«Математические модели в расчетах на ЭВМ» Основное содержание курса лекций и практик Преподаватель: к.т.н., доцент Уразбахтина Анжелика Юрьевна 2014 г

Общая характеристика математических методов для инженерных расчетов на ЭВМ Применение математических методов и ЭВМ при проектировании способствует повышению технического уровня и качества проектируемых объектов, сокращению сроков разработки и освоения их в производстве. Автоматизация проектирования особенно эффективна, когда от автоматизации выполнения отдельных инженерных расчетов переходят к использованию автоматизированных информационных систем (АИС) или систем автоматизированного проектирования (САПР).

Задачи, решаемые с помощью математических моделей, заложенных в АИС или САПР: Моделирование и мониторинг разработки месторождений; Информационные технологии в проектировании объектов обустройства месторождений; Стандартизация и техническое регулирование; Комплексные решения для корпоративных информационных систем; Моделирование последствий экологических катастроф.

Математические модели - являются основой математического обеспечения (МО) САПР или АИС. Разработка математических моделей и алгоритмов является творческим и сложным этапом создания АИС или САПР, от которого в наибольшей степени зависят производительность и эффективность автоматизированной системы, и качество проекта.

Математическое обеспечение АИС или САПР Математическое обеспечение (МО) - это математические модели (ММ), методы и алгоритмы, по которым разрабатывается программное обеспечение (ПО) АИС или САПР, и которые позволяют осуществлять автоматизированное проектирование.

Математические модели: основные понятия Под математической моделью (ММ) объекта и его элементов понимают систему математических отношений, описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в реальных или производственных условиях. При построении ММ используют различные математические средства описания объекта – теорию множеств, графов, вероятностей, математическую логику, математическое программирование, дифференциальные или интегральные уравнения и т.д.

Математические модели: основные понятия Структура ММ – общий вид математических отношений модели без конкретизации числовых значений фигурирующих в ней параметров. Математическая модель описывает зависимость между исходными (входными) данными и искомыми величинами.

Схема обобщенной математической модели

Данные математических моделей х (x 1,х 2,…) - множество входных данных (факторов, независимых переменных), из них: есть группа варьируемых переменных и группа независимых переменных (констант). L - математический оператор, определяющий операции над входными данными; это полная система математических операций, описывающих численные или логические соотношения между множествами входных и выходных данных; у - множество выходных данных (зависимых переменных); представляет собой совокупность критериев оценки моделируемого объекта или целевых функций улучшения объекта.

Математическое моделирование по статистическим или экспериментальным данным называется аппроксимацией или регрессионным анализом. Цели регрессионного анализа: определить силу влияния факторов х на результат у и найти неизвестные коэффициенты математической модели а,b,c и т.д. При этом используются методы замены для преобразования нелинейных функций в линейные.

Входные данные математических моделей Множество независимых переменных (констант) х определяет среду функционирования объекта, т.е. внешние условия, в которых будет работать проектируемый объект, эти факторы разработчик ММ изменить не может Это могут быть: технические параметры объекта, не подлежащие изменению в процессе проектирования; физические возмущения среды, с которой взаимодействует объект проектирования; тактические параметры, которые должен достигать объект проектирования. Разделение входных параметров х по степени важности влияния их изменений на выходные данные y называется ранжированием.

Методы получения математических моделей Получение математических моделей (ММ) - процедура неформализованная, т.е. основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера используемых переменных и параметров, принимает человек (проектировщик) ММ. Разработка ММ обычно выполняется специалистами конкретных областей с помощью традиционных экспериментальных исследований. Методы получения математических моделей делят на теоретические и экспериментальные.

Теоретические методы разработки ММ - основаны на изучении физических закономерностей протекающих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходимых выкладок и приведении результата к принятой форме представления модели.

Экспериментальные методы разработки ММ - методы основаны на использовании внешних проявлений свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации однотипных объектов или при проведении целенаправленных экспериментов.

Порядок разработки ММ 1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели. Он основан на анализе возможных применений модели и определяет степень ее универсальности. 2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта (входной, выходной информации. Источниками ее являются: опыт и знания человека, разрабатывающего модель; содержание научно-технической литературы; описания прототипов – имеющихся ММ для элементов, близких по своим свойствам к исследуемому; результаты экспериментального измерения параметров и т.п. 3. Синтез структуры ММ в виде алгоритма, блок-схемы, аналитической формы, матрицы решения. Синтез структуры – это поиск и упорядочивание аналитических, логических и других зависимостей для преобразования входных параметров в выходные. 4. Расчет числовых значений параметров ММ (разработка тестового или контрольного примера). На этом этапе решается задача минимизации погрешности математической модели. 5. Оценка точности и адекватности ММ. Здесь устанавливается степень расхождения с тестовым примеров или с реальным объектом. 6. Разработка и оформление документации к ММ завершает ее проектирование.

Схема порядка моделирования

Цели моделирования ММ нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание); ММ нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление); ММ нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Примеры целей моделирования 1. Какой режим эксплуатации технического объекта выбрать для того, чтобы он был безопасным и экономически наиболее выгодным? 2. Как составить график выполнения сотен видов взаимозависимых работ на объекте, чтобы они закончились в максимально короткие сроки? 3. Проследить (предсказать) экологические и климатические последствия прорыва крупного нефтепровода. 4. Проследить (предсказать) социальные последствия изменений цен на нефть.

Программное обеспечение ЭВМ, используемое на различных этапах математического моделирования Пакет MATLAB Система MATLAB предназначена для выполнения инженерных и научных расчетов и высококачественной визуализации получаемых результатов. Эта система применяется в математике, вычислительном эксперименте, математическом и имитационном моделировании. Используя пакет MATLAB можно как из кубиков построить довольно сложную математическую модель, или написать свою программу.

Программное обеспечение ЭВМ, используемое на различных этапах математического моделирования MATHCAD Универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов, математического моделирования. Ориентирован на естественный математический язык и непрограммирующего пользователя. Пакет объединяет в себе: редактор математических формул, интерпретатор для вычислений, библиотеку математических функций, процессор символьных преобразований, текстовый редактор, графические средства представления результатов, возможности структурного программирования.

SMathStudio программа для проведения математических вычислений и построения графиков, позволяет работать с матрицами и векторами, гиперболическими и тригонометрическими функциями, комплексными числами и булевыми выражениями. Поддерживается использование примитивного программирования - циклов FOR и WHILE, условий IF и т.д. Пользователь программы имеет возможность быстрой вставки единиц измерения, может экспортировать созданные проекты в форматы HTML и MathCad или сохранять их в виде изображений BMP, GIF, JPG и PNG. В SMathStudio есть встроенный справочник, посвященный тригонометрии, логарифмам, производным, пределам и прочим математическим понятиям. Также в программе имеется коллекция примеров по решению математических задач.

EXCEL Использование именно Excel в качестве средства разработки математических моделей оправдывается не только высокой скоростью моделирования. Модели, разрабатываемые на базе этого поистине «народного» инструмента, как правило, наиболее просты в освоении, и даже их самостоятельная адаптация к меняющимся условиям может быть для более или менее квалифицированных пользователей Excel вполне посильной задачей. К тому же, на рабочих местах использование иных программных средств может оказаться затруднительным – хотя бы в силу ресурсных ограничений (это могут быть и устаревшие компьютеры, и отсутствие локальной сети, и низкая квалификация пользователей).

Регрессионные математические модели Регрессионные ММ применяются для исследования зависимости изучаемой переменной Y от различных факторов X и отображения их взаимосвязи в форме регрессионной математической модели. В регрессионных моделях зависимая (объясняемая) переменная Y может быть представлена в виде функции где - независимые (объясняющие) переменные, или факторы. ММ регрессии можно использовать не только для анализа, но и для прогнозирования явлений различной природы.

Примеры регрессионных математических моделей Пример 1. Запись ММ в виде формулы: y(x)=линейная функция у зависит от одного фактора х. Математическая модель у(х)=а+bx называется линейной и однофакторной. Прямая зависимость: когда х возрастает, возрастает и у или х убывает – убывает и у. Обратная зависимость: когда х возрастает, у - убывает или х убывает – у возрастает.

Пример 2. Запись ММ в виде формулы y(x 1,х 2,…)= линейная функция у зависит от нескольких факторов х. Математическая модель у(х)=а+b x 1 + с х 2 + … называется линейной и многофакторной. Ее график и зависимости аналогичны однофакторной модели Примеры математических моделей

Пример 3. Запись ММ в виде формулы y(x)=нелинейная функция у зависит от одного фактора х. Здесь может быть множество вариантов нелинейных однофакторных математических моделей: 3.1. Парабола или ее часть - y(x)=a+bx 2 или y(x)=a+bх+сx Равносторонняя гипербола или ее часть - y(x)=a+b/x.

Примеры математических моделей 3.3. Степенная – y(x)=ax b 3.4. Показательная – y(x)=ab х 3.5. Экспоненциальная – y(x)=е а+bх 3.6. Полином n-ой степени y(x)=a+bх+сx 2 +…+z x n и другие.

Математические модели определяются по экспериментальным или статистическим данным, обычно представляемым в виде таблиц, например или Фактор Х Результат эксперимента или статистический результат У 18,5 213,6 318,7 423,8 528,9 Фактор Х 1 Фактор Х 2 … Фактор Х n Результат эксперимента или статистический результат У 241,72 1,62,6 222,85 2,03,38 204,50 2,54, ,66 3,05, ,35 3,77, ,56 4,59,653618

Ранжирование факторов х 1. для линейных моделей можно производить по значению коэффициента корреляции r y,x. Чем ближе значение | r y,x | к 1, тем сильнее влияние фактора х на результат у. 2. по значимости фактора х для правильного функционирования объекта моделирования. Значимость устанавливается путем опроса экспертов в нефтегазодобывающей промышленности. При разработке регрессионных математических моделей проводят ранжирование факторов х. В результате ранжирования определяется – будет ли фактор х входить в модель или нет.

Пример 1. Ранжирование факторов х по коэффициенту корреляции Дана таблица статистических данных: Фактор Х 1 Фактор Х 2 Фактор Х n Результат эксперимента или статистический результат У 241,712,6 222,823,3 204,524,3 186,635,7 169,337,4 1412,549,6 Коэффициенты корреляции r y,x1 r y,x2 r y,xn -0,9821,0000,953 Для расчета коэффициентов корреляции используем функцию =КОРРЕЛ в EXCEL. Наиболее важным является фактор х 2, затем х 1, и наконец, x n.

Пример 2. Ранжирование факторов х экспертами Факторы х Ранг х по важности, установленный экспертами Бальная оценка качества добываемой нефти 0,02 Маршрут на транспортировку нефти и газа 0,08 Величина запаса 0,15 Инвестиции в проект 0,15 Текущий объем добычи 0,25 Площадь неразработанной территории 0,35

Неизвестные а, b, c и т.п. математических моделей находятся с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Метод наименьших квадратов (МНК) в матричной форме для определения коэффициентов регрессионных ММ матрица независимых факторов х, в первый столбец этой матрицы обязательно записываются только 1. Состав остальных столбцов зависит от предполагаемой математической формулы модели. матрица результирующих значений процесса или работы производственной системы где

Применение МНК в MathCAD покажем на примере определения коэффициентов линейных математических моделей a+b x и c+d x 1 +f x 2 +k x n по данным из таблиц со слайда 27. Таким образом определили линейные математические модели 3,4+5,1 x и -4,796+0,176 x 1 +0,385 x 2 +1,585 x n

Применение МНК в SmathStudio Как видно из примеров, результаты применения МНК не зависят от использованной программы.

Проверка регрессионных математических моделей Проверка правильности ММ заключается в разработке и проведении набора тестов, а также в: визуальной проверке по графикам заданного у и смоделированного уm. сравнении сумм заданного у и смоделированного уm. Проверке, что (заданное у – смоделированное уm) 2 min. определении относительной погрешности аппроксимации E ОТН (%) по формуле Относительная погрешность модели должны быть меньше 7%

Определение коэффициентов нелинейных однофакторных математических моделей Дана таблица с экспериментальными данными. 1. Отранжируем все данные в таблице по возрастанию х. 2. Строим график у. 3. По графику убеждаемся, что функция ММ y(x) нелинейная. 4. Высказываем предположение, какая это функция (парабола, гипербола, степенная и т.д.) 5. Формируем матрицу Х в соответствии с выбранной нелинейной функцией. 6. Определяем коэффициенты модели. 7. Оцениваем точность модели.

Пример определения коэффициентов нелинейных однофакторных математических моделей Дана таблица Фактор Х Результат эксперимента или статистический результат У 15, , , График представляет собой часть параболы, т.е. в модель введем x 2

Пример определения коэффициентов нелинейных однофакторных математических моделей В MathCAD формируем матрицу Х. Первый столбец в ней заполняем 1, второй столбец заполняем значениями x 2. Применяем МНК. Получаем коэффициенты модели. Результат – математическая модель y(x)=2+3,5x 2.

Пример проверки моделей в EXCEL Дана таблица: Погрешность данной модели 0% (модель идеальна) х Заданное y Смоделированное ym | y ym | 100 / y 18,5 0,00 213,6 0,00 318,7 0,00 423,8 0,00 528,9 0,00 Сумма 93,5 0,00

Регрессионные математические модели могут быть объединены в системы, в которые включаются и функции цели моделирования

Аналитические математические модели в виде системы уравнений/неравенств Аналитические модели представляют собой явно выраженные зависимости выходных параметров от входных или внутренних параметров. Пример линеаризованной аналитической математической модели: ММ= где, - параметры моделируемого объекта; ограничения, накладываемые на функционирование объекта окружающей средой; - целевая функция моделирования.

Формулировка задачи линейного программирования (ЗЛП) Реализуются линеаризованные математические модели в виде систем с помощью линейного программирования, Симплекс-метода и др.: «Имеется некоторая величина, являющаяся линейной функцией ряда переменных, которые, в свою очередь, должны удовлетворять ограничениям, выраженным в виде системы линейных равенств или неравенств. Требуется отыскать такие неотрицательные значения переменных, удовлетворяющих системе ограничений, при которых величина, являющаяся их линейной функцией, принимала бы наименьшее или наибольшее значение.»

Пример решения задачи линейного программирования Постановка задачи. Найти минимум целевой функции: при указанных ограничениях: где х и y объем добычи нефти и газа; a и b трудоемкость добычи нефти и газа; (1)- ограничение по количеству резервуаров; (2) - ограничение по количеству используемого оборудования; (3) - ограничение по количеству используемых месторождений.

Решение задачи линейного программирования 1. Неравенства (1)…(3) преобразовывают в равенства: 2. Строят 3 графика по равенствам из п Заштриховывают область, соответствующую неравенствам (1…3)

Решение задачи линейного программирования 4. Находят точки пересечения 3-х графиков, их заносят в матрицы х и у, вычисляют значения G (x, y), определяют наименьшее значение целевой функции G (x, y) и соответствующие значения х и у. Ответ: G min=8,665 при х=2,333 и y=1,333. Область возможных решений xyG(x,y)G(x,y) ,3331,3338, ,42,410 1,62,3510,25

Рассмотрим еще примеры применения математических моделей различных форм и записей

Пример записи ММ в виде табличного алгоритма Имеется справочная информация: Требуется преобразовать ее в табличную форму ММ для решения на ЭВМ. Параметр конструкции Интервалы параметров объекта, мм Решение 1 при Решение 2 при Решение 3 при Диаметр круглого сечения DZ max Размер под ключ шестигранного сечения DZ max Размер под ключ четырехгранного сечения DZ max Материал – сталь. Диаметр наружной резьбы DR max Материал – пластик. Диаметр наружной резьбы DR max Длина LZ max 60 90

1. Составляется комплекс условий применимости (КУП) для принятия решения: 2. где М – материал (0 – сталь, 1 – другие материалы); ФП – форма (0 – круглый, 4 – четырехгранник, 6 – шестигранник). И теперь заполняется ТА ММ. ФП=DZM=M=DRLZРешение

Пример разработки ММ в аналитической форме и словесного алгоритма Постановка задачи: Кусок проволоки данной длины L согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей. Этап 1. Анализ требований. На рисунке представлен прямоугольник и его стороны: а – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника. Периметр прямоугольника L=2a+2b Площадь прямоугольника S=a b, эта функция будет являться целевой функцией поиска значений параметров а и b. b a

Пример разработки ММ в аналитической форме и словесного алгоритма Этап 2. Разработка ММ. Математическая модель (ММ) для решения задачи имеет вид: Сформулируем словесный алгоритм: 1. Ввести значение L. 2. Вычислить =L/ Назначить a= ; S max =0; a max =0; b max =0;. 4. Вычислить b=(L 2a)/2. 5. Вычислить S= a b. 6. Если S S max, то a max =a; b max =b; S max =S. 7. Вычислить a=a+. 8. Если a

ММ в виде блок-схемы

Этап 3. Проектирование и определение спецификаций. Спецификация параметров к алгоритму ММ Наименование параметра Обозначение в алгоритме Обозначение в программе Ед. изм.Диапазон Статус параметра Тип 1 Длина проволокиllм Входной Не целый 2 Длина прямоугольникаaaм Расчетный Не целый 3 Ширина прямоугольника bbм Расчетный Не целый 4 Площадь прямоугольника SSм² Расчетный Не целый 5 Шаг итераций dм 0, Расчетный Не целый 6 Длина прямоугольника с наибольшей площадью a max amм Выходной Не целый 7 Длина прямоугольника с наибольшей площадью b max bmм Выходной Не целый 8 Наибольшая площадь S max Smм² Выходной Не целый

Этап 4. Расчет тестовых примеров. Тестовые примеры рассчитывают вручную и представляют в таблице: Этап 5. Реализация ММ. Например, в редакторе электронных таблиц EXCEL (приведена лишь часть электронной таблицы) Номе р те ст а LРезультат a max b max S max L Расчетные данные ММ abS Результат моделирования в EXCEL совпадает со значениями из тестового примера

Многокритериальные ММ В предыдущих примерах мы рассматривали одну целевую функцию моделирования, но в реальных задачах их может быть несколько. Такие задачи называют многокритериальными. Для реализации ММ на ЭВМ требуется множество целевых функции свести к одной формуле. Например, аддитивный критерий объединяет (свертывает) несколько целевых функций в одну: где i важность i -ой целевой функции для заказчика моделирования, выраженная в весовых коэффициентах; m количество целевых функций. Недостатки аддитивного критерия субъективный подход к выбору весовых коэффициентов и все целевые функции должны стремиться либо к min, либо к max. В случае, когда одни целевые функции стремятся к min, другие - к max, применяется минимаксный метод.

Комплексная целевая функция моделирования где m – количество альтернативных вариантов решения; P i,j текущее значение i-го параметра для j-го варианта; i весовые коэффициенты значимости; max(P i,j ) или min(P i,j ) наилучшее значение i-го параметра, наблюдаемое у множества анализируемых альтернатив; k – количество параметров проектируемого объекта, входящих в комплексную оценку. Каждый из параметров «стремится» к своему оптимальному значению opt. Решение сводится к поиску наибольшего значения целевой функции F из m вариантов.

Пример использования комплексной оценки Задача: Требуется оценить несколько проектов по нескольким параметрам Наименование P i,j, ед. изм. х j=1j=2j=3j=4j=5 i opt Значения opt Величина запаса, м 3 (i=1) 0,760,780,750,810,80,15max0,81 Площадь неразработанной территории, м 2 (i=2) 0,230,320,250,30,310,35min0,23 Инвестиции в проект, руб. (i=3) ,15max12 Текущий объем добычи, м 3 (i=4) ,25max85 Маршрут на транспортировку нефти и газа, км (i =5) ,08min250 Бальная оценка качества добываемой нефти (i=6) 1,21,121,251,21,230,02max1,25 Общие удельные затраты C j, руб _- Пример расчета эффективности 1 варианта W 1 = 0,15 0,76/0,81+0,35 0,23/0,23+0,15 11/12+0,25 72/85+0,08 250/270+0,02 1,2/1,25 =0,9332. Результаты расчетов эффективности W и целевых функций F остальных вариантов занесем в таблицу.

Пример использования комплексной оценки Наименование Значения эффективности W 0, , , , , Значения целевой функции F 0, , , , , Результаты расчета Для наглядности представления результатов моделирования строится диаграмма значений комплексной целевой функции по вариантам Вывод: лучший – 3-й вариант, так как значение целевой функции здесь достигает максимума.

Спасибо за внимание Следующие занятия будут практическими. 1. Перед первым практическим занятием узнайте свой варианта по списку фамилий в журнале. 2. Скачайте файл «Перечень тем и заданий самост работы по ММ в расчетах на ЭВМ 2014»