ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ УСИЛИЙ 2 РАСЧЁТ ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМ С ТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. Ч асть I

I I I I II A A B B C C D K Внутренние силовые факторы и напряжения в сечениях элементов ТШС Распорная ТШС ТШС с затяжкой A A D HAHA HDHD VAVA VDVD N AB M M N N Q Q n t n отс = 0, t отс = 0, m отс = 0 M N

Дифференциальные уравнения равновесия элемента плоского стержня N N + dN Q + dQ Q M M + dM d ds r qnqn qtqt ds = r * d n t n = 0, t = 0, m = 0

Внутренние силовые факторы в сечениях элементов ТШС (арки, рамы) при действии вертикальной нагрузки C A B x f VBVB y x) VAVA HAHA HBHB a b x y x) l x = 0 H A = H B = H Опорные реакции трехшарнирной арки (рамы ) m A = 0 V B = m A,F / l m B = 0 V A = m B,F / l A0A0 VA0VA0 l VB0VB0 B0B0 C0C0 V A0 = m B0,F / lV B0 = m A0,F / l Опорные реакции балки V A = V A0 V B = V B0 H = M C0 / f Опорные реакции трёхшарнирной арки (рамы ) (опоры на одном уровне)

Внутренние силовые факторы в сечениях элементов ТШС (арки, рамы) при действии вертикальной нагрузки y x) VAVA H x y x) x A M(x)M(x) N(x)N(x) Q(x)Q(x) A0A0 VA0VA0 Q0(x)Q0(x) M0(x)M0(x) M(x) = V A * x + m F,oтc – H * y(x) M0(x)M0(x) M(x) = M 0 (x) – H * y(x) Q(x) = (V A + y F,oтc ) * cos (x) – H * sin (x) Q0(x)Q0(x) Q(x) = Q 0 (x) * cos (x) – H * sin (x) N(x) = – (V A + y F,oтc ) * sin (x) – H * cos x) Q0(x)Q0(x) V A0 = V A N(x) = – [ Q 0 (x) * sin (x) + H * cos (x) ] (опоры на одном уровне) Примечание: в вершине арки, где (x) = 0: N верш = – H; Q верш = Q 0

Внутренние силовые факторы в сечениях элементов ТШС c опорами на разных уровнях при действии вертикальной нагрузки M(x) = M 0 (x) – H / * y 1 (x) Q(x) = Q 0 (x) * cos (x) – H / * sin [ (x) – 0 ] N(x) = – { Q 0 (x) * sin (x) + H / * cos [ (x) – 0 ]} C B x f / VB/VB/ y x) H/H/ a b x y 1 x) l H/H/ 0 A VA/VA/ V A / = V A0 V B / = V B0 Опорные реакции H / = M C0 / f /

П р и м е р F B C A M0M0 MC 0MC 0 Н Н x y (x)y (x) H = M C 0 / f H * y x) f M M = M 0 – H * y x) При другом очертании оси: F A B C M C 0 Больше, чем в исходном случае

C A B x F 1 = 240 кН q = 32 кН/м f = 6 мf = 6 м 9 м 9 м 4 м 4 м 12 м 12 м 12 м 12 м 6 м 6 м V A = 370 кН V B = 430 кН H = 396 кН H Окружность F 2 = 80 кН 123,90 M (кН * м) 125,99 0,00 78,01 0,00 Q (кН) 58,40 101,78 39,2539,25 48,17 34,00 18,45 59,73 13,59 29,60 58,80 N (кН) 533,6 538,8 532,3 414,9 404,3 414,0 396,0 400,4 458,1 517,2 581,6 F 1 cos F1 F 1 sin F1 78,00 19,32 101,23 F 2 cos F2 426,1 F 2 sin F2 y 42,00 0,00 140,10 94,80 F1 F2

C A B x F 1 = 240 кН q = 32 кН/м f = 6 мf = 6 м 9 м 9 м 4 м 4 м 12 м 12 м 12 м 12 м 6 м 6 м H = 396 кН H Окружност ь F 2 = 80 кН y Парабола 123,90 M (кН * м) 0,00 Q (кН) 94,80 101,78 48,17 59,73 58,80 N (кН) 533,6 396,0 581,6 F 1 cos F1 F 1 sin F1 78,00 101,23 F 2 cos F2 F 2 sin F2 42,00 140,10 222,00222,00 160,00 111,49 541,6 396,0 584,1 V A = 370 кН V B = 430 кН

C A B x F 1 = 240 кН q = 32 кН/м f = 6 мf = 6 м 9 м 9 м 4 м 4 м 12 м 12 м 12 м 12 м 6 м 6 м H = 396 кН H Окружност ь F 2 = 80 кН y Парабола 123,90 M (кН * м) 0,00 78,00 42,00 140,10 222,00222,00 160,00 Для сравнения: M 0,max = = 2394 кН * м A0A0 VB0VB0 B0B0 VA0VA0 F1F1 F2F2 q V A = 370 кН V B = 430 кН M 0,max M0M0 (кН * м)

Трёхшарнирные системы (арки и рамы) с рациональным очертанием оси Критерий рациональности – безмоментность: М(х) = 0 Рациональное очертание оси при вертикальных нагрузках: M(x) = M 0 (x) – H * y (x) = 0 П р и м е р A В M0(х)M0(х) AВ С п р я м а я прямая прямая

Трёхшарнирные системы (арки и рамы) с рациональным очертанием оси Критерий рациональности – безмоментность: М(х) = 0 Рациональное очертание оси при равномерной гидростатической нагрузке ( q n = const, q t = 0 ) q n = const Из дифференциальных уравнений равновесия: r = const – окружность

Понятие об оптимальной стреле подъема арки с рациональным очертанием оси A(s)A(s) s f l Целевая функция – объём материала арки f V ( f )V ( f ) f opt V min Нагрузка Форма оси f opt / l Постоян. сечение Равно- прочно. Вертикальная равномерная Парабола 0,3420,433 Равномерная гидростатич. Окружность 0,326 Результаты оптимизации с ограничением по прочноости

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ B F = 1F = 1 A C x f y xKxK yKyK x VAVA H VBVB H ab l Линии влияния опорных реакций 1 1 Л.В. V A = Л.В. V A0 Л.В. V B = Л.В. V B0 Л.В. H a * b / ( f * l ) K Линия влияния изгибающего момента M K (x) = M 0K (x) – H (x) * y K Л.В. M K = = Л.В. M 0K – – y K * Л.В. Н

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ B F = 1F = 1 A C x f y xKxK yKyK x VAVA H VBVB H ab l Линия влияния изгибающего момента M K (x) = M 0K (x) – H (x) * y K Л.В. M K = = Л.В. M 0K – – y K * Л.В. Н y K * a * b / ( f * l ) Л.В. M 0K Л.В. Н * y K b * x K / l ( x K / l ) * (l – x K – y K * b / f ) ( b / l ) * ( x K – y K * a / f ) Л.В. M K K y K * x K * b / ( f * l )

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ B A C f x K ~ l/4 yKyK VAVA H VBVB H l /2 Невыгоднейшее загружение симметричной арки равномерно распределённой вертикальной нагрузкой Л.В. M K K l /2 q q M K,max M K,min ? q q Загружение на M K,max Загружение на M K,min В ы в о д: приближённо 0,4 l о т опоры, ближайшей к сечению 0,6 l о т противоположной опоры

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ B F = 1F = 1 A C x f y xKxK yKyK K x VAVA H VBVB H ab l Линия влияния поперечной силы Л.В. Q K = = cos K * Л.В. Q 0K – – sin K * Л.В. Н sin K * a * b / ( f * l ) Л.В. Q 0K * cos K Л.В. Н * sin K ( b / l ) * cos K sin K * x K * b / ( f * l ) ( x K / l ) * [cos K +( b / f ) * sin K ] ( b / l ) * [ cos K – ( a / f ) * sin K ] Л.В. Q K cos K Q K (x) = Q 0K (x) * cos K – H(x) * sin K K

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ B F = 1F = 1 A C x f y xKxK yKyK K x VAVA H VBVB H ab l Линия влияния продольной силы N K (x) = – [ Q 0K (x) * sin K + H(x) * cos K ] Л.В. N K = = – sin K * Л.В. Q 0K – – cos K * Л.В. Н cos K * a * b / ( f * l ) Л.В. Q 0K * sin K Л.В. Н * cos K ( b / l ) * sin K cos K * x K * b / ( f * l ) ( x K / l ) * [sin K – ( b / f ) * cos K ] – ( b / l ) * [sin K + ( a / f ) * cos K ] Л.В. N K sin K K

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ B F = 1F = 1 A x f y x H ab l Линия влияния распора (кинематический метод) 1 2 (10) = (12) = C (20) f * l / a (20) = (21)(10) + О.С. C

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ B F = 1F = 1 A x f y x H ab l Линия влияния распора (кинематический метод) 1 2 (10) = (12) = C H (20) f * l / a d 2 H = d 2 * f * l /a d 2 = H * a /(f * l) d 2 F (x) < 0 Эпюра F d 2 * b Л.В. Н b * a /(f * l) (20) = (21)(10) + О.С.

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ B F = 1F = 1 A C x f xKxK yKyK x ab l (кинематический метод) y Линия влияния изгибающего момента K MKMK (10) == (30) = (23) (12) =

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ B A C uMuM f xKxK yKyK x ab l (кинематический метод) y K MKMK (20) (10) == (30) = (23) (12) = (20) = (21)(10) + (23)(30) Линия влияния изгибающего момента tg = f / b tg = y K / x K M Эпюра F M K (x) Л.В. M K 1 xKxK

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ B F = 1F = 1 A C x f x ab l (кинематический метод) y Линия влияния поперечной силы K K xKxK yKyK QKQK

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ B A uQuQ f xKxK x ab l (кинематический метод) y (20) (10) == (30) (12) tg = f / b K QKQK C = (23) (20) = (21)(10) + (23)(30) Линия влияния поперечной силы

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ B A uQuQ f xKxK x ab l (кинематический метод) y (20) (10) == (30) (12) K QKQK C = (23) tg = f / b (20) = (21)(10) + (23)(30) Линия влияния поперечной силы cos K Л.В. Q K

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ B A uQuQ f xKxK x ab l (кинематический метод) y (10) == (30) = (23) (12) QKQK K cos K Л.В. Q K C (20) tg = f / b (20) = (21)(10) + (23)(30) Линия влияния поперечной силы

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ B F = 1F = 1 A C x f x ab l (кинематический метод) y Линия влияния продольной силы K K xKxK yKyK

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ B F = 1F = 1 A C x f x ab l (кинематический метод) y K (10) == (30) = (23) (12) (20) (20) = (21)(10) + (23)(30) K NKNK Линия влияния продольной силы tg = f / b uNuN sin K Л.В. N K

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ B F = 1F = 1 A C x f x ab l (кинематический метод) y K (10) = = (30) = (23) (12) (20) (20) = (21)(10) + (23)(30) K NKNK Линия влияния продольной силы tg = f / b uNuN sin K Л.В. N K K xKxK yKyK

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках *) ; для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 30» ) 1. Какие усилия возникают в произвольном сечении арки? ( 2 )( 2 ) 2. Дифференциальные уравнения равновесия элемента криволинейного стержня. ( 3 )( 3 ) 3. Как определяются вертикальные составляющие опорных реакций трёхшарнирной арки с опорами на одном уровне в случае вертикальной нагрузки? ( 4 )( 4 ) 4. Как зависит распор трёхшарнирной арки от стрелы подъема? ( 4 )( 4 ) 5. Почему ключевой шарнир трёхшарнирной арки располагают обычно в ее вершине? ( 4 )( 4 ) 6. Формула для изгибающих моментов в трёхшарнирной арке при вертикальной нагрузке. ( 5 )( 5 ) 7. Изгибающие моменты в арке больше или меньше моментов в балке того же пролёта при той же вертикальной нагрузке? Почему? ( 5 )( 5 ) 7. Формула для поперечных сил в трёхшарнирной арке при вертикальной нагрузке. ( 5 )( 5 ) 8. Формула для продольных сил в трёхшарнирной арке при вертикальной нагрузке. ( 5 )( 5 ) 9. Особенности очертания эпюр ВСФ в трёхшарнирных арках. 10. Как используются дифференциальные зависимости между усилиями в криволинейном стержне для построения и проверки эпюр ВСФ в арке? 11. Какую особенность имеет эпюра Q в арке в месте приложения сосредоточенной силы F ? 12. Какую особенность имеет эпюра N в арке в месте приложения сосредоточенной нагрузки F ? 13. Чему равна поперечная сила в сечении в вершине арки? ( 5 )( 5 ) 14. Чему равна продольная сила в сечении в вершине арки? ( 5 )( 5 ) 15. Почему трёхшарнирная арка экономичнее по расходу материала, чем балка того же пролёта? ( самостоятельно ) 16. Что такое арка рационального очертания? ( 11 )( 11 ) ____________________________________________________________ *) Только в режиме «Показ слайдов» самостоятельно

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках *) ; для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 31» ) 17. Главное свойство арки рационального очертания. ( 11 )( 11 ) 18. Какие усилия возникают в арке рационального очертания? ( 11 )( 11 ) 19. Каково рациональное очертание оси арки при равномерно распределённой по всей ее длине гидростатической нагрузке? ( 12 )( 12 ) 21. Уравнение оси арки рационального очертания при вертикальной нагрузке. ( 11 )( 11 ) 22. Каково рациональное очертание оси арки при равномерно распределённой по всему пролёту вертикальной нагрузке? ( самостоятельно, по аналогии с ( 11 ) )( 11 ) 23. Какое очертание оси арки – параболическое или эллиптическое – выгоднее при вертикальных нагрузках, приложенных вблизи от опор? ( самостоятельно ) 24. Какой вид имеет линия влияния распора трёхшарнирной арки с опорами на одном уровне? ( 14 )( 14 ) 25. Какой вид имеет линия влияния изгибающего момента в произвольном сечении трёхшарнирной арки? ( 22 )( 22 ) 26. Какой вид имеет линия влияния поперечной силы в сечении арки, расположенном слева (справа) от ключевого шарнира? ( 25 ) ( 26 )( 25 )( 26 ) 27. Чему равен скачок на Л.В. Q в сечении трёхшарнирной арки? ( 25 ) ( 26 )( 25 )( 26 ) 28. Какой вид имеет линия влияния продольной силы в сечении арки левее ( правее ) ключевого шарнира? ( 28 ) ( 29 )( 28 )( 29 ) 29. Чему равен скачок на Л.В. N в сечении трёхшарнирной арки? ( 28 ) ( 29 )( 28 )( 29 ) 30. Какое загружение равномерно распределённой нагрузкой для симметричной арки более опасное – по всему пролёту или по его половине? ( 16 )( 16 ) 31. При каком загружении трёхшарнирной арки равномерной временной нагрузкой в её сечениях возникают наибольшие по абсолютной величине продольные силы? ( самостоятельно ) _____________________________________________________ *) Только в режиме «Показ слайдов»