Лекция 11 Элементы теории упругости. Гидродинамика. 03/05/2014 Алексей Викторович Гуденко

План лекции Закон Гука. Модуль Юнга, коэффициент Пуассона, предел упругости. Всестороннее и одностороннее сжатие. Деформация сдвига. Кручение. Энергия упругой деформации. Примеры упругих деформаций: энергия изогнутой пластины, давление при замерзании воды, высота гор на Земле и на Марсе. Основное уравнение гидродинамики (гидростатики) идеальной жидкости. Жидкость во вращающемся сосуде. Уравнение Бернулли. Формула Торричелли. Вязкость. Формула Пуазейля.

Демонстрации Предел прочности проволоки Эффект Магнуса и подъёмная сила крыла

Основные определения: Закон Гука. Модуль Юнга, коэффициент Пуассона, предел упругости. Закон Гука: малые, упругие, обратимые деформации ε = Δ/ пропорциональны напряжению σ = F/S : ε = σ/E E – модуль Юнга [E] = Па, Сталь: E = Па = 2 Мбар Медь: E = 1, Па = 1,3 Мбар Лёд: E = Па = 0,3 Мбар Резина: E ~ 10 6 Па = 10 бар

Предел упругости, предел прочности. Предел прочности – нагрузка σ пр, вызывающая пластическую, неисчезающую после снятия нагрузки, деформацию. Сталь σ пр = Па ε пр = σ пр /E = максимально допустимое удлинение метровой проволоки Δ = 1 мм. Максимальный груз, который можно подвесить на проволоку S = 1 мм 2 F max = σ пр S = 200 Н (= 20 кг)

Предел прочности и высота гор на Земле (Марсе) Предел прочности горных пород на сжатие σ пр ~ Па на Земле: ρgh пр ~ σ пр h пр ~ σ пр /ρg ~ 10 км (Эверест h З ~ 9 км) На Марсе: M M /M З = 0,107, R M /R З = 0,553. h M /h З = (R M /R З ) 2 /(M M /M З ) h З ~ 24 км.

гора Олимп на Марсе – 27 км самая высокая гора-вулкан в Солнечной системе

Упругая энергия растянутого стержня U = Fd = σSdε = V Eεdε = ½Eε 2 V = uV u = ½Eε 2 = ½σ 2 /E = ½ σε – объёмная плотность упругой энергии

Нерадивый студент и стальная линейка. (Овчинкин, 13.41) Какую работу совершил студент, свернув стальную линейку в замкнутое кольцо? Длина линейки L = 1 м, ширина b = 6 см; толщина d = 1 мм модуль Юнга стали E = Па. Решение: U = udV = ½σεdV = ½ bLE(ξ/R) 2 dξ = EbLd 3 /24R 2 = π 2 Ebd 3 /6L 20 Дж (= два кг поднять на стол)

Коэффициент Пуассона или почему все резиновые пробки - конусные При растяжении цилиндр уменьшаются поперечные размеры цилиндра ε d = Δd/d Коэффициент Пуассона равен отношению относительного поперечного сжатия к относительному изменению продольных размеров: μ = - ε d /ε ε d = μσ/E Сталь μ ~ 0,3 Резина μ ~ 0,46-0,49 цилиндрическую резиновую пробку невозможно вогнать в пробирку – все резиновые пробки - конусные «Пробковая» пробка – цилиндр: μ ~ 0

E и μ – полная(!) характеристика изотропного материала Всестороннее сжатие: ε x = p/E, ε y = ε z = -μp/E ε y = p/E, ε x = ε z = -μp/E ε y = p/E, ε x = ε z = -μp/E ε x = p(1 - 2μ)/E ε y = p(1 - 2μ)/E ε z = p(1 - 2μ)/E ΔV/V = ε x + ε y + ε z = 3p(1 - 2μ)/E = p/K K = E/3(1 - 2μ)

Давление воды при замерзании. Овчинкин (13.18) Определить максимальное давление, которое может производить вода при замерзании. ρ л = 0,917 г/см 3 ρ в = 1 г/см 3 Модуль Юнга льда E = 2, Па коэффициент Пуассона μ = 0,3 Решение: модуль всестороннего сжатия льда K = E/3(1 – 2μ) 2, Па P = KΔV/V = KΔρ/ρ Па = 20 kбар

Одностороннее сжатие ε y = (p y – μ(p x + p z ))/E = [p y (1 – μ) – μp x ]/E = 0 p y = p z = μp x /(1 – μ) ε x = (p x – μ(p y + p z ))/E = (1 – μ - 2 μ 2 )/(1 – μ)E E I = E(1 – μ)/(1 – μ - 2 μ 2 ) = E(1 – μ)/(1 + μ)(1 - 2μ)

Сдвиг: меняется только форма. Объём не меняется. Угол сдвига β пропорционален скалывающему (касательному) напряжению. Модуль сдвига: β = σ/G G = E/2(1 + μ) Кручение: закон Гука для деформации кручения цилиндра: M = fφ f = πR 4 G/2 - модуль кручения цилиндра.

Упругая энергия Простое растяжение: u = ½ Eε 2 Всестороннее сжатие: u = ½ Kε V 2 Одностороннее сжатие u = ½ E I ε 2 Сдвиг: u = ½ Gβ 2

Основное уравнение гидростатики идеальной жидкости Объёмная плотность сил давления s = - gradP = -(P/x; P/y; P/z) В равновесии s уравновешивается объёмной плотность массовых сил f: s + f = 0 f = gradP – основное уравнение гидростатики. Гидростатическое давление: ρg = P/z p = p 0 + ρgz Основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости: ρdv/dt = f - gradP

Жидкость во вращающемся сосуде. Задача про чаинки в чае. P/r = ρω 2 r; P/z = -ρg p = p 0 + ½ ρω 2 r 2 – ρgz Свободная поверхность: p = p 0 z = ½ ω 2 r 2 /g – параболоид вращения Распределения давления на глубине h (z = -h): p = p 0 + ½ ρω 2 r 2 + ρgh Самое большое давление на дне у стенок цилиндра – всё что тонет в воде должно оказаться на дне у стенок. Почему чаинки собираются в центре стакана?

Чаинки в стакане

Стационарное течение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли. Уравнение непрерывности. ρvS = const – уравнение непрерывности. Для несжимаемой жидкости vS = const Поток массы J = ρvS, j = ρv – плотность потока массы. P/ρ + ε = const ε = v 2 /2 + gh + u – энергия единицы массы жидкости. Если ρ, u = const P + ρv 2 /2 + ρgh = const

Формула Бернулли

Формула Торричелли Скорость истечения идеальной жидкости из сосуда: P 0 + ρgh = P 0 + ρv 2 /2 v = (2gh) 1/2

Вязкость Вязкость – внутреннее касательное трение, возникающее между слоями жидкости, движущимися с разными скоростями. Вязкость выравнивает скорости течения. Импульс передаётся от быстрых слоёв к медленным: f = - η v/z η – коэффициент вязкости [η] = кг/м с

Вязкость жидкостей и газов веществоη, кг/м. сек воздух 1, вода 1, ртуть 1, кровь 4, глицерин 1,5 мёд 500 ÷ 1000

Вязкость. Течение Пуазейля f = - η v/z Вязкая жидкость в трубе: F тр = 2πrη(dv/dr) F давл = πr 2 Δp πr 2 Δp = - 2πrη(dv/dr) v(r) = ΔpR 2 /4η (1 – r 2 /R 2 ) Расход жидкости: v ср = ½ v max = ΔpR 2 /8η Q = Sv max = πΔpR 4 /8η – формула Пуазейля

Ламинарное течение Re

Число Рейнольдса Re = ρv/η. Формула Стокса. Re = ρv/η