Статистические показатели

Виды, типы и значение статистических показателей Статистический показатель это обобщающая характеристика явления или процесса, которая характеризует всю совокупность единиц обследования и используется для анализа совокупности в целом.

Показатели разделяются на виды в зависимости: от способа их вычисления, признаков времени, выполнения своих функций.

По способу вычисления различают: первичные производные показатели. Первичные определяются путем сводки и группиров­ки данных и представляются в форме абсолютных величин (на­пример, количество и сумма вкладов граждан в банке).

Произ­водные показатели вычисляются на базе первичных и имеют фор­му средних или относительных величин (например, средняя зара­ботная плата, индекс цен).

Среди статистических показателей отдельную группу состав­ляют обратные показатели пары характеристик, которые существуют параллельно и отвечают одному и тому же явлению (процессу). Так, для прямого показателя х, который изменяется в направлении изменения явления (например, производительность труда за одну единицу времени), существует обратный в про­ тивоположном направлении (например, трудоемкость единицы продукции).

По признаку времени показатели разделяются: интерваль­ные моментные. Интервальные характеризуют явление за опре­деленный период времени (месяц, квартал, год): например, сред­немесячные совокупные расходы на душу населения.

Момент­ные показатели характеризуют явление по состоянию на опреде­ленный момент времени (дату): например, остаток оборотных средств на начало месяца.

По способу выполнения своих функций рассматривают пока­затели: отображающие объем явления, его средний уровень, интенсивность проявления, структуру, изменение во времени или сравнение в пространстве.

Разновидности статисти­ческих показателей: абсолютные; относительные величины; средние величины; показатели вариации.

Чтобы статистические показатели правильно характеризова­ли явление, которое рассматривается, необходимо выполнять та­кие требования: опираться при их построении на положения экономической теории, статистическую методологию, опыт статистических работ; добиваться полноты статистической информации как по охвату единиц объекта, так и по комплексному отображению всех сторон процесса, который изучается;

обеспечивать сопоставление статистических показателей за счет подобия исходных данных во времени и в пространстве; обеспечивать точность и надежность исходной информации для достоверности содержания исследуемого процесса.

Абсолютные и относительные величины Абсолютными величинами в статистике называют количе­ственные показатели, которые определяют уровень, объем, чис­ ленность рассматриваемых общественных явлений (например, капитал фирмы на начало года, посевная площадь сельских хо­ зяйств на данный момент времени, численность рабочих предпри­ятия в отчетном периоде и т. п.).

По способу выражения рассматриваемого явления абсолют­ные величины разделяются: индивидуальные; общие (суммар­ные). Индивидуальные величины характеризуют признаки отдель­ных единиц совокупности. Они являются основой сводки и груп­пировки статистических данных.

Общими величинами яв­ляются такие абсолютные показатели, которые выражают разме­ры количественных признаков у всех единиц совокупности. Их находят при суммировании индивидуальных абсолютных вели­чин.

Абсолютные величины это именованные числа и в зависи­мости от характера явления или процесса могут иметь разные еди­ницы измерения: натуральные (кг, м, шт. и т.д.); условно-нату­ральные (одна условная банка консервов, одна условная единица минеральных удобрений и т. д.);

Согласно инструкции Госкомстата 106 от года за условную банку принимается банка массой 400 г для овощных и фруктовых консервов. Для мясных консервов условной считается банка емкостью 440 г, для мясорастительных г, для рыбных консервов и консервов из морепродуктов г; для всех других видов консервов за учетную (условную) единицу принимается банка емкостью 353,4 куб. см.

трудовые (человеко-час, челове­ко-день); стоимостные (руб., дол. США, евро и др.).

Относительные величины Относительные величины это обобщающие количествен­ные показатели, которые выражают соотношение сравниваемых абсолютных величин. Логической формулой относительной величины является та­кая обычная дробь: Велич. сравнения Относительная величина = База сравнения

В зависимости от величин числителя и знаменателя этой дроби относительные величины могут быть выражены в таких формах: коэффициентах (частях), когда за базу сравнения принимают соответствен­но 1 процентах (%), когда за базу сравнения принимают соответствен­но 100 единиц промилле (% 0 ), когда за базу сравнения принимают соответствен­но 1000 единиц

продецимилле (°/ ооо ). когда за базу сравнения принимают соответствен­но единиц.

В зависимости от своих функций, которые выполня­ют относительные величины при проведении анализа, эти вели­чины можно классифицировать по-разному. Отношение одноименных показателей: относительные величины динамики; относительные величины структуры; относительные величины координации; относительный показатель планового задания; относительный показатель выполнения плана; относительные показатели сравнения.

Отношение разноименных показателей: относительные величины интенсивности; относительные величины дифференциации.

Относительные величины динамики Относительные величины ди­намики характеризуют направление и интенсивность изменения показателей во времени и определяются соотношением их значений за два периода или момента времени.

При этом базой сравнения может быть предыдущий уровень (расчет цепным способом); постоян­ный, отдаленный по времени уровень (расчет базисным способом). К относительным показателям динамики относят: темпы роста.

Пример Размер инвестиций в отрасль составлял в млн д. е.: 2010 г. 420,0; в 2011 г. 546,0; в 2012 г. 573,5. Сравнивая значение пока­зателя, получаем темпы роста инвестиций: расчет ценный способом: в 2011 г. по сравнению с 2010 г. 546,0 : 420,0 =1,3, или 130% (инвестиции выросли на 30%); в 2012 г. по сравнению с 2011 г. 573,5 : 546,0=1,05 или 105 %.

расчет базисным способом: если за базу принимается уро­вень инвестиций в 2010 г., то в 2011 г. темп роста будет 1,3 или 130 % в 2012 г. по сравнению с базисным уровнем в 2010 г. темп роста 573,5 : 420,0 =1,365, или 136.5% (инвестиции выросли на 36,5%).

Относительные величины структуры Относительная величина струк­туры характеризуют состав, структуру совокупности по тому или иному признаку и показывают вклад составляющих совокупнос­ти в общую массу. Они определяются отношением размеров со­ставных частей совокупности к общему итогу. Сколько состав­ляющих, столько и относительных величин структуры.

Они опре­деляются простой, десятинной дробью или процентами. Напри­мер, часть лиц до трудового возраста города составляет 0,25, или 25%.

Относительные величины координации Относительные величины характеризуют структурированность совокупности. Относительные величины координации дают соот­ношение разных структурных единиц самой совокупности и пока­зывают, сколько единиц одной части совокупности приходится на 1, 100, 1000 и больше единиц другой, взятой за базу сравнения.

Пример Часть собственных средств фирмы составляет 70%, а привлеченных 30%. Тогда относительная величина координации может составлять 30 :70 =0,43, а это означает, что на единицу собственных средств приходится 0,43 привлеченных.

Или в дру­гом примере относительная величина координации показывает, сколько мужчин приходится на 1000 женщин или наоборот.

Относительные показатели планового задания и выполнения плана Относительный показатель планового задания это отно­шение величины показателя, установленного на плановый пери­од, к его величине, достигнутой за предыдущий период, который взят за базу сравнивания.

Относительный показатель выполнения плана представляет собой отношение фактически достигнутого уровня к плановому заданию. Относительные показатели динамики (К), планового задания (К п ) и выполнения плана (К вп ) связаны между собой такой зависи­мостью: К=К п К вп

Относительные величины сравнения Относительные величины сравнения в обычном понимании характеризуют сравнение одноименных показателей, принадле­жащих к разным объектам, взятых за тот же период или момент времени. Вычисляется в относительных величинах или процен­тах.

Относительные величины пространственного сравнения это отношение размеров или уровней одноименных показателей по разным территориям или объектам. Чаще всего это региональ­ные или международные сравнения показателей экономического развития или жизненного уровня. Базой сравнения может быть любой объект. Главное, чтобы методика расчета сравниваемых показателей была одинаковой.

Относительные величины сравнения со стандартом представ­ляют собой сравнение фактических значений показателей с опре­ деленным эталоном стандартом, нормативом, оптимальным уровнем.

Относительные величины интенсивности Относительные величины интенсивности характеризуют от­ношение разноименных величин, связанных между собой опреде­ ленным образом. Это плотность населения на 1 кв.км (напри­мер, 82,5 чел. / кв. км), производство электроэнергии на душу населения (например, 5625 к Вт час/чел.) и др.

Если объемы яв­ления незначительные относительно объемов среды, то их соот­ношения увеличиваются в 100, 1000, и больше раз. Напри­мер, показатели рождаемости, смертности, заключения браков рассчитывается на 1000 человек населения, обеспеченность на­селения врачами на лиц населения, заболеваемость и преступность на человек населения.

Относительные величины дифференциации Относительные величины дифференциации вычисляются в ре­зультате сравнения двух структурных рядов, один из которых ха­ рактеризует соотношение частей совокупности по численности единиц, а второй по величине любого признака (например, сравнения удельного веса хозяйств по численности и удельного веса в этих хозяйствах валовой продукции, основных фондов, работников и т. п.).

Относительные величины не заменяют абсолютных, которые с их помощью сравниваются. Лишь комплексное применение абсолютных и относительных величин позволяет наглядно и всесторонне охарактеризовать количественную сторону массовых общественных явлений в неразрывной связи с их качественной стороной. Однако совместное использование абсолютных и относительных величин требует соблюдения ряда условий их сопоставимости.

Условия сопоставимости абсолютных и относительных величин Одинаковая методология расчета. Нельзя сравнивать уровень производства на двух предприятиях, если на одном выпу­щенная продукция была отнесена к численности производст­венного персонала, на втором к числу работников Одинаковый круг объектов (территориальных, администра­тивно-территориальных)

Одинаковые единицы измерения. Нельзя сравнивать продук­цию двух тракторных предприятий, если по одному данные о производстве продукции учитывали в штуках, по другому в лошадиных силах Одинаковые периоды времени или даты. Неверно давать сравнительную оценку двух организаций за разные периоды работы

Средние величины Средней величиной в статистике называется количественный показатель характерного, типичного уровня массовых однородных явлений, который складывается под воздействием общих причин и условий развития.

В зависимости от характера признака, который усредняется, и наличия исходной статистической информации в статистике используют несколько видов средних: - средние степенные величины; средняя арифметическая; средняя гармоническая; средняя квадратичная; средняя геометрическая;

- структурные или позиционные средние мода; медиана. Использование того или иного вида средних зависит от двух обстоятельств: от характера индивидуальных значений признака (прямые, обратные, квадратичные, относительные); от характера алгебраической связи между индивидуальными значениями признака и ее общего объема (сумма, произведение, степень, квадратный корень).

Каждая из отмеченных видов средних может выступать в двух формах: простой взвешенной. Простая средняя применяется при вычислении средней по первичным (не сгруппированным) данным, взвешенная по сгруппированным данным.

При использовании средних величин используются следующие обозначения: среднее значение исследуемого признака; x i х каждое индивидуальное значение усредняемого признака (варианта в вариационном ряду); f i или f частота повторений (вес) индивидуального призна­ка в вариационном ряду; w = хf объем значений признака; п количество единиц исследуемого признака.

Средняя арифметическая Средняя арифметическая применяется тогда, когда известны индивидуальные значения усредняемого признака и их количество в совокупности.

Взвешенная средняя арифметическая используется в тех случаях, когда значения признака представлены в виде вариационного ряда, в котором варианты х. могут повторяться f раз

Свойства средней арифметической величины 1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшится на это же число

4. Если веса (частоты) средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.

6. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты

Средняя гармоническая Средняя гармоническая простая использу- ется, когда необходимо осреднение обратных индивидуальных значений признаков путем их суммирования (например, в случаях определения средних расходов времени, труда, материалов на единицу продукции и т. п.).

Среднюю гармоническую взвешенную вычисляют тогда, когда известны данные об общем объеме признака (w = xf), а также индивидуальные значения признака (х), неизвестной является лишь частота (f).

Средняя квадратичная Средняя квадратичная используется в том случае, когда при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин Простая Взвешенная

Аналогично если по условиям задачи необходимо сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину, мы приходим к средней кубической, имеющей вид:

Средняя геометрическая Среднюю геометрическую применяют в тех случаях, когда объем совокупности формируется не суммой, а произведением индивидуальных значений признаков. Этот вид средней используется для вычисления средних коэффициентов (темпов) роста в рядах динамики.

Так, в случае одинаковых временных интервалов между и уровнями динамического ряда используется средняя геометрическая простая

Если временные интервалы между и уровнями динамического ряда неравны, то используется средняя геометрическая взвешенная

Алгоритм выбора вида средней степенной величины 1. Определить цели и задачи вычисления средней степенной величины. 2. Определить определяющий показатель и формулу его расчета. 3. Выбрать вид средней степенной величины исходя из правила: значение определяющего показателя не должно измениться при замене индивидуальных значений признака на среднее значение.

Пример 1 Необходимо осуществлять контроль за фондом заработной платы подразделения, если известна зарплата каждого сотрудника x i и численность подразделения n. 1. Необходимо определить среднюю величину заработной платы по подразделению для того, чтобы просто было определять величину фонда заработной платы подразделения.

2. В качестве определяющего показателя выберем величину фонда заработной платы подразделения

3. Выбираем вид средней степенной руководствуясь правилом: значение определяющего показателя не должно измениться при замене индивидуальных значений признака на среднее значение, то есть должно выполняться следующее соотношение Полученная величина является простой средней арифметической.

Пример 2 Необходимо осуществлять контроль за фондом заработной платы предприятия, если известна средняя зарплата по каждому подразделению x j, численность каждого подразделения n j и число структурных подразделений на предприятии m. 1. Необходимо определить среднюю величину заработной платы по предприятию для того, чтобы просто было определять величину фонда заработной платы предприятия.

2. В качестве определяющего показателя выберем величину фонда заработной платы предприятия

3. Выбираем вид средней степенной руководствуясь правилом: значение определяющего показателя не должно измениться при замене индивидуальных значений признака на среднее значение, то есть должно выполняться следующее соотношение

Полученная величина является взвешенной средней арифметической.

Пример 3 Необходимо осуществлять контроль за объемом производимой продукции если известно время, затрачиваемое на изготовление единицы продукции i-м рабочим t i, численность рабочих n и время, в течении которого они работают T. 1. Необходимо определить среднее время, затрачиваемое на изготовление единицы продукции с целью определения объема производимой продукции.

2. В качестве определяющего показателя выберем объем производимой продукции

3. Выбираем вид средней степенной руководствуясь правилом: значение определяющего показателя не должно измениться при замене индивидуальных значений признака на среднее значение, то есть должно выполняться следующее соотношение

Величины не имеющие индекса суммирования выносим за знак суммы. При этом получаем

Сократив, получим Полученная величина является простой средней гармонической

Пример 4 В результате инфляции происходит увеличение цен. Необходимо определить среднегодовой темп роста цен если известно ежегодное увеличение цен k i. 1. Необходимо определить среднегодовой темп роста цен с той целью, чтобы было удобно контролировать изменение цен.

2. В качестве определяющего показателя выберем общий рост цен за анализируемый период

3. Выбираем вид средней степенной руководствуясь правилом: значение определяющего показателя не должно измениться при замене индивидуальных значений признака на среднее значение, то есть должно выполняться следующее соотношение Полученная величина является простой средней геометрической

Структурные (позиционные) средние Средними величинами в статистических рядах распределения являются мода и медиана, которые относятся к классу струк­турных {позиционных) средних. Их величины зависят лишь от характера частот, го есть от структуры распределения.

В отличие от других средних, которые зависят от всех значений признака, мода и медиана не зависит от крайних значений. Это особенно важно для незакрытых крайних интервалов вариационных рядов распределения.

Мода Мода (Мо) это такое значение варианты, которое чаще всего повторяется в ряду распределения. Способ вычисления моды зависит от вида статистического ряда.

Для атрибутивных и дискретных рядов распределения моду определяют визуально без расчетов по значению варианты с наибольшей частотой.

В интервальном ряду сначала определяется модальный интервал (интервал с наибольшей частотой) и значение моды в середине интервала рассчитывается по формуле где х 0 нижняя граница модального интервала; h ширина модального интервала; f 1, f 2, f 3 частота соответственно предмодального, модального и послемодального интервалов

Медиана Медианой (Ме) называют варианту, которая делит ранжированный (упорядоченный по мере возрастания или убывания) ряд на две равные по объему части. Способ вычисления медианы зависит от вида статистического ряда.

Медиана для дискретного ряда с нечетным числом вариант будет отвечать средней варианте Me = х m - 1 где т номер кратной варианты первой половины ранжированного ряда.

Медиана для дискретного ряда с четным числом вариант будет отвечать среднему из значений вариант в ранжированном ряду:

Для интервального ряда медиана вычисляется для середины медианного интервала, за который принимается такой, где сумма накопленных частот превышает половину значений частот ряда распределения.

где х 0 нижняя граница медианного интервала; h ширина медианного интервала; половина суммы накопленных частот интервального ряда; S x сумма накопленных частот перед медианным интервалом; f m частота медианного интервала.

В анализе закономерностей распределения используются также такие характеристики, как квартили и децили. Квартили это варианты, которые разделяют объем совокупности на четыре равные части; децили на десять частей.

Показатели вариации Вариацией признака называют отличие в численных значени­ях признаков единиц совокупности и их колебания около средне величины, что и будет характеризовать совокупность. Чем меньше вариация, тем более однородна совокупность и более надеж на (типична) средняя величина.

К основным абсолютным и относительным показателям, которые характеризуют вариацию, относят: 1)размах вариации; 2)среднее линейное отклонение; 3)дисперсия; 4)среднее квадртическое отклонение; 5)коэффициент вариации.

Размах вариации это разность между наибольшим и наи­меньшим значением признака: R=x max x min. Величина показателя зависти только от крайних значений признака и не учитывает всех значений, которые содержатся между ними. Совершеннее является определение вариации через другие показателей, которые дают возможность устранить недостаток размаха вариации.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений всех отклонений индивидуальных значений признака от среднего: простое: взвешенное

Основным недостатком среднего линейного отклонения явля­ется то, что в нем не учитываются знаки отклонений, то есть их направленность. Поэтому этот показатель вариации использует­ся редко (анализ состава работающих, ритмичность производства, обращение средств во внешней торговле и т. п.).

Дисперсией называют среднюю арифметическую квадратов отклонений индивидуальных значений признака: простая: взвешенная

Дисперсия это один из наиболее распространенных в эко­номической практике обобщающих показателей размера вариа­ции в совокупности. Дисперсию используют не только для оценки вариации, но и для измерения связей между иследуемыми факто­рами; распределение дисперсии на составляющие позволяет оце­нить влияние разных факторов, которые обусловливают вариа­цию признака.

Среднее квадратическое отклонение, как и дисперсия, высту­пает в качестве широко используемого обобщающего показате­ля вариации: простое: взвешенное

Смысловое значение среднего квадратического отклонения та­кое же. как и линейного отклонения: оно показывает, на сколько в среднем отклоняются индивидуальные значения признака от их среднего значения. Преимущество этого показателя по сравне­нию со средним линейным отклонением заключается в отсутствии условного предположения по суммированию отклонений без учета их знаков, поскольку отклонения используются в квадратной сте­пени.

Кроме отмеченного, преимуществом данного показателя по сравниванию с дисперсией является то, что среднее квадратиче-ское отклонение выражается в тех же единицах измерения, что и значение исследуемого признака (руб., кг, га и др.). Поэтому дан­ный показатель называют также стандартным отклонением.

Возникает необходимость сравнения вариаций разных признаков. Для осуществления такого рода сравнений, а также при сопо­ставлении признака в нескольких совокупностях с разными сред­ними арифметическими используют относительный показатель вариации коэффициент вариации.

Коэффициентом вариации называют процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической величине признака:

Чем больший коэффициент вариации, тем менее однородная совокупность и тем менее типична средняя для данной совокупно­сти. Установлено, что совокупность количественно однородна, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Правило сложения дисперсий

Общая дисперсия измеряет вариацию результативного при­знака в целом по совокупности под воздействием всех факторов, которые обусловливают эту вариацию.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию призна­ка у за счет фактора х, положенного в основу группировки, и рассчитывается по формуле: где соответственно средняя j-й группы и общая средняя варьируемого признака; f i численность единиц (частота) j-й группы.

Для расчета средней из групповых дисперсий в начале вычис­ляется внутригрупповая дисперсия, которая характеризует вари­ацию результативного признака за счет других факторов, не уч­тенных в группировке: где у j значение признака отдельных элементов совокупности.

Для всех групп в целом рассчитывается средняя из групповых дисперсий, взвешенных по частотам соответствующих групп:

Пользуясь правилом разложения дисперсий, можно по двум известными дисперсиями найти третью неизвестную, а также иметь представления о силе влияния группировочного признака.

Эмпирическое корреляционное отношение Разные виды дисперсии широко используются для исчисления показателей тесноты связи между признаками. Эмпирическое корреляционное отношение определяется величиной

где δ 2 – межгрупповая дисперсия; σ 2 – общая дисперсия. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Характеризует влияние признака, положенного в основу группировки. Если η=0, то группировочный признак не оказывает влияния на вариацию изучаемого признака в статистической совокупности. Если η=1, то вариация, изучаемого признак осуществляется только в зависимости от признака, положенного в основу группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю.

Шкала значений эмпирического корреляционного отношения Эмпирическое корреляционное отношение может быть только положительным. Качественная интерпретация показателя осуществляется посредством шкалы Чэддока. Категория Границы значений эмпирического корреляционного отношения Связь очень слабая 0,1-0,3 Умеренная 0,3-0,5 Заметная 0,5-0,7 Тесная 0,7-0,9 Весьма тесная 0,9-0,99

На основе эмпирического корреляционного отношения рассчитывают эмпирический коэффициент детерминации. Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака, обуслов­ленную вариацией группировочного при­знака

Пример О рабочих одной из бригад известны следующие данные: Тарифн ый разряд Число рабочих Дневная выработка деталей одним рабочим, шт , , 120, 140, , 160, 170, 180, 200

Определить по этим данным: а) внутригрупповую дисперсию по выработке деталей одним рабочим, имеющим данный разряд; б) среднюю из внутригрупповых дисперсий по трем группам рабочих; в) межгрупповую дисперсию; г) общую дисперсию выработки рабочих этой бригады.

1. Для расчета внутригрупповых дисперсий вычис­тим средние по каждой группе:

2. Рассчитаем внутригрупповые дисперсии: ;

3. Определим среднюю из внутригрупповых дисперсий:

4. Определим общую среднюю величину для расчета мин групповой дисперсии.

5. Теперь определим межгрупповую дисперсию:

6. Определим общую дисперсию обычным способом:

7. Проверим полученный результат, вычислив общую дисперсию по правилу сложения дисперсий:

Таким образом, общая дисперсия, вычисленная по правилу сложения дисперсий, в точности совпадает по числовому значению с результатом вычисления ее непосредственно на основе данных по всей совокупности рабочих.

На основании правила сложения дисперсий можно опреде­лить показатель тесноты связи между группировочным (фактор­ном) и результативным признаками. Он называется эмпиричес­ким корреляционным отношением, обозначается η («эта») и рассчитывается по формуле

Для нашего примера эмпирическое корреляционное отношение:

Таким образом, можно сделать вывод о том, что между днев­ной выработкой деталей и квалификацией рабочих существует средняя статистическая связь, так как корреляционное отноше­ние равно 0,64.