Авторы: Равичев Л.В., Ломакина И.А. Кафедра менеджмента и маркетинга РХТУ им. Д.И.Менделеева. Москва СТАТИСТИКА. Лекция 1. Теоретические распределения в анализе вариационных рядов. Аналитическая статистика.

2 Общие сведения о математическом моделировании Различают два вида зависимостей между явлениями и процес- сами: функциональную и стохастическую (вероятностную, статистическую). Процесс, явление. X W Y U

3 Моделирование рядов распределения Если имеется эмпирический ряд распределения, то необходимо найти функцию распределения, т.е. подобрать такую теоретическую кривую распределения, которая наиболее полно отображала бы закономер- ность распределения. Нахождение функции кривой распределения на- зывается моделированием эмпирического ряда распределения. Для аппроксимации (выравнивания) эмпирических кривых распреде- ления и сопоставления их с теоретическими в статистике часто ис- пользуются нормальное распределение: где (t) – ордината кривой нормального распределения; t = (x- x )/ - стандартное отклонение; x – варианты ряда; x – средняя величина вариант; - стандарт.

4 Моделирование рядов распределения Основные свойства кривой нормального распределения: (t) - функция нормального распределения – четная, т.е. (-t) = (+t) ; функция имеет бесконечно малые значения при t = ; функция имеет максимум при t = 0; при t = 1 функция имеет точки перегиба; функция имеет бесконечно малые значения при t =. P(x) xx =0,5 =1,0 =2,0 В статистике часто используют функцию плотности распределения:

5 Моделирование рядов распределения Связь между теоретической нормированной функцией нормального распределения и теоретической денормированной функцией нормального распределения для интервального вариационного ряда определяется соот- ношением: где А – коэффициент нормировки, который для распределения с равными интервалами x=k рассчитывается с помощью соотношения: f i - частота i-го интервала ряда.

6 Расчет теоретических частот нормального распределения Пример. В приведенной таблице показано распределение ткачих по степени выполнения норм выработки. Исходя из предположения о нормальном законе распределения определить теоретические частоты. Группы ткачих по степени выполнения норм, % х До Число ткачих f Середина интервала х Свыше Итого Находим среднее значение выполнения норм по формуле: Среднее значение выполнения норм x =124,20%, 2. Находим взвешенное квадратическое отклонение (стандарт) по формуле: Стандарт = 13,69%.

7 Расчет теоретических частот нормального распределения 3. Находим значения параметра t. 4. Находим значения параметра t Находим значения теоретической нормированной функции (t). 6. Находим значение коэффициента А. 7. Находим теоретические частоты m(t) и f m. Группы ткачих по степени выполнения норм, % х До Свыше 150 Итого Число ткачих f Середина интервала x (t) 0, , , , , , , ,99 10,90 23,25 29,10 21,35 9,19 2,32 99, m(t) fmfm t2t2 4,551 1,968 0,452 0,003 0,623 2,309 5,063 - Теоретические частоты t=(x-x)/ -2,133 -1,403 -0,672 0,058 0,789 1,520 2,250 -

8 Расчет теоретических частот нормального распределения

9 Методы расчета значений теоретической нормированной функции (t) 1. С помощью таблицы значений нормированной функции: 0,0 0,1 Целые и десятые доли t Сотые доли t 0 0,3989 0, ,3989 0, ,3977 0, ,3973 0, ,3989 0,3961 2,10,0440 0,0431 0,03710,0363 5,00, ,3988 0, ,0422 0,0413 2,10,04400,04310,0413 0,03710,03630, ,3988 0, ,0413 Расчет значений t может быть произведен с помощью стандартной функ- ции Excel НОРМАЛИЗАЦИЯ. НОРМАЛИЗАЦИЯ(Х ;X; ) НОРМАЛИЗАЦИЯ(95;124,20;13,69) -2,

10 Методы расчета значений теоретической нормированной функции (t) 2. С помощью стандартной функции Excel НОРМРАСП. НОРМРАСП(Х ;X; ;I). При I=1 функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию рас- пределения (F (x) ); если I=0, то возвращается функция плотности распре- деления (P (x) ). Для получения значений теоретической нормированной функции (t) не- обходимо домножить возвращаемое значение функции НОРМРАСП на. НОРМРАСП(95;124,20;13,69;0)* 13,69 0,

11 Критерий согласия Пирсона Критерий согласия Пирсона: Для найденного значения критерия согласия Пирсона и числа степеней свободы =n-1 определяется соответствующая вероятность P( 2 ). При P( 2 )>0,5 считается, что эмпирическое и теоретическое распределе- ния близки, при P( 2 ) [0,2;0,5] совпадение удовлетворительное, в осталь- ных случаях – недостаточное.

12 Критерий согласия Пирсона Способы нахождения вероятности P( 2 ). 1. С помощью таблиц распределения Пирсона ( 2 ): 1 2 Число степеней свободы Вероятность P( 2 ). 0,999 0, , ,995 0, ,0100 0,50 0,455 1,386 0,001 10,827 13,815 60,381 0,6765,348 22, ,58813,787 0,70 0,148 0,713 25,50829,336 59,703 3,828 6 Для приведенного примера: =7-1=6; 3,828 5,348 2 =4,37; 0,500,70 Р( 2 ) находится в диапазоне от 0,5 до 0,7. В линейном приближении Р( 2 )=0,628.

13 Критерий согласия Пирсона 2. С помощью стандартной функции Excel ХИ2ТЕСТ. ХИ2ТЕСТ(f;f m ). Функция ХИ2ТЕСТ в качестве промежуточного действия вычисляет 2 и возвращает вероятность P( 2 ).

14 Критерий согласия Пирсона Рассчитав значение P( 2 ) можно получить значение критерия Пирсона с помощью стандартной функции Excel ХИ2ОБР. ХИ2ОБР(P( 2 ) ; ). Функция ХИ2ОБР возвращает значение 2.

15 Критерий согласия Колмогорова Критерий согласия Колмогорова: где D – максимальное значение разности между накопленными эмпири- ческими и теоретическими частотами. Эмпиричес- кие частоты f Теоретичес кие частоты f m Накопленные теоретические частоты S Отклонение |S 1 -S 2 | Накопленные эмпирические частоты S Р( ) 1

16 Критерий согласия Романовского Критерий согласия Романовского: где 2 – критерий Пирсона, - число степеней свободы ( =n-3). При С