«Применение производной для решения задач ЕГЭ по физике » «Что мыслимо - то возможно, что возможно - то мыслимо». Г.В.Лейбниц
«Из всех теоретических успехов знания вряд ли какой-нибудь считается столь высоким триумфом человеческого духа, как изобретение исчисления бесконечно малых во второй половине XVII века» Ф. Энгельс
В данной функции от икс, нареченной игреком, Вы фиксируете x, отмечая индексом. Придаете вы ему тотчас приращение, Тем у функции самой, вызвав изменение. Приращений тех теперь взявши отношение, Побуждаете к нулю Δх стремление. Предел такого отношенья вычисляется, Производной он в науке называется.
В данной функции от икс, нареченной игреком, Вы фиксируете x, отмечая индексом. Придаете вы ему тотчас приращение, Тем у функции самой, вызвав изменение. Приращений тех теперь взявши отношение, Побуждаете к нулю Δх стремление. Предел такого отношенья вычисляется, Производной он в науке называется.
Алгоритм отыскания производной 1) Зафиксировать значение Х, найти f(x). 2) Дать аргументу Х приращение х, перейти в новую точку х+х, найти f(x+x). 3) Найти приращение функции: у = f(x+x) – f(x). 4) Составить отношение 5) Вычислить предел lim Этот предел и есть f(x), т.е. производная функции. у х x 0 у х
Декарт Ферма Первый общий способ построения касательной к алгебраической кривой был изложен в «Геометрии» Декарта. Более общим и важным для развития дифференциального исчисления был метод построения касательных - Ферма. Ферма
Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому физику и математику Исааку Ньютону и немецкому математику, физику, философу Лейбницу Их, великих, загадочность окружающего мира притягивала, а исследование увлекало. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому физику и математику Исааку Ньютону и немецкому математику, физику, философу Лейбницу.
Ньютон Задача определения скорости прямолинейного неравномерного движения была впервые решена Ньютоном. Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной, производную же – флюксией. Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Предполагают, что Ньютон открыл свой метод флюксий ещё в середине 60-х годов XVII в.
Лейбниц «Что мыслимо - то возможно, что возможно - то мыслимо». Г.В.Лейбниц ( ) Создатель Берлинской академии наук. Основоположник дифференциального исчисления, ввёл большую часть современной символики математического анализа. Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к производной линии, объяснив этим ее геометрический смысл
Лагранж В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин «производная», ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин «вторая производная» и обозначение(два штриха) также ввёл Лангранж
Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др
Производная Производная – это функция, определяемая для каждого х как предел отношения (если он существует). Функцию, имеющую предел, называют дифференцируемой. Производная характеризует скорость изменения функции. Производной функции f(x) в точке х = х 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
Таблица элементарных производных
х y 0 k – угловой коэффициент прямой(касательной) Касательная Геометрический смысл производной Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Конспект
Геометрический смысл приращения функции х y 0 A B Секущая С Итак, k – угловой коэффициент прямой(секущей)
Физический смысл производной Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f(x) в точке x 0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x 0 Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки: v(t) = x(t)
Физический смысл производной a(f) = '(t) – ускорение- первая производная скорости по времени или a(t) = x"(t) – вторая производная координаты по времени
Физический смысл производной Вывод: первая производная функции - это отношение изменения функции к изменению ее аргумента. Правильно это изменение называть приращением, хотя по сути это одно и тоже.
Физический смысл производной Понятие производной широко используется в современной физике. Приведем несколько примеров. Скорость : V (t) = S / (t) – первая производная от перемещения по времени; Ускорениее : a (t) = V / (t) – первая производная от скорости по времени (вторая - от перемещения по времени); Сила тока : I (t) = q / (t) – первая производная от заряда по времени; Мощность : N (t) = A / (t) – первая производная от работы по времени;
Физическая величина Среднее значение Мгновенное значение Скорость Ускорение Угловая скорость Сила тока Мощность
Закон Среднее значение Мгновенное значение Второй закон Ньютона Закон ЭМИ Закон самоиндукции
ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
1. Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t) = 2t3- 2t2 Найдите скорость и ускорение в момент времени t=2 с.
2. Два тела совершают прямолинейное движение по законам S 1 (t) = t 2 -2t+10, S 2 (t) = 2t 2 +5t+1, где t – время в секундах, а S 1 (t), S 2 (t) – пути в метрах, пройденные, соответственно, первым и вторым телами. Через сколько секунд, считая от t=0, скорость движения первого тела будет в 4 раза больше скорости движения второго тела?
Скорость тела массой 5 т возрастает по законуυ = 0,1t 3 + 0,2t. Определить равнодействующую всех сил, действующих на него в момент времени 2 с. Решение
1. Заряд в колебательном контуре изменяется согласно уравнению: q = t - 4t 2. Спустя какой промежуток времени сила тока станет равной нулю? t = ?
Решение: Т.к. I(t) = q (t), то I(t) = = 1 – 8t. I(t) = 0, тогда 1 8t = 0, t = 1/8 с. Ответ: 1/8 с.
2* В цепи, представленной на рисунке, 1 L 1 = 0,02 Гн, L 2 = 0,01 Гн. Силы токов изменяются во времени по законам: I 1 = 0,2 + 10t, I 2 = 0,1 + 10t. Найдите сопротивление R. Величины токов заданы в СИ.
При параллельном соединении участков цепи: Следовательно:
Законы постоянного тока
Решение. Р =I 2 R. Из закона Ома для полной цепи I =. Значит Р =. Так как R изменяется от 1Ом до 5 Ом, то взяв производную Р от R и, прировняв её к нулю, получим максимальную мощность на реостате. P R = ( )' = = =. Последнее выражение равно нулю, если (r-R) = 0, то есть мощность максимальна, если сопротивление реостата равно внутреннему сопротивлению источника тока. R = 2 Ом. P mac. = = =4,5 Вm. Ответ: P mac = 4,5 Вm.
На каком расстоянии dmin надо поместить предмет от собирающей линзы с фокусным расстоянием F, чтобы расстояние от предмета до его действительного изображения было наименьшим?
Расстояние от предмета до его действительного изображения Исследуем последнее выражение, для чего найдём производную от s по d и приравняем её нулю: Из равенства d2 – 2dF = 0 следует dmin = 2F. При этом значении d расстояние от предмета до его действительного изображения будет наименьшим: s min = 4 F.
Количество вещества, получаемого в химической реакции, зависит от времени следующим образом : Q = a (1 + be –kt ) Определите скорость реакции. Решение
В среду с определёнными условиями существования вносят популяцию из 100 бактерий. Численность популяции возрастает по закону:, где t выражено в часах. Найти максимальный размер этой популяции до момента её угасания.
Найдём производную от функции z(t): но – 1 не удовлетворяет условию задачи, значит необходимо рассмотреть поведение производной функции в окрестности точки 1. Видно, что точка 1 – точка максимума. А значит, что в момент времени t = 1 (час) популяция достигнет своего наибольшего значения (будет иметь максимальный размер). Тогда, (бактерий). Ответ: 150 бактерий.
Вывод Понятие производной встречается не только в алгебре и геометрии, но и в таких науках, как: физика, химия, география, биология и др. Производную применяют для нахождения предельного значения процесса, происходящего при том или ином явлении.