«Схемы как средства организации мышления в процессе обучения математике. Часть 2. (Анализ итогов заочного этапа XVI Ломоносовского турнира в секции математики 5-11 классы)»

Структура заданий и их оценивание Количество заданий Форма ответа Оценивание Часть 15 4 кода (1, 2, 3 и 4) только один верный Верный ответ – 1 балл; неверный – 0 баллов Часть 210 Свободный ответ Целое число или конечная десятичная дробь без единиц измерения (!) Верный ответ – 2 балла; неверный – 0 баллов

Идеи решения некоторых задач 5 класс 5. Маша говорит правду только один день в неделю. Однажды она сказала: "Я лгу по понедельникам и вторникам". На следующий день она сказала: "Сегодня или четверг, или суббота, или воскресенье". Еще на следующий день она сказала: "Я лгу по средам и пятницам". В какой день недели Маша сделала первое свое заявление? 1) вторник 2) четверг 3) пятница 4) воскресенье

Решение. Краткая запись условия: 1 – я лгу по ПН и ВТ 2 – сегодня или ЧТ, или СБ, или ВС 3 – я лгу по СР и ПТ 1 и 3 не может говорить правду в ЧТ, в СБ и в ВС, так как 1 и 3 будут правдой. Значит, заявление 2 всегда ложно. Перебор: правду говорит в ПН, ВТ, СР или ПТ, т.е. четыре варианта. Вывод: правду говорит во вторник (3-й день), а первое заявление - в воскресенье.

15. На Новогоднем празднике дети пытались угадать, сколько подарков в мешке у Деда Мороза. Предлагались следующие варианты: 41, 46, 60, 45 и 55. Все эти варианты были неверные, причем отличались от правильного ответа на 8, 12, 7, 2 и 7 (порядок необязательно соответствует порядку исходных чисел, а также неизвестно: угадываемое число на столько больше или меньше). Сколько подарков в мешке у Деда Мороза? Если возможны несколько вариантов ответов, то в бланке укажите их сумму.

Решение. Умение выдвигать гипотезы, подмечая закономерности. Варианты: 41, 46, 60, 45 и 55. Отличия: на 8, 12, 7, 2 и 7. Дважды отличие на 7, но при этом среди предположений нет одинаковых вариантов. Какой вывод можно сделать?

Одно из предположений на 7 больше, а другое – на 7 меньше, т.е. разница между ними 14. Возможны два варианта: 1)46 и 60, тогда угадываемое число (количество подарков) – 53. 2)41 и 55, угадываемое число – 48. Проверка отличий приводит только к одному верному ответу. Ответ. 53.

6 класс 10. Вес соснового бруска 27 кг, а дубового бруска – 45 кг. На весы положили 10 брусков, их общий вес оказался равным 396 кг. Сколько было дубовых брусков?

Идея: перебор по последней цифре. Если количество дубовых брусков нечетно, то число сосновых брусков должно равняться трем = = 396 Если количество дубовых брусков четно, то число сосновых брусков должно равняться восьми = Ответ. 7

12. За круглым столом сидят 14 человек – рыцари (которые всегда говорят правду) и лжецы (всегда лгут). Каждый из сидящих за столом произнес: "Напротив меня сидит лжец". Сколько всего лжецов сидит за столом?

Решение. В каждой паре сидящих напротив друг друга – один рыцарь и один лжец. Ответ. 7 лжецов.

7 класс 4. Скорость течения реки от А до В составляет 3 км/ч, а от В до С 1 км/ч, АВ = 14 км, ВС = 15 км. Катер плыл по течению от А до В на 15 минут меньше, чем от В до С. Определите собственную скорость катера. 1) 10 км/ч 2) 11 км/ч 3) 12 км/ч 4) 13 км/ч

14. Сизиф обязан каждый день втаскивать большой камень на вершину горы. В первый день он потратил на подъем в гору и спуск с нее 7 часов. Эта работа утомительна, и в каждый следующий день он поднимается вдвое медленнее, чем в предыдущий, но зато спускается вдвое быстрее. Сколько времени он потратил на подъем и спуск в третий день, если во второй день ему понадобилось 8 часов?

Решение. Половина спуска – 2 часа, тогда С – 4 часа, П – 3 часа. Третий день: 4П + С/4 = = 13. Ответ. 13. П 2П П С С2С2 5 С2С2

8 класс

15. На покраску большого деревянного куба размером ушел 1 кг краски. Покрашенный куб распилили на кубики размером Сколько ещё килограммов краски необходимо для покраски неокрашенных граней маленьких кубиков?

Решение. Чтобы получить маленькие кубики, необходимо сделать 2013 параллельных распилов в каждом из трех перпендикулярных направлений. При таком распиле красить надо две грани размером граней – х кг 6 граней- 1 кг. Ответ

9 класс 11. Окружность, проходящая через вершины А, В, С ромба ABCD, пересекает продолжение его стороны AD в точке M. Найдите площадь ромба ABCD, если AB=5, DM=6.

Ответ. 20. Решение. 6 K D B A M C 5

12. Валера выкладывает «домики» из спичек (на рисунке изображены такие домики в два и три этажа). Сколько спичек понадобится Валере, чтобы построить дом из 10 этажей?

Решение. Определим взаимосвязь между количеством спичек и количеством этажей: 1 этаж:1 + 2 спички 2 этажа:(1+2)+3+4 спичек 3 этажа:( )+5+6 спичек … 10 этажей: (1+2+…+18)+19+20=210. Ответ. 210.

10 класс 6. Вычислите: (2 - 5) + 2 = -1 Ответ. -1.

12. Перед вами четыре двери, на каждой из них написано по одному утверждению. Известно, что за каждой дверью находится либо дракон, либо несметные сокровища (общее число драконов и сокровищ не регламентировано; может быть, там везде драконы, а может, везде сокровища). Что именно находится за дверью, зависит от надписи на ней (за дверью сокровища тогда и только тогда, когда надпись истинна, дракон тогда и только тогда, когда надпись ложна). Какую дверь (по номеру) нужно открыть, чтобы не попасть в лапы дракона? Если такой двери нет, напишите в ответе 0.

Дверь 3: ложь.Дверь 4: ложь. Дверь 2: ложь.Дверь 1: правда. Ответ. 1.

11 класс 13. В теннисном клубе 189 членов: 8 состоят в клубе меньше трёх лет, 11 моложе 20 лет, 70 носят очки, 140 мужчины. Какое наименьшее возможное число членов клуба удовлетворяет сразу четырём условиям: состоят в клубе не меньше трёх лет, их возраст не меньше 20 лет, носят очки и являются мужчинами?

Решение. остаток Не меньше трех лет в клубе – 1818 Возраст не меньше 20 лет – Носят очки – Мужчины – Принцип наихудшего варианта: 70 – 49 = – 11 = – 8 = 2. Ответ. 2.

15. Клим выкладывает «домики» из спичек (на рисунке изображены такие домики в два и три этажа). Сколько этажей будет в «домике», построенном из спичек?

Благодарю за внимание и интерес к математике!