ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

Определители.( детерминанты). (Детерминанты квадратных матриц 2-го и 3-го порядка) Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая детерминантом (или определителем). Рассмотрим для начала определители квадратных матриц 2-го и 3-го порядков.

Определение Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы 2-го порядка называется число.

Определение Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы 3-го порядка называется число:

Теорема Определитель матрицы 3-го порядка может быть выражен через определители 2-го порядка формулой следующего вида: разложение определителя по первой строке.

Иногда подсчет значения определителя матрицы третьего порядка удобнее выполнить по следующему правилу: каждое слагаемое в определении есть произведение некоторой тройки элементов матрицы, причем элементы, входящие в произведения, берущиеся со знаком "плюс", соединены на рис. сплошными линиями, элементы, входящие в произведения, берущиеся со знаком "минус", - штриховыми линиями.

Основные методы вычисления определителей Разложение по строке (столбцу) Метод Гаусса (приведение матрицы к треугольному виду) Понижение порядка определителя

Определение. Дополнительным М ij минором произвольного элемента квадратной матрицы a ij называется определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Определение. Алгебраическим дополнением элемента а ij матрицы называется число А ij =(-1) i+j М ij Формула для вычисления определителей разложением по строке (столбцу):

det A = где М 1 к –дополнительный минор элемента а 1 к. (Заметим, что определители имеют только квадратные матрицы.)

Определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула: detA = i = 1,2,…,n. Заметим, что: различные матрицы могут иметь одинаковые определители; определитель единичной матрицы равен 1.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ: Свойство 1. det A = det A T ; Свойство 2. det (AB) = detA detB Свойство 3. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Свойство 4. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число. Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 5. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю. Свойство 6. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

Свойство 7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

Свойство 8. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d 1 d 2, e = e 1 e 2, f = f 1 f 2, то верно:

Метод Гаусса (приведение определителя к треугольному виду) 1) С помощью свойств приводят определитель к треугольному виду 2) Определитель вычисляют как произведение элементов стоящих на главной диагонали

Ранг матрицы. Определение. Минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов

Определение. В матрице порядка m n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r меньше или равен меньшему из чисел m или n. Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А. Элементарные преобразования матриц не изменяют ранг матрицы Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными. ( Равные матрицы и эквивалентные матрицы - понятия совершенно различные )

Теорема о базисном миноре Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.

Пример. Определить ранг матрицы RgA = 2.

Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 2. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.