, который создается токами обмоток или постоянными магнитами, называют магнитной цепью. О магнитной цепи говорят в тех случаях, когда главная часть магнитного потока проходит по замкнутой или почти замкнутой системе ферромагнитных тел с большой проницаемостью.

377 Свойства магнитных материалов обычно характеризуют зависимостью между индукцией B и напряженностью H магнитного поля, которая аналитически точно не определяется, а находится экспериментально и задается в виде графиков и таблиц. При одном и том же значении напряженности магнитного поля индукция может иметь различные значения.

378 B B H B (H) называют кривой начального намагничивания (основная кривая намагничивания)

379 Статическая магнитная проницаемость материала (B, Тл; H, А/м) где – магнитная проницаемость вакуума. Величина зависит от напряженности поля.

380 Магнитное состояние зависит от предшествующих воздействий, которые постепенно стираются новыми воздействиями. Такое свойство называется гистерезисом (от греческого – запаздывание).

381 B H Семейство петель гистерезиса

382 По мере увеличения увеличивается ширина петли гистерезиса и меняется ее форма. При некотором форма петли уже не изменяется, а растут безгистерезисные участки. Такая петля носит название предельной петли гистерезиса.

383 Характерными точками на петле являются: B r – остаточная индукция при Н = 0; Н с – коэрцитивная (задерживающая) сила при В = 0. Магнитные материалы принято характеризовать основной кривой намагничивания, которая является геометрическим местом вершин симметричных петель гистерезиса (на рис. она показана сплошной линией).

384 Основная кривая намагничивания однозначна, вполне определена для данного материала и проще всего снимается экспериментально.

Основные законы и особенности магнитной цепи Расчеты магнитных цепей основываются на законе полного тока и на принципе непрерывности магнитного потока

386 Чем больше величина магнитной проницаемости материала, тем легче проходить магнитному потоку по участку магнитной цепи, выполненному из данного материала. Магнитные цепи часто содержат воздушные зазоры. Эти зазоры могут быть неизбежны по конструктивным причинам или быть принципиально необходимыми (зазоры между статором и ротором электрических машин). Форма магнитного поля в воздушном зазоре обычно неоднородна и трудно поддается расчету. Только в случае, когда длина магнитных зазоров мала по сравнению с поперечными размерами, поле в воздушном зазоре можно считать однородным.

387 Законы Кирхгофа для магнитной цепи. Аналогия между магнитными и электрическими цепями Из принципа непрерывности магнитного потока следует, что для узла магнитной цепи справедливо выражение Уравнение является аналогом первого закона Кирхгофа: алгебраическая сумма потоков, сходящихся в узле цепи, равна нулю.

388 Распределение магнитных потоков

389 Линейный интеграл напряженности вдоль участка ab цепи называется магнитным напряжением участка Намагничивающая сила (НС) катушки F, А равна F = I W

390 Из закона полного тока следует магнитный аналог второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма НС обмоток в замкнутом контуре магнитной цепи равна алгебраической сумме магнитных напряжений на отдельных участках контура.

391 Между магнитными и электрическими величинами существует аналогия: По аналогии можно ввести понятие о магнитном сопротивлении:

Расчеты магнитных цепей Rм 2Rм 2 Uм 2Uм 2 Ф R м 1 Iw Uм 1Uм 1 s 2 l 2 /2 I w Ф l1s1l1s1 а)б) Rм 0Rм 0 Uм 0Uм 0 s о = s 1

393 H1H1 2 1 B2B1B2B1 B H H2H2

394 Возможны два варианта постановки задачи: а) по заданному магнитному потоку Ф (или индукции В в заданном сечении) требуется определить ток I в обмотке – прямая задача; б) по заданному току в обмотке I требуется определить магнитный поток Ф или индукцию В в заданном сечении – обратная задача.

395 Прямая задача сравнительно просто решается аналитическим путем. Пусть магнитный поток Ф известен. Тогда Значения координат Н 1 и Н 2 находим по заданной кривой намагничивания В=f(Н) для расчетных точек В 1 и В 2. Значение напряженности поля в зазоре определяем из уравнения

396 По 2-ому закону Кирхгофа для схемы замещения находим значение МДС: Искомый ток в обмотке равен:

397 Обратная задача решается методом последовательных приближений. Пусть задан ток в обмотке реле I и требуется определить магнитный поток Ф. Задаются в первом приближении значением магнитного потока и, решая прямую задачу, определяют значение тока в первом приближении.

398 во втором приближении. и определяют значение тока С учетом неравенства задаются значением магнитного потока во втором приближении

399 Циклы расчета или итерации выполняются до достижения требуемой точности определения искомой величины. Учитывая, что решение прямой задачи является сравнительно простым и нетрудоемким, то и решение обратной задачи, требующее выполнения нескольких циклов расчета, является относительно нетрудоемким и может выполняться вручную, без помощи ЭВМ.

400 Как прямая, так и обратная задача могут быть решены графически методом сложения ВАХ отдельных участков. Ф U 1 U 2 U 0 Iw n U (Ф) U2(Ф)U2(Ф) U1(Ф)U1(Ф) U0(Ф)U0(Ф) U Ф

401 Расчет разветвленных магнитных цепей графическим методом

402 s2s2 w I R 20 U1(Ф1)U1(Ф1) Ф 1 Ф 2 Ф 3 l 1 s 1 s 3 l 3 а) б) Iw U3(Ф3)U3(Ф3) U2(Ф2)U2(Ф2) l 2 2 а в F=Iw -задано

403 Графическое решение задачи выполняется в следующей последовательности. Магнитная цепь разбивается на однородные участки и согласно этой разбивке составляется эквивалентная схема. На основе заданных геометрических размеров (l, S) и основной кривой намагничивания В=f(Н) выполняется расчет ВАХ для каждого выделенного участка цепи по форме

404 Результаты расчета ВАХ сводятся для удобства пользования в общую таблицу. В одной системе координат в выбранных масштабах для Ф и U стоятся графические диаграммы ВАХ для отдельных участков цепи.

405 ФВб Задают……… В1В1 ТлФ 1 / S 1 В2В2 ТлФ 2 / S 2 В3В3 ТлФ 3 / S 3 Н1Н1 А/мH1=f(B1)H1=f(B1) Н2Н2 H2=f(B2)H2=f(B2) Н3Н3 H3=f(B3)H3=f(B3) Н0Н0 H 0 = B 0 U1U1 АH1l1H1l1 U2U2 АH2l2H2l2 U3U3 АH3l3H3l3 U0U0 АH0δ0H0δ0 IwА ΣUк ΣUк

406 Ф3Ф3 Ф2Ф2 U0(Ф2)U0(Ф2) Ф1Ф1 U ав U 1 Iw n U2(Ф2)U2(Ф2) U1(Ф1)U1(Ф1) U3(Ф3)U3(Ф3) U ФФ 2 (U ав ) + Ф 3 (U 3 )=Ф 1 (U ав ) U 2 (Ф 2 ) +U 0 (Ф 2 )= = U ав (Ф 2 ) U ав +U 1 = Iw F=Iw(Ф 1 ) mm s h

407 Расчет разветвленных магнитных цепей аналитическими и численными методами

408 b a с d m

409 Составим уравнения по законам Кирхгофа для магнитной цепи Пусть ветвь amb будет участком 1, ab – участком 2, (ad + cb) – участком 3, dc – 4 По I закону Кирхгофа для узла a – 3 =0.

410 По II закону Кирхгофа для внешнего и правого контуров при обходе их против часовой стрелки можно записать:

411 Расчёт аналитическими или численными методами выполняют при условии аппроксимации вебер- амперных характеристик участков магнитной цепи. Для аппроксимации ВАХ, симметричных относительно начала координат, используют нечетные математические функции, например, степенной полином с нечетными степенями или уравнение гиперболического синуса.

412 Выберем для аппроксимации основной кривой намагничивания степенной полином вида: Коэффициенты аппроксимации a, b, n можно определить по методу выбранных точек. Для этой цели на графической функции B=f(H) выбираются три точки 1, 2, 3 (по числу определяемых коэффициентов)

413 H 1 H 2 H B3B2B1B3B2B1 B H 2 1

414 Определяются их координаты, например: точка 1 (B=1,0 Тл, H= 100 А/м), точка 2 (B=1,4 Тл, H= 500А/м), точка 3 (B=1,5 Тл, H= 800 А/м). Так как функция B=f(H) в области насыщения описывается в основном вторым слагаемым bB n, то для точек 2 и 3 можно приближенно принять

415 Так как показатель степени n должен быть целым нечетным числом, то принимаем n=7. Коэффициенты a и b определяются из совместного решения системы уравнений для точек 1 и 2:

416 Уравнение аппроксимации примет окончательный вид:

417 Схема замещения магнитной цепи а в

418 На начальном этапе расчёта выбираются произвольные значения магнитной индукции B на каждом из участков магнитной цепи. При помощи полученных уравнений аппроксимации вычисляются значения напряжённости H магнитного поля каждого из участков магнитной цепи. Значения магнитных потоков каждого из участков вычисляются по соотношениям вида: Ф = В×S

419 Магнитные напряжения на участках магнитной цепи определяются при помощи соотношений: U м = H × l. Магнитные сопротивления участков магнитной цепи определяются при помощи соотношений: Rм = U м / Ф

420 В основу численного метода анализа может быть положен метод простой итерации, алгоритм которого основан, например, на методе двух узлов. Узловое напряжение магнитной цепи k- ой итерации вычисляется по следующей итерационной формуле:

421 По узловому напряжению вычисляются напряжения на участках магнитной цепи k – итерации:

422 Магнитные сопротивления каждого из участков магнитной цепи на предыдущем шаге итерации определяются соотношениями:

423 Значения магнитных потоков на следующем итерационном шаге определятся соотношениями:

424 В дальнейшем итерационный процесс повторяется до достижения заданной точности расчётов:

Общая характеристика нелинейных цепей переменного тока и методов их исследования Нелинейные цепи переменного тока могут содержать в своей структуре нелинейные элементы любого рода: нелинейные резисторы u(i), нелинейные катушки ψ(i) и нелинейные конденсаторы q(u).

426 Физические характеристики нелинейных элементов на переменном токе могут существенно отличаться от их аналогичных характеристик на постоянном токе. Существуют нелинейные элементы, у которых время установления режима соизмеримо с периодом переменного тока, т.е. проявляется инерционность. По этому показателю все нелинейные элементы разделяют на инерционные и безинерционные.

427 К инерционным относятся те нелинейные элементы, нелинейность характеристик которых обусловлена температурным режимом (лампы накаливания, термисторы). Установление температурного режима в таких элементах требует некоторого времени. Температура и, следовательно, сопротивление такого элемента определяется действующим значением тока в нем.

428 Таким образом, для действующих значений тока и напряжения инерционный элемент является нелинейным, а для мгновенных значений в интервале периода линейным. Физические характеристики безинерционных нелинейных элементов остаются практически неизменными в широком диапазоне частот.

429 Нелинейность таких элементов проявляется как для действующих, так и для мгновенных значений величин. Нелинейность физических характеристик приводит к искажению форм кривых физических величин на зажимах таких элементов.

430 Так, например, при синусоидальном напряжении на зажимах безинерционного нелинейного резистора ток в нем будет несинусоидальным и, наоборот, при синусоидальном токе напряжение на его зажимах будет несинусоидальным. К безинерционным нелинейным элементам относят полупроводниковые приборы: диоды, туннельные диоды, транзисторы, стабилитроны, тиристоры и др.

431 Электромагнитные процессы в нелинейной цепи переменного тока могут быть описаны системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по уравнениям Кирхгофа. В математике не существует общих методов решения таких систем уравнений и, следовательно, не существует общих методов расчета нелинейных цепей переменного тока.

432 Все задачи по расчету нелинейных цепей переменного тока в установившемся режиме можно разделить на две группы. К первой группе задач относятся такие, в которых целью расчета является определение действующих значений токов и напряжений. Такие задачи встречаются в электроэнергетике, где искажение форм кривых токов и напряжений незначительны и не играют существенную роль, а определяются действующие значения этих величин.

433 Ко второй группе задач относятся такие, в которых целью расчета является определение мгновенных значений токов и напряжений, а также форм кривых и гармонических спектров функций. Такие задачи встречаются в электронике, где принцип действия устройств основан на преобразовании форм кривых переменных с помощью нелинейных характеристик элементов.

Замена несинусоидальных функций напряжения и тока эквивалентными синусоидальными В электрических цепях электроэнергетики, содержащих нелинейные элементы, искажение форм кривых токов и напряжений незначительны, играют второстепенную роль и ими можно пренебречь. Для исследования таких цепей можно применять так называемый метод эквивалентных синусоид. Сущность метода состоит в том, что при незначительных искажениях форм кривых несинусоидальные функции токов и напряжений

435 i(t) и u(t) заменяются эквивалентными по действующему значению синусоидальными функциями fэ(t)fэ(t) f (t)f (t) fэ(t)fэ(t) f(t)f(t) FmFm FmFm F max f f t t

436 При переходе к эквивалентным синусоидам происходит полная потеря информации о формах кривых функций, их гармонических составах, максимумах и минимумах и т. д. минимумах Если характеристика нелинейного элемента выражается уравнением:

437

438

439

440

Методы расчета нелинейных цепей переменного тока на основе ВАХ для эквивалентных синусоид Замена несинусоидальных функций i (t) и u (t) эквивалентными синусоидальными позволяет применить к расчету нелинейных цепей переменного тока комплексный метод со всеми вытекающими из него преимуществами.

442 В простейших случаях, когда схема цепи состоит только из последовательно или только из параллельно включенных элементов, решение задачи может быть выполнено графически методом сложения ВАХ. Отличительной особенностью данного метода является то обстоятельство, что отдельные ВАХ складываются не арифметически, как это имело место в цепях постоянного тока, а векторно в соответствии с уравнениями Кирхгофа в комплексной (векторной) форме.

443 n U I U(I)U(I) UR(I)UR(I) UL(I)UL(I) I E E U R I R U L (I) ULUL URUR ULUL

444 Векторное сложение ВАХ отдельных элементов по оси U следует выполнить в соответствии со вторым законом Кирхгофа в результате сложения получим результирующую ВАХ U(I). Положение рабочей точки n на результирующей ВАХ определяется условием U = E. Последовательность графического решения показана на рисунке стрелками.

445 Та же задача может быть решена аналитически методом последовательных приближений. Так как в аналитических методах расчета используется математическая форма ВАХ, то заданную ВАХ нелинейной катушки аппроксимируем одним из уравнений, например I = aU + bU 5. Составляется схема вычислений: задаются в первом приближении.

446 и т. д. до достижения требуемой точности, например, Далее следуют вычисления:

447 Резонансные явления в нелинейных цепях Резонанс в цепи, содержащей нелинейную катушку с ферромагнитным сердечником и линейный конденсатор, получил название феррорезонанса. Для качественного исследования явления феррорезонанса воспользуемся методом эквивалентных синусоид.

448 Феррорезонанс напряжений будет иметь место в схеме с последовательным соединением элементов при выполнении условия U L = U C. Векторное сложение ВАХ отдельных элементов U R (I), U L (I) и U C (I) производится в соответствии с уравнением 2-го закона Кирхгофа:.

449 I1I U L –U С UС(I)UС(I) I n U I U(I)U(I) UR(I)UR(I) UL(I)UL(I) U1U1 E UСUС UL(I)UL(I)С R URUR ULUL U0U0 I0I0 I2I2

450 I1I U L –U С UС(I)UС(I) I n U I U(I)U(I) UR(I)UR(I) UL(I)UL(I) U1U1 E UСUС UL(I)UL(I)С R URUR ULUL U0U0 I0I0 I2I2 I3I3

451 При плавном повышении напряжения от 0 до U 1 ток будет также плавно изменятся от 0 до I 1. При U=U 1 произойдет скачкообразное изменение тока от I 1 до I 2. При последующем повышении напряжения будет наблюдаться опять плавное изменение тока. При плавном уменьшении напряжения обратный скачёк тока от I 0 до I 3 произойдет при напряжении U=U 0. Участок ВАХ 1 0 с отрицательным дифференциальным сопротивлением является участком с неустойчивым режимом работы и при питании цепи от источника ЭДС экспериментально не может быть зафиксирован.

452 Резонансу напряжений на результирующей ВАХ соответствует точка 0, для которой выполняется условие U L = U C. Таким образом, исследуемая нелинейная цепь обладает следующими свойствами, нехарактерными для линейной цепи:

453 1) резонансный режим в цепи достигается изменением приложенного к ней напряжения; 2) в цепи могут иметь место скачкообразные изменения тока или триггерный эффект; 3) при одном и том же напряжении источника в цепи могут наблюдаться три различных режима, один из которых неустойчивый.

454 Нелинейная катушка с сердечником на переменном токе Ф s Ф 0 u i l ср.

455 Протекающий по обмотке w ток i создает магнитный поток Ф, большая часть которого (основной поток) Ф о замыкается по сердечнику, и незначительная часть (поток рассеяния) Ф s – по воздуху. Основной поток Ф о нелинейно зависит от тока i, а поток рассеяния пропорционален току, следовательно: – индуктивность рассеяния.

456 Электрическое состояние цепи можно описать нелинейным дифференциальным уравнением:

457 При синусоидальном напряжении на зажимах искажения форм кривых других переменных (i, Ф) будут незначительны, поэтому для исследования режима катушки можно применить метод эквивалентных синусоид.

458 Уравнение цепи в комплексной форме получит вид: для комплексных амплитуд; для комплексных действующих значений. Данному уравнению соответствует эквивалентная схема замещения катушки с сердечником.

459 U G0G0 IpIp I IaIa U0U0 XsXs R B0B0

460 При инженерных расчетах технических устройств, содержащих стальные магнитопроводы и работающих при переменном токе, нельзя пренебрегать потерями в стали, так как именно этими явлениями и обусловлены потери энергии, значение которых во многом определяет тепловой режим работы устройств. Вихревые токи возникают в стальном магнитопроводе под влиянием электрического поля, наводимого в магнитопроводе переменным магнитным потоком.

461 Для уменьшения влияния вихревых токов магнитопровод собирают из отдельных электрически изолированных один от другого листов. Кроме того, для уменьшения вихревых токов листы изготавливаются из специальных сортов электротехнической стали, содержащих различные примеси, снижающие удельную проводимость. Если пренебречь неравномерностью распределения магнитного потока в поперечном сечении листов, то мощность потерь от вихревых токов

462 где – коэффициент, зависящий от сорта стали и толщины листов; B m – амплитуда магнитной индукции; G – масса рассматриваемой части магнитопровода.

463 Периодическое перемагничивание стали сопряжено с потерями энергии, обусловленными гистерезисом. Мощность потерь от гистерезиса определяется по различным эмпирическим формулам, например: где – коэффициент, зависящий от сорта стали; n = 1,6 при 0,1 < B m < 1, Тл; n = 2 при 1 < B m < 1,6, Тл.

464 где R, X S активное и реактивное (рассеяния) сопротивления обмотки катушки; G, B активная и реактивная проводимости, вносимые сердечником.

465 Мощность потерь в стали Полные потери в катушке со стальным сердечником: – потери в меди

IpIp Ia Ia I U 0 =E IR jX S I +j U Ф0Ф0 Векторная диаграмма для схемы замещения

467 Определение параметров схемы замещения:

468 Определение комплексных величин

469 Из векторной диаграммы следует: +1 IpIp Ia Ia I U 0 =E IR jX S I +j U Ф0Ф0 φ

Методы расчета мгновенных значений в нелинейных цепях переменного тока Графический метод При расчете мгновенных значений напряжений u(t) и токов i(t) в нелинейной цепи используются физические характеристики нелинейных элементов, а именно:

471 вольтамперная характеристика u=f(i) или i=f(u) для резистора, веберамперная характеристика i=f( ) или =f(i) для катушки и кулон­вольтная характеристика q=f(u) или u=f(q) для конденсатора.

472 В качестве примера рассмотрим графический расчет тока нелинейной катушки в режиме синусоидального напряжения (тока холостого хода трансформатора) : u w i

473 Пусть к зажимам катушки приложено напряжение u(t)=U m sin t. Магнитный поток в сердечнике связан с напряжением уравнением индукции:

474 t 1 t 2 t 3 t 4 2 i (t) Ф (t) u (t) Ф i t 0 0

475 Анализ решения показывает, что намагничивающий ток катушки имеет несинусоидальную форму.

476 Гармонический метод В нелинейных цепях переменного тока происходят искажения форм кривых токов и напряжений. Несинусоидальные функции токов i(t) и напряжений u(t), как известно, можно представить в виде гармонических рядов Фурье. В гармонических методах расчета решение для искомых величин находят в виде суммы отдельных гармоник.

477 В качестве примера рассмотрим расчет тока в нелинейной катушке. Вебер-амперную характеристику катушки аппроксимируем уравнением степенного полинома: i L ( ) = a + b 5.

478 R (i) u iRiR iLiL i e

479 Пусть к зажимам катушки приложено напряжение u(t) = U m sin ( t +90 o ). Магнитное потокосцепление катушки связано с напряжением уравнением индукции: откуда

480 Ток в резисторе определяется по закону Ома: Ток в катушке найдется в результате подстановки функции (t) в уравнение аппроксимации:

481 Используя формулу понижения степени получим:

482 Ток источника определяется по первому закону Кирхгофа, при этом сложение гармоник токов одинаковой частоты можно выполнять в комплексной форме: где:

483 где Анализ решения показывает, что намагничивающий ток катушки имеет несинусоидальную форму и содержит в своем составе только нечетные гармоники, при этом основная гармоника тока отстает от приложенного напряжения на угол = u i = 90 o 1.

484 Метод численного интегрирования Режим нелинейной цепи любой сложности может быть описан системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа.

485 Как известно из математики, система дифференциальных уравнений (как линейных так и нелинейных) может быть решена методом численного интегрирования (методы Эйлера, Рунге-Кутта). Таким образом, режим любой нелинейной цепи может быть рассчитан методом численного интегрирования дифференциальных уравнений.

486 C uCuC e i( ) R u i uRuR uLuL

487 Система дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Ома и Кирхгофа и дополненная нелинейным алгебраическим уравнением аппроксимации характеристики нелинейного элемента будет иметь вид: (1) (2) (3) (4) (5) e = E m ·sin( t) = u R + u L + u С u R = i ·R u L = d /dt i = C·(du С /dt) i = a·sh(b· )

488 Решение этой системы уравнений может быть выполнено методами численного интегрирования на ЭВМ (например, методом Эйлера). Суть метода состоит в том, что период переменного тока Т разбивается на большое число шагов интегрирования, например N=1000, дифференциалы переменных заменяются конечными приращениями d, du u, di i, dt t

489 производные переменных отношением приращений d /dt / t, du/dt u/ t). На каждом шаге производится решение системы уравнений и определяются значения переменных величин (токов, напряжений) и их производных, причем в качестве исходных данных принимают значения некоторых переменных на предыдущем шаге. В качестве таких функций принимают u С (t), i L (t), которые определяют запасы энергии в электрическом и магнитном поле, вследствие чего они не могут изменяться скачкообразно.

490 Непосредственным результатом расчета будут являться массивы значений переменных величин (токов, напряжений) и их производных в заданном интервале времени (например, в течение периода Т). В результате последующей обработки массивов данных могут быть определены действующие, средние, максимальные значения переменных, их гармонический состав и другие параметры функций.

491 Метод численного интегрирования (численный метод) обладает высокой точностью, так как в нем непосредственно используются физические характеристики нелинейных элементов. С появлением ЭВМ и расширением области их применения данный метод является основным при расчете нелинейных цепей как в установившемся, так и в переходном режиме.

492 Рассмотрим один из вариантов решения полученной системы уравнений методом численного интегрирования. Исходные данные: параметры элементов схемы (E m, f, R, C, a, b); начальные условия u С (0)=0, (0)=0. Принимаем: N число шагов интегрирования за период тока, Т = 1/f период тока, =2 f угловая частота, h = t = T/N шаг интегрирования.

493 Алгоритм решения системы для произвольного к-го шага: t к = h·к; из (5) i к = a·sh(b· (к-1) ); из (2) u R к = i к ·R; из (1) u Lк = E m ·sin( t к ) u Rк u С(к-1) ; из (3) (d /dt) к = u Lк ; из (4) (du С /dt) к = i к / C; к = (к-1) + h · (d /dt) к ; u Ск = u С(к-1) + h · (du С /dt) к.

494 Вычисление определенных интегралов для определения действующих и средних значений переменных (здесь и далее на примере тока i): S i1 =S i1 + i к · i к ·h S i2 =S i2 + i к ·h Вычисление определенных интегралов для определения гармонических спектров переменных: для 1-й гармоники: S i3 =S i3 + i к ·sin(1 · t к ) ·h S i4 =S i4 + i к ·cos(1· t к ) ·h для 2-й гармоники: S i5 =S i5 + i к ·sin(2· t к ) ·h S i6 =S i6 + i к ·cos(2· t к ) ·h, и т.д.

495 Определение максимальных значений переменных: если i к > I m то I m = i к. Конец к-го цикла интегрирования. После завершения процесса интегрирования производится вычисление интегральных параметров переменных. Действующие значения:

496 Cредние значения: Амплитуды синусных и косинусных составляющих гармоник: Амплитуды и начальные фазы гармоник:

497 Коэффициенты амплитуды: К а =I max / I, и т.д. Коэффициенты отдельных гармоник: К г 2 =I 2m / I 1m, К г 3 =I 3m / I 1m, и т.д. Коэффициенты искажения: К и = I вг /I, и т.д. Коэффициенты формы: К ф = I / I ср, и т.д. Действующие значения высших гармоник:

Переходные процессы в нелинейных цепях Общая характеристика переходных процессов в нелинейных цепях Переходные процессы в нелинейных цепях описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. Расчет переходных процессов в нелинейных цепях сводится, таким образом, к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений.

499 Значительные трудности, возникающие при таких расчетах, обусловлены сложностью решения нелинейных дифференциальных уравнений. Для расчета переходных процессов в нелинейных цепях нельзя указать общие методы, применимые для любого класса цепей. Выбор метода расчета всегда индивидуален и определяется конкретными условиями задачи: структурой схемы цепи, видом уравнения аппроксимации нелинейной характеристики, требованиями к форме

500 искомой функции и др. Ниже перечислены наиболее важные методы, которые применяются для расчета переходных процессов в нелинейных цепях: 1) метод аналитической аппроксимации характеристики нелинейного элемента; 2) метод кусочно-линейной аппроксимации характеристики нелинейного элемента; 3) метод условной линеаризации характеристики нелинейного элемента; 4) метод численного интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Метод аналитической аппроксимации характеристики нелинейного элемента Метод основан на аппроксимации характеристики нелинейного элемента такой функцией, которая позволяет проинтегрировать дифференциальное уравнение цепи стандартным методом. Ценность метода заключается в том, что в результате интегрирования, решение для искомой функции получается в общем виде, что позволяет исследовать влияние

502 на искомую функцию различных факторов. Метод применим главным образом к простым электрическим цепям, процессы в которых описы­ваются дифференциальным уравнением 1-го порядка. Рассмотрим применение данного метода к расчету переходного процесса при включении нелинейной катушки i( ) к источнику постоянной ЭДС E.

503 i(ψ) i=kψ 2 ψ i E i R

504 Дифференциальное уравнение цепи составляется по 2-му закону Кирхгофа: откуда следует: где обозначены x=, a =a =

505 По таблице интегралов находим решение: Временная зависимость потокосцепления:

506 Используя соотношение i=kψ 2 может быть получена временная зависимость i=f(t)

Метод кусочно-линейной аппроксимации характеристики нелинейного элемента Метод основан на аппроксимации характеристики нелинейного элемента отрезками прямой. При такой аппроксимации дифференциальные уравнения цепи на отдельных участках будут линейными и могут быть решены известными методами (классическим или операторным).

508 При переходе от одного участка к другому в дифференциальных уравнениях будут скачком изменяться постоянные коэффициенты, что повлечет скачкообразное изменение коэффициентов в их решении. Решения для отдельных участков сопрягаются между собой на стыках участков на основе законов коммутации.

509 E i R i(ψ)

510 Нелинейную вебер-амперную характеристику катушки (i) заменим отрезками прямой линии (ломаной линией ): 3 0 I 1 I 2 I y ψ(i) Ψ 2 Ψ 30 Ψ 1 Ψ 20 2 i ψ 1

511 Аппроксимируем отдельные отрезки ломаной линии уравнениями прямой: 1) для отрезка 0-1 2) для отрезка 1-2 3) для отрезка 2-3

512 Коэффициенты аппроксимации 20, 30 определяются из графической диаграммы, а коэффициенты L 1, L 2, L 3 через координаты точек стыка отрезков (0,1, 2, 3): Дифференциальные уравнения для отдельных участков будут иметь вид:

513

514 Решения уравнений для отдельных участков, найденные классическим методом, будут отличаться только постоянными коэффициентами: 1) 2) 3)

515 где Постоянные интегрирования находятся из начальных условий и законов коммутации: при t = 0, i 1 (0) = 0, из решения (1) следует A 1 = I y, при t = t 1, i 2 (t 1 ) = I 1, из решения (2) следует A 2 = I 1 I y, при t = t 2, i 3 (t 2 ) = I 2, из решения (3) следует A 3 = I 2 I y.

516 Вид окончательных решений для токов каждого из участков: 1) 2) 3)

517 Моменты времени t 1, t 2, соответствующие переходу процесса с одного участка характеристики на другой, определяются из совместного решения уравнений для смежных участков в точке стыка: для точки 1: откуда следует

518 откуда следует для точки 2:

519 t 1 t I1I1 I2I2 IyIy i t

Метод условной линеаризации характеристики нелинейного элемента Суть метода заключается в том, что на I этапе расчёта реальная нелинейная ВАХ заменяется линейной и задача сводится к решению линейного дифференциального уравнения. Найденное решение уточняется по реальной нелинейной характеристике ВАХ.

521 E i u н.э. (i) L

522 u н.э. i E I уст. α t t t1t1 t2t2 t2t2 t3t3 t3t3 t4t4 t4t4

523 Решение уравнения (2):

524 Построенный график тока позволяет построить зависимость u н.э.(t) При помощи этого графика уточняется значение тока, полученное по реальной ВАХ при помощи уравнения(1):

525 u н.э. E t t1t1 t2t2 t3t3 t4t4 S1S1 ΔtΔt E- u н.э. (t 1 ) S2S2 ΔtΔt

526

527 u н.э. i E I уст. t t t1t1 t2t2 t2t2 t3t3 t3t3 t4t4 t4t4 2 1

528 По полученным значениям тока строится новая зависимость тока от времени (кривая 2). Уточняется новая зависимость напряжения на резисторе от времени, что позволит построить новую временную зависимость тока. Решение повторяется до достижения требуемой точности расчёта.

Метод численного интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений Режим нелинейной цепи любой сложности может быть описан системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа.

530 Метод численного интегрирования (численный метод) обладает высокой точностью. С появлением ЭВМ и расширением области их применения данный метод является основным при расчете нелинейных цепей в переходном режиме.

531 Алгоритм решения сформированной системы дифференциальных уравнений аналогичен алгоритму, рассмотренному при расчёте численным методом установившихся режимов в нелинейных цепях переменного тока (п.7.4).

532

533

534

535

536

537

538

539

540