Лекция 3 Кафедра Информатики ВКГУ им. С. Аманжолова

Системы счисления Тема лекций:

кафедра информатики У-Ка, План лекций: позиционные и непозиционные системы счисления; порождение целых чисел в позиционных системах счисления; соответствие чисел в различных системах счисления; двоичная система счисления; перевод чисел из одной системы счисления в другую; арифметические операции в позиционных системах счисления.

кафедра информатики У-Ка, Системы счисления - - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). - это принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений.

кафедра информатики У-Ка, Взгляните на эти действия: 2 х 2 = 11 5 х 5 = : 9 = = = А Такие записи кажутся странными. А ведь это правильные операции, только выполнены они в различных системах счисления, отличных от наиболее широко применяемой десятичной, - в троичной, восьмеричной, пятнадцатеричной, двоичной и, наконец, в шестнадцатеричной. Развитие систем счисления происходило параллельно развитию самой цивилизации. С развитием электронно-вычислительной техники большое применение получили двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Системой счисления принято называть совокупность приёмов наименования и обозначения (записи) чисел. Условные знаки, применяемые при обозначении чисел, обычно называют цифрами. В ряде систем счисления числа записывают как последовательности цифр. Например, 569, , ХХIV

кафедра информатики У-Ка, Системысчисления Системы счисления Непозиционные Значение символа не зависит от его позиции в записи числа, а определяется только его изображением. Пример: римская С.С. I-1 V-5 X-10 L-50 C-100 D-500 M-1000 Позиционные Значение символа (вес цифры) зависит от его места (позиции), последовательности цифр, изображающих число. Характеризуются своим основанием. Пример: 759,3 10

кафедра информатики У-Ка, Самая простая система счисления была еще у древних людей. Какое число нужно записать, столько сделают засечек на палке, или в кучку камешков положат. Но это удобно, пока числа небольшие. Вы только представьте себе число записанное с помощью кучки камушков, а ?. Неудобно? Самая простая система счисления Тогда стали люди придумывать как по другому записывать большие числа. Для начала решили, что каждые 10 палочек заменять загогулинкой, и счет пошел легче! Так появилась аддитивная система счисления.аддитивная система счисления Но люди никогда не стоят на месте, они постоянно чего-нибудь изобретают. Не захотелось людям вырисовывать по десятку палочек да загогулинок, и решили каждое круглое число обозначить по-особому. Но для этого потребовалось большое количество цифр-символов, и, чтобы не изобретать велосипед, решили использовать алфавит. Так и появилась на свет алфавитная аддитивная система счисления. Такая система очень долго использовалась по всей Европе, и во многих государствах за ее пределами.алфавитная аддитивная система счисления Но далеко не все народы делали свои записи с помощью алфавита или слоговых знаков (об алфавитах и слоговых знаках здесь). В Китае иероглифы не позволили появиться такой системе счисления, и тогда ученые изобрели немного другую систему, названную мультипликативная система счисления. Эта система имела одно очень важное свойство: в ней одна и та же цифра, в зависимости от расположения в записи числа могла иметь разные значения. Именно такой системой счисления мы с Вами сейчас и пользуемся.здесь мультипликативная система счисления

кафедра информатики У-Ка, В позиционных системах счисления местоположение цифры определяет её значение. Так в числе 555 один и тот же знак 5 означает или пять сотен (555 ), или пять десятков (555 ), или пять единиц (555). Основанием позиционной системы счисления называется число цифр, которые используются при записи чисел. В числе XXVIII знак X всегда означает десять единиц. Классическим образцом непозиционной системы является римская система счисления. В непозиционной системе счисления смысл каждой цифры числа не зависит от занимаемой ею позиции.

кафедра информатики У-Ка, Позиционные С.С. За основание позиционной системы счисления может быть принято любое натуральное число, т.е. бесчисленное множество. Запись чисел каждой из системы счисления с основанием q означает сокращенную запись такого выражения: (an-1q(n-1)+an-2q(n-2)+…+anq(n)+…+a0q(0)+a-1q(-1)+…+a-mq(-m))*, где ai – цифры системы счисления n-целых, m-дробных разрядов, (i)-показатель степени. Число можно представить в виде суммы произведения коэффициентов на соответствующую степень основания системы счисления.

кафедра информатики У-Ка, Позиционная система счисления способ записи чисел цифровыми знаками, где значение каждой входящей в число цифры зависит от ее положения (позиции=разряда). Позиционная 005 = 5*1 (пять) 050 = 5*10 (пятьдесят) 500 = 5*100 (пятьсот) Непозиционная IX = 10-1 = 9 XI = 10+1 = 11 XX = = 20

кафедра информатики У-Ка, Для позиционной системы счисления где x – основание системы счисления a i – цифры числа i – номер позиции (разряда), начиная с 0 справедливо следующее выражение: + a 0 *x 0 + a 1 *x 1 + a 3 *x 3 + a 2 *x 2 + a 4 *x 4 … …a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 =

кафедра информатики У-Ка, Восьмиричная позиционная система счисления с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Основание системы счисления - число 8. Примеры записи чисел: = 3* * *8 0 = 3* = = ) 555:8 = 69,3 2)69:8 = 8,5 3) 8:8 = 1,0

кафедра информатики У-Ка, Десятичная система счисления - наиболее известная. Эта система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке - наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале ХIII в. Благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Несмотря на кажущуюся простоту, десятичная система содержит глубокую математическую идею. Известный французский математик, физик, астроном Пьер Симон Лаплас по этому поводу писал так: Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, ещё значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учёности Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой. Итак, имеем десятичную позиционную систему счисления с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Основание системы счисления - число 10

кафедра информатики У-Ка, Применима запись чисел в форме: и наоборот:

кафедра информатики У-Ка, Десятичная система счисления 2*12*16*100*1001* = = 0123 i 2601 aiai например, 1062 – число в десятичной системе счисления xixi + a 0 *x 0 + a 1 *x 1 a 3 *x 3 + a 2 *x 2 a 3 a 2 a 1 a 0 = x=10 единицыдесяткисотнитысячи имя

кафедра информатики У-Ка, Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение её тоже связано со счётом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырёх пальцев: всего их 12. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков - 12 штук.

кафедра информатики У-Ка, Шестнадцатиричная позиционная система счисления представляется цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, латинскими буквами A, B, C, D, E, F, G. Основание системы счисления - число 16.

кафедра информатики У-Ка, Особый интерес представляет так называемая "вавилонская ", или шестидесятеричная, система счисления, весьма сложная система, существовавшая в Древнем Вавилоне. Мнения историков по поводу того, как именно возникла эта система счисления, расходятся. Существуют две гипотезы. Первая исходит из того, что произошло слияние двух племён, одно из которых пользовалось шестеричной, другое - десятичной. Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса. Суть второй гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что естественно связано с числом 60. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например, 1 час = 60 минут, 1 градус = 60 минут. В целом шестидесятеричная система счисления громоздка и неудобна.

кафедра информатики У-Ка, Двоичная система счисления способ записи чисел с помощью цифр 1 и 0, которые являются коэффициентами при степени числа 2. Например, &101. & - амперсант указывает на то, что число записано в двоичной системе.

кафедра информатики У-Ка, Двоичная система счисления К наиболее простым системам счисления относится двоичная - позиционная система счисления с основанием два. Для изображения любого числа в ней используются только две цифры - 0 и 1. Двоичную цифру называют битом. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Все-общее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие. Большинство современных электронно-вычислительных машин используют в своей работе именно эту систему чисел. С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки - точки и тире, может передать практически любой текст.

кафедра информатики У-Ка, Двоичная система счисления 0*10*11*21*20*40*41*81* &1010 = i 0101 aiai например, & 1010 – число в двоичной системе счисления 1248 xixi + a 0 *x 0 + a 1 *x 1 a 3 *x 3 + a 2 *x 2 a 3 a 2 a 1 a 0 = x=2 = 10

кафедра информатики У-Ка, ПРАВИЛА ДВОИЧНОЙ АРИФМЕТИКИ 1. Сложение: 1+1=10 1+0=1 0+1=1 0+0=0 2. Вычитание: 1-1=0 1-0=1 0-1=1 0-0=0 Число в двоичной системе можно представить в виде суммы степеней двойки с коэффициентами-цифрами, аналогично, как и для десятичных:

x Перевод 2 -> & =13 x xx

кафедра информатики У-Ка, «Вычисление с помощью двоек…, сведение чисел к простейшим началам (0 и 1)» было предложено еще в XVII веке знаменитым немецким ученым Г.В. Лейбницем.

кафедра информатики У-Ка, Двоичная система счисления &101 =5 &110 = &111 = 6 7 = 8&1000 = 9&1001 Круглые числа &1 = 1 &10 = 2 &100 = 4 &1000 = 8 &10000 = 16 & = 32

кафедра информатики У-Ка, Перевод из десятичной системы счисления Целые и дробные числа переводятся порознь! 1. Для перевода целого числа необходимо разделить его на основание системы счисления q и продолжать делить частное от деления до тех пор, пока частное не станет равно Последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке начиная с последнего и будет числом с основанием q. Пример: 25/2=12 (ост. 1) 12/2=6 (ост. 0) 6/2=3 (ост. 0) 3/2=1 (ост. 1) 1/2=0 (ост. 1) =

кафедра информатики У-Ка, – – – –9– –4– –2– –1– старший разряд ( ) 2 =(149) 10 ответ

кафедра информатики У-Ка, – – – –9– –4– –2– –1– старший разряд 149 делим на два и получаем 74 и 1 в остатке Далее 74 делим на два и получаем 37 без остатка (пишем 0) И так делим до того момента, когда делить будет больше нечего ОТВЕТ: ( )2=(149)10 Записываем полученные в остатке числа в ответ справа налево.

кафедра информатики У-Ка, Перевод из десятичной системы счисления Целые и дробные числа переводятся порознь! 1. Для перевода дробной части (числа, у которого 0 целых) с основанием q необходимо последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. 2. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения. 3. Умножение производится до тех пор, пока дробная часть не будет равна 0, а в противном случае до заданной точности. Пример: 0,375*2=0,75 0,75*2=1,5 0,5*2=1 0, =0,011 2

Перевод 10 –> = &11001 Проверка 1* * * * *2 0 = 1*16 + 1*8 + 0*4 + 0*2 + 1*1 = = 25

Перевод самостоятельно (10 –> 2) = &10010 Проверка 1* * * * *2 0 = 1*16 + 0*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 = = 18

Сравнительная таблица Пример записи Цифры системы Основание системы & #15f a b c d e f = & = #ff

кафедра информатики У-Ка, Перевод двоичных чисел в восьмеричные и шестнадцатеричные Для перевода целого двоичного числа в восьмеричные (шестнадцатеричные) необходимо разбить его по 3 (4) цифры справа налево, недостающие знаки заменить нулями, а затем каждой группе поставить ее восьмеричный (шестнадцатеричный) эквивалент. Пример: = =36B 16 Так же производится перевод дробных чисел, но разбивать их надо слева направо от запятой и добавлять нули в конце. Пример: 0, =0, , =0,76 16

кафедра информатики У-Ка, Чтобы число из двоичной системы перевести в восьмиричную или шестнадцатиричную, нужно воспользоваться таблицей: цифры 8-ая с.с 16-ая с.с A1010 B1011 C1100 D1101 E1110 F1111 Например, переведем число из двоичной системы в восьмиричную: Справа налево отсчитаем по три цифры Одной не хватает, поэтому дописываем один нолик. (если бы не хватало двух, дописали бы два ноля и т.д.) 0 Теперь с помощью таблицы записываем результат. Например, 011 во втором столбике эквивалентна 3 в первом; 111 = 7; 000 = 0; 100 = 4 Ответ: ( )2 = (3704)8

кафедра информатики У-Ка, цифры 8-ая с.с 16-ая с.с A1010 B1011 C1100 D1101 E1110 F1111 Ту же самую операцию мы проделаем с числом, когда будем переводить в 16-ую систему. Только теперь справа налево отсчитываем по 4 цифры Ответ: (7С4)16

x Перевод 16 -> b 4 # 0 b =75 x x 11 x

кафедра информатики У-Ка, Перевод 10 –> = #b4 Проверка 11* *16 0 = 11*16 + 4*1 = = 180 = b

# RGB #ff0000#00ff00#0000ff #ffffff #b48abe

Запись чисел в различных системах счисления F E D C B A 10-я 2-я 8-я 16-я я 8-я 2-я 10-я

кафедра информатики У-Ка,

кафедра информатики У-Ка, Арифметические действия в двоичной системе выполняются следующим образом: 1+1=10 1+0=1 0+1=1 0+0=0 1-0=1 1-1=0 0-0=0 10-1=1 1*0=0 0*1=0 0*0=0 1*1=1 И с помощью этих действий можно решать более сложные примеры: _______

кафедра информатики У-Ка, Необыкновенная девчонка А. Н. Стариков Ей было тысяча сто лет, Она в 101-ый класс ходила, В портфеле по сто книг носила – Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий. Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали. И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно… Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ.

кафедра информатики У-Ка,

Вавилонская система счисления Вавилонская система (шестидесятеричная) одна из первых известных систем счисления мира, основанная на позиционном принципе появилась в Древнем Вавилоне за 2000 лет до н.э. Мы делим один час на 60 минут, а минуту делим на 60 секунд. Также окружность мы делим на 360 частей. Оказывается мы следуем примеру Вавилона!

Домашнее задание

кафедра информатики У-Ка, Задача 1 В бумагах одного чудака найдена была его автобиография. Она начиналась следующими строками: «Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34- летней девушке. Незначительная разница в возрасте всего 11 лет способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей.» Попробуйте разгадать ее.

Для хранения области экрана монитора размером 256 х 128 точек выделено 32 Kb оперативной памяти. Количество цветов, максимально допустимое для раскраски каждой точки: 4; 16; 256; 512 ? Задача I= N= Всего точек = 128*256 = 2 7 *2 8 = Всего памяти = 32Kb = 32*2 10 b = 2 5 *2 10 b = 2 15 b 3. Памяти на одну точку = 2 15 b / 2 15 = 1b = 8 бит 4. Комбинаций на основании 8 бит = 2 8 = 256 ОЙ!

Досье на сотрудников занимают 8 Mb. Каждое из них содержит 16 страниц (32 строки по 64 символа в строке). Сколько сотрудников в организации: 256; 512; 1024; 2048? Задача 3 I= N= Символов 1 д. = 16*32*64 = 2 4 *2 5 *2 6 = Всего = 8Mb = 2 3 *2 20 b = 2 23 b 4. Кол-во сотр. = 2 23 b / 2 15 b = 2 8 = символ = 1b 2. Памяти на 1 д. = 2 15 b страница страница страница страница страница 16 ОЙ!

кафедра информатики У-Ка, Тему готовили: преподаватели кафедры информатики ВКГУ им. С.Аманжолова 2007 год

кафедра информатики У-Ка,