Введение В этой работе рассматривается класс треугольников с прямой OI, параллельной основанию. Доказан ряд свойств этого класса. Многие из полученных свойств являются и признаками. Также были исследованы дополнительные конструкции. Общеизвестные утверждения: Теорема Фейербаха Лемма об ортоцентре OIH1-лемма Важный факт: AIH=90. Следствия: - Точка Фейербаха является серединой отрезка AH - Точки А, O и N (точка Нагеля) лежат на одной прямой. - cos B + cos C = 1 Каждое из утверждений выше является также и признаком. Еще свойства: - ОА1 и АН пересекаются на описанной окружности (в точке Х) (Это утверждение также является признаком) - A1X=r - A0, I, F лежат на одной прямой - AC, AB и OI пересекаются в одной точке (Это утверждение также является признаком) - BC проходит через F и точку, диаметрально противоположную A1. Следствие для рассматриваемого класса треугольников: Прямая AA1 параллельна основанию. Общее утверждение: Пусть А1, B1 и C1 – образы вершин треугольника Жергонна при симметрии относительно сторон. A2:=BB1 AC (аналогично определяются точки В2 и С2). Тогда А2, В2 и С2 лежат на прямой OI. Теорема: Окружность ω, описанная около треугольника ΔFP1Q1, касается окружности Эйлера и вписанной окружности в точке F. План доказательства: 1) Образы прямой OI отражении относительно сторон треугольника ΔA1B1C1 пересекаются в точке F Введем дополнительно точки P2 и Q2. 2) Прямая P2Q2 проходит через I 3) Прямая P2Q2 перпендикулярна биссектрисе A 4) Окружность, описанная около треугольника ΔA1P2Q2 касается вписанной окружности в точке A1 Данная окружность при симметрии относительно P2I переходит в ω, и из этого вытекает утверждение теоремы Замечания и следствия: -Треугольник ΔFP1Q1 гомотетичен треугольнику ΔABC -На прямой P2Q2 также лежит ортоцентр Н Результаты: 1) Собраны известные и придуманы новые свойства и признаки рассматриваемого класса треугольников. 2) Одно из придуманных свойств обобщается в утверждение для произвольного треугольника, дающее три новых точки на прямой OI. 3) Для данного класса треугольников найдена окружность, касающаяся окружности Эйлера и Фейербаха в одной точке. Полученная теорема доказана с помощью общеизвестных утверждений и вспомогательных конструкций.