Комбинаторика – раздел математики, который изучает различные комбинации и перестановки предметов

Формулы комбинаторики Комбинации ПерестановкиРазмещения Сочетания Количество элементов и клеток n элементов n клеток n элементов k клеток n элементов k клеток Порядок расположения элементов Порядок имеет значение Порядок не имеет значения Формула

Элементарные события (исходы) Элементарные события (исходы) – простейшие события, которыми может окончится случайный опыт. Основные понятия теории вероятности Достоверное событие – событие, которые всегда происходят в результате испытания Невозможное событие – событие, которое никогда не происходит Случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти в результате испытания

Основные операции над событиями Событие С называется суммой А+В (объединением), которое представляет собой событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В Событие С называется произведением (пересечением) А и В, если оно состоит из всех событий, входящих и в А, и в В Несовместные события Несовместные события – это события, которые не наступают в одном опыте.

Вероятности противоположных событий: Формула сложения вероятностей: Формула сложения для несовместных событий: Формула умножения вероятностей: Условная вероятность В при условии, что А наступило Формула вероятности k успехов в серии из n испытаний Бернулли: р – вероятность успеха, q=1-p вероятность неудачи в одном испытании

Схема решения задач: 1.Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события. Убедиться, что они равновероятны. 2. Найти общее число элементарных событий (N) 3.Определить, какие элементарные события благоприятствуют событию А, и найти их число N(A). 4. Найти вероятность события А по формуле

Задача 1. Задача 1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что игру будет начинать Петя. Решение: Случайный эксперимент – бросание жребия. Элементарное событие – участник, который выиграл жребий. N=4 Число элементарных событий: N=4 N(A)=1 Событие А = {жребий выиграл Петя}, N(A)=1 Ответ: 0,25

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три? 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 Ответ: 0,3

Ответ: 0,375 Ф/1ОР РО Ф/2ОР РО ОР РО Ф/3ОРРООРРООРРООРРО О – орел (первый) Р – решка (второй) Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Задача 2. Задача 2. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4. Решение: Случайный эксперимент – бросание кубика. Элементарное событие – число на выпавшей грани. Ответ:1/3 Всего граней: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Элементарные события: N=6N(A)=2

В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, меньшее чем 4. Ответ: 0,5 1, 2, 3, 4, 5, 6

В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет четное число. Ответ: 0,5 1, 2, 3, 4, 5, 6

В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, отличающееся от числа 3 на единицу. Ответ: 1/3 1, 2, 3, 4, 5, 6

Задача 3. В Задача 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение: орел - Орешка - Р Возможные исходы события: 1 бросок 2 бросок О РО О О Р РР N=4 N(A)=2 Ответ:0,5 4 исхода

12 ОО ОР РО РР В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадет ОРЕЛ, во второй - РЕШКА) Ответ: 0,25

12 ОО ОР РО РР Монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы один ОРЕЛ. Ответ: 0,25

Числа на выпавших сторонах Задача 4. Задача 4. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Множество элементарных исходов: Решение: N=36 A= {сумма равна 8} N(А)=5 Ответ:5/36

Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз выпадет число 6. Ответ: 1/6 Числа на выпавших сторонах Всего вариантов 36 Комбинаций с первой «6» 61,62,63,64,65,66

Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз и во второй раз выпадет одинаковое число очков. Ответ: 1/6 Числа на выпавших сторонах

Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А={сумма очков равна 5} Ответ: 4 Числа на выпавших сторонах

Игральный кубик бросают дважды. Какая сумма очков наиболее вероятна? Ответ: 7 Числа на выпавших сторонах

Решение: 1 бросок 2 бросок 3 бросок ООО О О О Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р О О О О О О Множество элементарных исходов: N=8 A= {орел выпал ровно 2 } N(А)=3 Ответ: 0,375 8 исходов Задача 5. Задача 5. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза.

Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что результаты двух первых бросков будут одинаковы? 123 ООО ООР ОРО ОРР РОО РОР РРО РРР Реши самостоятельно! Ответ: 0,5

Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что результаты первого и последнего броска различны. 123 ООО ООР ОРО ОРР РОО РОР РРО РРР Ответ: 0,5

Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза. Реши самостоятельно! Ответ: 0, ОООО ОООР ООРО ООРР ОРОО ОРОР ОРРО ОРРР РООО РООР РОРО РОРР РРОО РРОР РРРО РРРР

Задача 6. Задача 6. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 – из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Решение: Всего спортсменов: N= = 25 A= {последний из Швеции} N=25 N(А)=9 Ответ: 0,36

Решение: N= 1000 A= {аккумулятор исправен} N(A)= 1000 – 6 = 994 Ответ: 0,994 Задача 7. Задача 7. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор окажется исправным.

Задача 8. Задача 8. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение: N = 20 N(A)= 20 – 8 – 7 = 5 Ответ: 0,25 A= {первой будет спортсменка из Китая}

2 способ 2 способ: использование формулы сложения вероятностей несовместных событий R={первая из России} A={первая из США} C={Первая из Китая} P(R) + P(A) + P(C) = 1 P(C) = 1 - P(R) - P(A)

Задача 9. Задача 9. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на 4 группы по 4 команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе. Решение: Множество элементарных событий: N=16 A={команда России во второй группе} С номером «2» четыре карточки: N(A)=4 Ответ: 0,25

В группе туристов 24 человека. С помощью жребия они выбирают трех человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдет в магазин? Ответ: 0,125

В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 7 спортсменов из России, 6 из Китая, 3 из Кореи, 4 из Японии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет выступать спортсмен из России. Ответ: 0,35

В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев оказалось 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных. Ответ: 0, – 2512 = 2488

Задача 10. Задача 10. Вероятность того, что шариковая ручка пишет плохо (или не пишет) равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо. Решение: A={ручка пишет хорошо} Противоположное событие: Ответ: 0,9

Задача 11. Н Задача 11. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение:А={вопрос на тему «Вписанная окружность»} B={вопрос на тему «Параллелограмм»} События А и В несовместны, т.к. нет вопросов относящихся к двум темам одновременно С={вопрос по одной из этих тем} Р(С)=Р(А) + Р(В) Р(С)=0,2 + 0,15=0,35 Ответ: 0,35

А={кофе закончится в первом автомате} B={кофе закончится во втором автомате} Р(А)=Р(В)=0,3 По формуле сложения вероятностей: Ответ: 0,52 Решение: Задача 12. Задача 12. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Задача 13. Задача 13. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение:Вероятность попадания = 0,8 Вероятность промаха = 1 - 0,8 = 0,2 А={попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся} По формуле умножения вероятностей Р(А)= 0,8 0,8 0,8 0,2 0,2 Р(А)= 0,512 0,04 = 0, ,02 Ответ: 0,02

Задача 14. Задача 14. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Решение: По формуле умножения вероятностей: А={хотя бы один автомат исправен} Ответ: 0,9975

Диагностическая работа 2 МИОО

Задача 15. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых. Решение : Событие А – достали белый шар Тогда вероятности По формуле Бернулли требуемая вероятность равна

-успех (Вероятность того, что первой владеть мячом будет команда «Байкал» в одном испытании) - неудача (Вероятность того, первой владеть мячом будет другая команда в одном испытании)

Источник материала: ЕГЭ Математика. Задача В10. Рабочая тетрадь Авторы: И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко