Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное и их практическое применение Автор работы: Никонова Мария Алексеевна, ученица 6 б класса Консультант: Светлова Татьяна Михайловна, учитель математики I квалификационной категории

Цель работы: создать целостное представление о понятиях НОД и НОК. Задачи: Систематизировать ранее полученные знания о НОД и НОК. Расширить спектр задач по теме. Исследовать практическое применение НОД и НОК и их историю.

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ Например: (28, 21) = 7(60, 27, 42) = 3 Для чисел а 1,а 2, …, а n он обозначается (а 1,а 2, …, а n ). Наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из данных целых чисел, называется наибольшим общим делителем этих чисел.

КАК НАЙТИ НОД? Разложение на простые множители Чтобы найти НОД(m,n), числа m и n разлагают на простые множители и подчеркивают общие множители двух разложений. Затем все подчеркнутые множители одного из чисел выписывают отдельно и перемножают. Получающееся произведение и будет наибольшим общим делителем данных чисел. Например, 72=22233, 96=222223, значит, НОД(72,96) = 2223 = 24. Чтобы найти НОД(m,n), числа m и n разлагают на простые множители и подчеркивают общие множители двух разложений. Затем все подчеркнутые множители одного из чисел выписывают отдельно и перемножают. Получающееся произведение и будет наибольшим общим делителем данных чисел. Например, 72=22233, 96=222223, значит, НОД(72,96) = 2223 = 24. Алгоритм Евклида Чтобы найти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, нужно сначала большее число разделить на меньшее, затем второе число разделить на остаток от первого деления, потом первый остаток - на второй и т.д. Последний ненулевой положительный остаток в этом процессе и будет наибольшим общим делителем данных чисел. Чтобы найти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, нужно сначала большее число разделить на меньшее, затем второе число разделить на остаток от первого деления, потом первый остаток - на второй и т.д. Последний ненулевой положительный остаток в этом процессе и будет наибольшим общим делителем данных чисел.

Алгоритм Евклида известен издавна. Ему уже более 2 тыс. лет. Этот алгоритм сформулирован в «Началах» Евклида Обозначив исходные числа через а и b, положительные остатки, получающиеся в результате делений, через r1, r2, …, rn, а неполные частные через q1, q2,..., qn +1, можно записать алгоритм Евклида в виде цепочки равенств: a = bq1+r1, b = r 1 q 2 +r 2, r n-2 = r n- 1q n + r n, r n-1 = r n q n+1. Пусть а = 777, b = 629. Тогда 777 = , 629 = , 148 = 374. Последний ненулевой остаток 37 и есть наибольший общий делитель чисел 777 и 629.

Равенства, определяющие его, дают возможность представить наибольший общий делитель d чисел a и b в виде d = ах + by (x; у - целые числа), что позволяет находить решения диофантовых уравнений Алгоритм является средством для представления рационального числа в виде цепной дроби, что хорошо представлено в системах календаря Алгоритм Евклида имеет много применений

после сокращения на наибольший общий делитель числителя и знаменателя полученная дробь будет уже несократимой Нахождение наибольшего общего делителя двух чисел оказывается полезным при сокращении дробей:

НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ Например: [4, 6] = 12[21, 42, 63] = 126 Для чисел а 1,а 2, …, а n он обозначается [а 1,а 2, …, а n ]. Наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из данных целых чисел, называется наименьшим общим кратным этих чисел.

Наименьшее общее кратное можно найти при помощи разложения чисел на простые множители. Разложим данные числа на простые множители и подчеркнем общие множители двух разложений. Произведение всех неподчеркнутых множителей первого (второго) числа называется дополнительным множителем второго (первого) числа. Если теперь любое из данных чисел умножить на его дополнительный множитель, то получится наименьшее общее кратное данный чисел. Например, 40 = 2225, 150 = Видно, что дополнительный множитель для 150 равен 22. т.е. 4, а дополнительный множитель для 40 равен 35, т.е. 15. Тогда НОК(40,150) = 1504=600. НОК(40,150) =4015=600

Применение НОД и НОК на практике

Я и моя подруга Юля решили купить одинаковые наборы. Каждый набор состоит из открытки с конвертом. Я заплатила за наборы 65 руб., а Юля - на 26 руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила Я? А Юля?

У моей московской подруги Оли родители работают водителями трамваев: мама на маршруте «А», папа на «Б». Один рейс маршрута «А» длится 48 мин, а маршрута «Б» 72 мин. Через какое время Олины родители снова встретятся на этой станции? У этих маршрутов есть общая конечная станция, и вскоре после начала работы вагоны подошли к ней одновременно.

По плану парада физкультурники сначала должны маршировать строем по 12 человек в шеренге. Потом они должны перестроиться в колонну по 18 человек в шеренге. Сколько физкультурников нужно пригласить для участия в параде? Чтобы физкультурников можно было построить и в шеренги но 12 человек, и в шеренги но 18 человек, нужно, чтобы их число было кратно и 12, и 18. Запишем ряды кратных этих чисел и подчеркнем в них общие числа. Ряд кратных числа 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, … Ряд кратных числа 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, … Видно, что физкультурников для участия в параде можно пригласить или 36, или 72, или 108, или....

Длина комнаты 575 см, а ширина 375 см. Пол в комнате нужно выложить декоративными плитками в форме квадрата. Каков наибольший возможный размер такого квадрата? Сколько плиток такого размера, понадобится? Длина комнаты 575 см, а ширина 375 см. Пол в комнате нужно выложить декоративными плитками в форме квадрата. Каков наибольший возможный размер такого квадрата? Сколько плиток такого размера, понадобится?

1. Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 78, а наибольший общий делитель равен Найдите все пары натуральных чисел, разность которых 66, а наименьшее общее кратное равно Натуральные числа a,b и с таковы, что НОК(a,b) = 60, НОК(a,c) = 270 (НОК(x,y) - наименьшее общее кратное чисел х и у). Найдите НОК(b,с). 4. Каким может быть наибольший общий делитель натуральных чисел m и n, если при увеличении числа m на 6 он увеличивается в четыре раза? 1. Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 78, а наибольший общий делитель равен Найдите все пары натуральных чисел, разность которых 66, а наименьшее общее кратное равно Натуральные числа a,b и с таковы, что НОК(a,b) = 60, НОК(a,c) = 270 (НОК(x,y) - наименьшее общее кратное чисел х и у). Найдите НОК(b,с). 4. Каким может быть наибольший общий делитель натуральных чисел m и n, если при увеличении числа m на 6 он увеличивается в четыре раза? В контрольно-измерительных материалах по математике в задания части С включены упражнения на более глубокое знание исследуемой темы:

ОТВЕТЫ 1.13 руб., 5 наборов, 7 наборов; 2.3 ч. 24 мин.; 3.36 или 72, или 108… 4.25 см, 345 плиток. Часть С 1.78 и 13 или 26 и 29; 2.90 и 24; или 540; 4.2 или руб., 5 наборов, 7 наборов; 2.3 ч. 24 мин.; 3.36 или 72, или 108… 4.25 см, 345 плиток. Часть С 1.78 и 13 или 26 и 29; 2.90 и 24; или 540; 4.2 или 6.

«Портфолио-2012»

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !!!