Системы логических уравнений Метод отображения Педагогический марафон Романенко О.В. г. Наро-Фоминск 24 марта 2014 Мирончик Ел. А. Мирончик Ек. А. Куда-нибудь ты обязательно дойдешь, конечно, если не остановишься на полпути. Чеширский кот Л.Кэрролл «Алиса в стране чудес»

(x1x2)>(x2x3) = 1 (x2x3)>(x3x4) = 1... (x6x7)>(x7x8) = 1 ((x 1 x 2 ) (x 3 x 4 )) (¬(x 1 x 2 ) ¬(x 3 x 4 )) = 1 ((x 3 x 4 ) (x 5 x 6 )) (¬(x 3 x 4 ) ¬(x 5 x 6 )) = 1... ((x 7 x 8 ) (x 9 x 10 )) (¬(x 7 x 8 ) ¬(x 9 x 10 )) = 1 (x 1 ¬x 2 ) (¬x 1 x 2 ) (x 3 x 4 ) (¬x 3 ¬x 4 ) = 1 (x 3 ¬x 4 ) (¬x 3 x 4 ) (x 5 x 6 ) (¬x 5 ¬x 6 ) = 1... (x 7 ¬x 8 ) (¬x 7 x 8 ) (x 9 x 10 ) (¬x 9 ¬x 10 ) = 1 Метод отображения 1) 2) 3) 4) 5) В15 из демо-версии ЕГЭ-2014

Метод отображения Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям? (x1x2)>(x2x3) = 1 (x2x3)>(x3x4) = 1... (x6x7)>(x7x8) = 1 В от­ве ­ те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

Метод отображения Все уравнения, включенные в систему, однотипны, и в каждое уравнение включено три переменных. Зная x 1 и x 2, можем найти все возможные значения x 3, удовлетворяющие первому уравнению. Рассуждая аналогичным образом, из известных x 2 и x 3 можем найти x 4, удовлетворяющее второму уравнению. То есть, зная пару ( x 1, x 2 ) и определив значение x 3, мы найдем пару ( x 2, x 3 ), которая, в свою очередь, приведет к паре ( x 3, x 4 ) и так далее. На каждом шаге имеем множество исходных пар из набора (00, 01, 10, 11) и множество полученных пар из такого же набора (00, 01, 10, 11). Исходное множество пар отображается само в себя. Построим такое отображение. (x1x2)>(x2x3) = 1 (x2x3)>(x3x4) = 1... (x6x7)>(x7x8) = 1

Метод отображения Сначала построим таблицу, в которой в первых двух столбцах переберем все варианты x 1, x 2, а в третий столбец впишем только такие значения x 3, которые приведут первое уравнение к верному равенству. По таблице строим правило отображения множества пар само в себя. Задача станет напоминать задачу о количестве путей от города A до города K.

x1x1 x2x2 x3x (x1x2) (x2x3) = 1 (x2x3) (x3x4) = 1... (x6x7) (x7x8) = 1 Метод отображения « » должна быть истинна. Из истины может следовать только истина, а из лжи всё, что угодно

x1x2x1x2 x2x3x2x3 x1x1 x2x2 x3x Метод отображения

F (00) = F (00) + F (10) F (01) = F (10) F (10) = F (01) F (11) = F (01) + F (11) x1x2x1x2 x2x3x2x3 Метод отображения Пусть F() это функция, вычисляющая количество пар на следующем шаге

x1x2x1x2 x2x3x2x3 Метод отображения x3x4x3x4 x4x5x4x x5x6x5x6 x6x7x6x x7x8x7x8 x1x2x1x2 x1x2x1x2x1x2x1x2 x2x3x2x3x2x3x2x3 x3x4x3x4x3x4x3x4 x4x5x4x5x4x5x4x5 x5x6x5x6x5x6x5x6 x6x7x6x7x6x7x6x7 x7x8x7x8x7x8x7x

Метод отображения Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x 1, x 2,... x 10, ко­то­рые удо­ вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям? ((x 1 x 2 ) (x 3 x 4 )) (¬(x 1 x 2 ) ¬(x 3 x 4 )) = 1 ((x 3 x 4 ) (x 5 x 6 )) (¬(x 3 x 4 ) ¬(x 5 x 6 )) = 1... ((x 7 x 8 ) (x 9 x 10 )) (¬(x 7 x 8 ) ¬(x 9 x 10 )) = 1 В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x 1, x 2, … x 10 при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

((x 1 x 2 ) (x 3 x 4 )) (¬(x 1 x 2 ) ¬(x 3 x 4 )) = 1 ((x 3 x 4 ) (x 5 x 6 )) (¬(x 3 x 4 ) ¬(x 5 x 6 )) = 1... ((x 7 x 8 ) (x 9 x 10 )) (¬(x 7 x 8 ) ¬(x 9 x 10 )) = 1 Метод отображения x1x1x1x1 x2x2x2x2 x3x3x3x3 x4x4x4x « » истинна, только если оба операнда истинны x 1 x 2 x 3 x Если x 1 и x 2 равны, то x 3 и x 4 различны, и наоборот

x1x2x1x2 x3x4x3x4 Метод отображения x1x1x1x1 x2x2x2x2 x3x3x3x3 x4x4x4x

F (00) = F (01) + F (10) F (01) = F (00) + F (11) F (10) = F (00) + F (11) F (11) = F (01) + F (10) x1x2x1x2 x3x4x3x4 Метод отображения

x1x2x1x2 x1x2x1x2x1x2x1x2 x3x4x3x4x3x4x3x4 x5x6x5x6x5x6x5x6 x7x8x7x8x7x8x7x8 x 9 x x1x2x1x2 x3x4x3x x5x6x5x6 x7x8x7x8 x 9 x

Метод отображения Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x 1, x 2,... x 10, ко­то­рые удо­ вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям? (x 1 ¬x 2 ) (¬x 1 x 2 ) (x 3 x 4 ) (¬x 3 ¬x 4 ) = 1 (x 3 ¬x 4 ) (¬x 3 x 4 ) (x 5 x 6 ) (¬x 5 ¬x 6 ) = 1... (x 7 ¬x 8 ) (¬x 7 x 8 ) (x 9 x 10 ) (¬x 9 ¬x 10 ) = 1 В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x 1, x 2, … x 10 при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

(x 1 ¬x 2 ) (¬x 1 x 2 ) (x 3 x 4 ) (¬x 3 ¬x 4 ) = 1 (x 3 ¬x 4 ) (¬x 3 x 4 ) (x 5 x 6 ) (¬x 5 ¬x 6 ) = 1... (x 7 ¬x 8 ) (¬x 7 x 8 ) (x 9 x 10 ) (¬x 9 ¬x 10 ) = 1 Метод отображения x1x1x1x1 x2x2x2x2 x3x3x3x3 x4x4x4x « » истинна, если истинно хотя бы одно высказывание

Метод отображения x1x1x1x1 x2x2x2x2 x3x3x3x3 x4x4x4x x1x2x1x2 x3x4x3x4

F (00) = F (00) +F (01) +F (10) +F (11) F (01) = F (01) + F (10) F (10) = F (01) + F (10) F (11) F (00) +F (01) +F (10) +F (11) Метод отображения x1x2x1x2 x3x4x3x4

x1x2x1x2 Метод отображения x1x2x1x2x1x2x1x2 x3x4x3x4x3x4x3x4 x5x6x5x6x5x6x5x6 x7x8x7x8x7x8x7x8 x 9 x x1x2x1x2 x3x4x3x4 x5x6x5x6 x7x8x7x8 x 9 x

Метод отображения Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x 1, x 2,... x 10, ко­то­рые удо­ вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям? В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x 1, x 2, … x 10 при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

Метод отображения x1x1x1x1 x2x2x2x2 x3x3x3x3 x4x4x4x « » истинна, если истинно хотя бы одно высказывание 0 1 « » ложна, если ложно каждое высказывание

Метод отображения x1x2x1x2 x3x4x3x4 x1x1x1x1 x2x2x2x2 x3x3x3x3 x4x4x4x x2x3x2x

Метод отображения x1x2x1x2 x3x4x3x4 x2x3x2x x4x5x4x5 x6x7x6x7 x5x6x5x x1x2x1x2 x1x2x1x2x1x2x1x2 x2x3x2x3x2x3x2x3 x3x4x3x4x3x4x3x4 x4x5x4x5x4x5x4x5 x5x6x5x6x5x6x5x x7x8x7x8 1 x6x7x6x7x6x7x6x7 x7x8x7x8x7x8x7x8 x8x9x8x9x8x9x8x9 x 9 x

Метод отображения Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, … x10, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям? ¬(x1 x2) ( (x1 ¬x3) (¬x1 x3) ) = 0 ¬(x2 x3) ( (x2 ¬x4) (¬x2 x4) ) = 0 … ¬(x8 x9) ( (x8 ¬x10) (¬x8 x10) ) = 0 В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x10 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов. В15 из демо-версии ЕГЭ-2014

Метод отображения x1x1x1x1 x2x2x2x2 x3x3x3x « » ложна, если ложно хотя бы одно высказывание « » ложна, если ложно каждое высказывание 1 ¬(x1 x2) ( (x1 ¬x3) (¬x1 x3) ) = 0 0 1

Метод отображения x1x2x1x2 x2x3x2x x1x1x1x1 x2x2x2x2 x3x3x3x x1x1x1x1 x2x2x2x2 x3x3x3x

Метод отображения x8x9x8x9 x3x4x3x4 x 9 x 10 x4x5x4x5 x6x7x6x7 x5x6x5x6 x1x2x1x2 x1x2x1x2x1x2x1x2 x2x3x2x3x2x3x2x3 x3x4x3x4x3x4x3x4 x4x5x4x5x4x5x4x5 x5x6x5x6x5x6x5x x7x8x7x8 2 x6x7x6x7x6x7x6x7 x7x8x7x8x7x8x7x8 x8x9x8x9x8x9x8x9 x 9 x x1x2x1x2 x2x3x2x