Теория вероятностей ГИА

1 На соревнования по метанию ядра приехали 6 спортсменов из Хорватии, 2 из Чехии и 2 из Австрии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий седьмым, будет из Чехии. 0,2

2 Конкурс исполнителей длится 3 дня. Всего заявлено 50 выступлений по одному от каждой страны. В первый день запланировано 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса. 0,3

3 Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 спортсменов, среди которых 7 участников из России, в том числе Платон Карпов. Найдите вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо спортсменом из России. 0,4

Решение: Общее кол-во вариантов 16 – 1 = 15. Платону в пару может быть поставлен любой из 15 участников - это 15 случаев. Благоприятных исходов того, что напарник оказался россиянином 7 – 1 = 6. Вероятность р = 6 : 15 = 0,4. Ответ: 0,4.

4 В среднем из 200 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

5 Фабрика шьет пиджаки. В среднем на 100 качественных пиджаков 9 пиджаков имеют скрытый дефект (не обнаруженный при контроле). Найдите вероятность того, что случайно выбранный в магазине пиджак этой фабрики не будет иметь дефектов.

6 При проведении контроля качества среди 1000 случайно отобранных деталей оказалось 5 бракованных. Сколько бракованных деталей следует ожидать среди деталей?

7 В коробке 100 шаров белого и черного цвета. Из нее 60 раз вынули шар, возвращая его каждый раз обратно. При этом белый шар появился в 18 случаях. Сколько приближенно белых шаров в коробке? 30

Решение: Событие А = {вынут белый шар} Пусть х – число белых шаров в коробке. Тогда Р(А) = х /100 и Р(А) = 18 /60. Составим уравнение: х/100 = 18 /60, откуда х=30. Ответ: 30 белых шаров.

8 На фабрике керамической посуды 10% произведенных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. 45/46

Решение: Событие А = {случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов}. Пусть выпустили х тарелок, из них 10% имеют дефект, т.е. 0,1 х. Тогда 0,9 х тарелок – не имеют дефекта. Выявляется 80% дефектных тарелок из 0,1 х, а 20% не выявляется, т.е. 0,2 0,1 х дефектных тарелок, которые поступят в продажу с тарелками, не имеющими дефекта. Всего поступивших в продажу тарелок N = 0,9 х + 0,02 х = 0,92 х. N(A) = 0,9 х. Тогда Р(А) = 0,9 х /0,92 х = 45/46.

9 В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

10 В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.

11 Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.

12 В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

13 В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Переформулируем: Какова вероятность, что все четыре раза выпадет решка?

14 Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,8, второго – 0,9. Найдите вероятность поражения цели хотя бы одним стрелком. 0,98

Решение: Событие А={первый стрелок промахнулся} Событие В={второй стрелок промахнулся} Событие С={оба стрелка промахнулись} Р(А) = 1 – 0,8 = 0,2; Р(В) =1 – 0,9 = 0,1 Р(С) = Р(А) Р(В) = 0,2 0,1=0,02. Событие К={хотя бы один стрелок поразил мишень}, Р(К) = 1 – 0,02 = 0,98. Ответ: 0,98.

15 Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания в мишень при одном выстреле. 0,5

Решение: Вероятность того, что стрелок не попал ни разу при трех выстрелах, равна 1 – 0,875 = 0,125. Пусть вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна р. Тогда вероятность непопадания стрелком при одном выстреле равна 1 – р. Тогда вероятность непопадания стрелком при трех выстрелах: (1 – р) (1 – р) (1 – р) = 0,125; откуда 1 – р = 0,5; тогда р = 0,5. Ответ: 0,5.

16 Стрелок делает последовательно четыре выстрела по мишеням. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,7, при втором и последующих выстрелах вероятность попадания равна 0,9. Обозначим попадание буквой П, промах буквой Н. Найдите вероятность элементарного исхода ННПП. 0,0243

Решение: События «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле», и т.д. независимы. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,7, вероятность промаха равна 1 – 0,7 = 0,3. Вероятность попадания при втором и последующих выстрелах равна 0,9, вероятность промаха равна 1 – 0,9 = 0,1. Последовательность А = {ННПП} имеет вероятность Р(А) = 0,3 0,1 0,9 0,9 = 0,0243. Ответ: 0,0243.

17 Перед школьным спектаклем Саша, Вова и Коля с помощью жребия распределяют между собой роли Атоса, Портоса и Арамиса. Сколько существует возможных вариантов распределения ролей? Перечислите все эти варианты с помощью таблицы.

18 На фестивале органной музыки выступают 15 исполнителей, по одному от одной европейской страны. Порядок, в котором они выступают, определяется жребием. Какова вероятность того, что представитель Венгрии будет выступать после представителя Сербии, но перед музыкантом из Австрии? 1/6

Решение: Обозначим буквой В – представителя Венгрии, буквой С – Сербии, буквой А – Австрии. Элементарные исходы: ВАС, ВСА, АВС, АСВ, СВА, САВ N = 6 (Р 3 =3!=6). Событию А={представитель Венгрии будет выступать после представителя Сербии, но перед музыкантом из Австрии} благоприятствует только одно элементарное событие (СВА). Поэтому N(А) = 1, Р(А) = 1 /6 Ответ: 1/6.

19 Для проведения экзамена случайным образом выбирается одна из 92 экзаменационных работ. Перед экзаменом Витя решил все работы с первой по двадцать третью. а) Какова вероятность, что будет выбрана работа 33? б) Какова вероятность того, что на экзамене будет выбрана работа, которую Витя решил перед экзаменом ?

Решение: а) Число элементарных событий (исходов) при выборе работы n= 92. Событию А={выбрана 33 работа} благоприятствует единственное элементарное событие n(A)=1 P(A)=1/92. б) Событию В={выбрана работа, которую Витя решал} благоприятствует n(В)=23 исхода. Р(В)=23/92=0,25. Ответ: а)1/92; б) 0,25.

20 Витя подготовил к экзамену 15 вопросов из 20. Какова вероятность того, что в билете, который содержит два вопроса, Витя знает оба вопроса? 0,55

Решение: Рассмотри два события: А= {Витя знает первый вопрос}, Р(А)=15/20. В= {Витя знает второй вопрос}, Р(В/А) = 14/19, т.к. событие В рассматривается при условии, что событие А произошло. Событие С= {Витя знает оба вопроса}, Р(С)= 15/20 14/19=21/38 0,55. Ответ: 0,55.

21 В кармане лежат 6 игральных кубиков белого цвета и 9 – серого. Наудачу достается кубик и подкидывается. Какова вероятность того, что на белом кубике выпадет чётное число очков? 0,2

Решение: Вероятность достать белый кубик равна 6/(6+9)= 0,4. Вероятность получить чётное число очков на уже вытянутом кубике равна 1/2. (Событие В рассматривается при условии того, что событие А наступило). Искомая вероятность равна 0,4 0,5 = 0,2. Ответ: 0,2.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что: - выпавшие числа отличаются на единицу; - сумма очков на костях больше 8; - на обеих костях выпадут одинаковые очки; - на первой кости выпадет больше очков, чем на второй; - произведение очков на обеих костях будет более

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз. Найдите вероятность того, что орёл выпадет все три раза. Найдите вероятность того, что при втором бросании выпала решка. 23