Киришский политехнический техникум «МИР МНОГОГРАННИКОВ» ГАОУ СПО ЛО Киришский политехнический техникум Компьютерная презентация к уроку по математике «МИР МНОГОГРАННИКОВ» Разработала: преподаватель 1 категории Симина Татьяна Аркадьевна

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. Н.Е. Жуковский

Правильные многогранники (Тела Платона) Правильные многогранники (Тела Платона) Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, строителей, архитекторов, поражая своей красотой, совершенством и гармонией. Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, строителей, архитекторов, поражая своей красотой, совершенством и гармонией. Подробно описал свойства этих многогранников древнегреческий ученый Платон. Подробно описал свойства этих многогранников древнегреческий ученый Платон. Именно поэтому правильные многогранники называются также ТЕЛАМИ ПЛАТОНА. Именно поэтому правильные многогранники называются также ТЕЛАМИ ПЛАТОНА.

Т Е Л А П Л А Т О Н А Существует только 5 типов правильных многогранников. Существует только 5 типов правильных многогранников. Правильный тетраэдр Правильный тетраэдр Это треугольная пирамида, все грани которой – правильные треугольники. Это треугольная пирамида, все грани которой – правильные треугольники. Гексаэдр (куб) Гексаэдр (куб) Поверхность гексаэдра состоит из 6 квадратов. Поверхность гексаэдра состоит из 6 квадратов.

Т Е Л А П Л А Т О Н А Октаэдр Октаэдр Поверхность октаэдра Поверхность октаэдра состоит из 8 правильных треугольников. состоит из 8 правильных треугольников.

Т Е Л А П Л А Т О Н А Додекаэдр Додекаэдр Поверхность додекаэдра состоит из 12 правильных пятиугольников. Поверхность додекаэдра состоит из 12 правильных пятиугольников. Икосаэдр Икосаэдр Поверхность икосаэдра - это 20 правильных треугольников. Поверхность икосаэдра - это 20 правильных треугольников.

Т Е Л А А Р Х И М Е Д А Усеченный тетраэдр Имеет 8 граней. Из них 4 – правильные 6-угольники и 4 – правильные 3-угольники. Усеченный октаэдр Получается срезанием вершин октаэдра. Самые простые из них получаются из правильных многогранников отсечением плоскостями углов.

Т Е Л А А Р Х И М Е Д А Т Е Л А А Р Х И М Е Д А Убедившись, что нельзя построить шестой правильный многогранник, великий Архимед построил 13 полу- Убедившись, что нельзя построить шестой правильный многогранник, великий Архимед построил 13 полу- правильных. До нас дошла работа самого ученого правильных. До нас дошла работа самого ученого «О многогранниках», в которой подробно описаны и даны «О многогранниках», в которой подробно описаны и даны рисунки всех 13 МНОГОГРАННИКОВ, названных в честь ученого ТЕЛАМИ АРХИМЕДА. рисунки всех 13 МНОГОГРАННИКОВ, названных в честь ученого ТЕЛАМИ АРХИМЕДА. Рассмотрим только 6 из них. Рассмотрим только 6 из них.

Т Е Л А А Р Х И М Е Д А Усеченный додекаэдр Может быть получен из додекаэдра отсечением углов плоскостями. Может быть получен из додекаэдра отсечением углов плоскостями. Усеченный икосаэдр В форме поверхности такого многогранника изготавливают поверхность ФУТБОЛЬНОГО МЯЧА. В форме поверхности такого многогранника изготавливают поверхность ФУТБОЛЬНОГО МЯЧА.

Т Е Л А А Р Х И М Е Д А Кубооктаэдр Может быть получен, если в кубе провести отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. Его гранями являются 6 квадратов, как у куба и 8 правильных треугольников, как у октаэдра. Икосододекаэдр Получается аналогично. 20 граней его – правильные треугольники, 12 граней – правильные пятиугольники.

Имеют самые красивые формы. Имеют самые красивые формы. Первые два были открыты И.Кеплером, а два других почти 200 лет спустя построил Л.Пуансо ( ). Первые два были открыты И.Кеплером, а два других почти 200 лет спустя построил Л.Пуансо ( ). Именно поэтому ПРАВИЛЬНЫЕ ЗВЕЗДЧАТЫЕ МНОГОГРАННИКИ называются телами Кеплера – Пуансо. Именно поэтому ПРАВИЛЬНЫЕ ЗВЕЗДЧАТЫЕ МНОГОГРАННИКИ называются телами Кеплера – Пуансо. Они получаются из правильных многогранников продолжением их граней и ребер. Они получаются из правильных многогранников продолжением их граней и ребер. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ ТЕЛА КЕПЛЕРА - ПУАНСО

Существует только 4 типа правильных звездчатых многогранников. Малый звездчатый додекаэдр Большой звездчатый додекаэдр Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки – это звездчатые многогранники.

С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок. Большой додекаэдр Большой икосаэдр

Звездчатый октаэдр Открыт Леонардо да Винчи. Спустя 100 лет переоткрыт И.Кеплером и назван им «Stella Octangula» - звезда восьмиугольная. Вершины его являются вершинами куба. Получается - продолжением граней октаэдра. Звезда Кеплера не является правильным звездчатым многогранником, т. к. звездчатый октаэдр является объединением двух правильных тетраэдров, а из тетраэдра, куба и октаэдра звездчатые многогранники не получаются.

К р и с т а л л ы – природные многогранники Многие формы многогранников придумал не сам человек, а создала природа в виде кристаллов. Многие формы многогранников придумал не сам человек, а создала природа в виде кристаллов. Молекулы метана СН 4 имеют форму тетраэдра Молекулы метана СН 4 имеют форму тетраэдра Кристаллы поваренной соли имеют форму куба; кристаллы льда и горного хрусталя (кварца) напоминают отточенный с двух сторон карандаш. Кристаллы поваренной соли имеют форму куба; кристаллы льда и горного хрусталя (кварца) напоминают отточенный с двух сторон карандаш. Алмаз чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба и даже кубооктаэдра. Алмаз чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба и даже кубооктаэдра. Исландский шпат имеет форму косого параллелепипеда. Исландский шпат имеет форму косого параллелепипеда. Пирит имеет форму куба или октаэдра. Пирит имеет форму куба или октаэдра. Гранат - кроваво-красный пироп, один из основных породообразующих минералов. Его кристалл имеет форму ромбододекаэдра – двенадцатигранника, гранями которого являются двенадцать равных ромбов. Гранат - кроваво-красный пироп, один из основных породообразующих минералов. Его кристалл имеет форму ромбододекаэдра – двенадцатигранника, гранями которого являются двенадцать равных ромбов.

Вопросы 1. Что называется правильным многогранником? Многогранник, у которого все грани правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. 2. Почему существует только 5 видов правильных многогранников? В вершинах многогранника не могут сходиться правильные многоугольники с числом сторон больше 5.

Задача 287, с.77 Дан правильный октаэдр с ребром а. Найти: расстояние между двумя противоположными вершинами, площадь полной поверхности и объем октаэдра.. S A B C S 1 а О H R D

1).Расстояние между двумя противоположными вершинами SS 1 – ось октаэдра: SS 1 = 2Н, где H - высота правильной 4-угольной пирамиды SABCD. Из -ка SOA : H = а – R, где R = R – радиус описанной окружности 2). S полн. = S бок.= 8 S BSC, где S BSC = - площадь S BSC = - площадь равностороннего треугольника равностороннего треугольника 3). Объем октаэдра V = V 1 + V 2, где V пир. =. Вся поверхность правильного октаэдра состоит из 8 одинаковых равносторонних треугольников или двух правильных 4 -угольных пирамид с общим основанием – квадратом ABCD со стороной а. S A B C S 1 а О H R D 2 2 а а S о H S о сн. H

Ответы к задаче Ответы к задаче SS 1 = а 2 SS 1 = а 2 S полн. = 2a S полн. = 2a 2 3 V = a

Эталон 1 Вариант 1. Призма называется прямой, если 1. Призма называется прямой, если ее боковое ребро перпендикулярно основанию 2. Пирамида называется правильной, если 2. Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник и вершина проецируется в центр этого многоугольника 3. Четырехугольная призма, в основании которой лежит параллелограмм, называется 3. Четырехугольная призма, в основании которой лежит параллелограмм, называется параллелепипедом 4. Площадь полной поверхности призмы полн. 4. Площадь полной поверхности призмы: Sполн. = S бок. + 2 S осн. 5. Объём пирамиды: 5. Объём пирамиды: V=1\3 S осн.. H 6. Площадь боковой поверхности пирамиды: 6. Площадь боковой поверхности пирамиды: S бок. = 1\2 Р осн. h 7. Площадь полной поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами а, b, с вычисляются соответственно по формулам: S полн.= 2 (ab + bc +ac) V = abc 8. Диагональ куба с ребром a: d=a 3 d=a 3 2 Вариант 1. Призма называется правильной, если 1. Призма называется правильной, если она прямая, и в основании её лежит правильный многоугольник 2. Апофема – это 2. Апофема – это высота боковой грани пирамиды 3. Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то такой параллелепипед называется 3. Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то такой параллелепипед называется прямоугольным 4. Объём призмы: 4. Объём призмы: V = S осн. H 5. Площадь полной поверхности пирамиды: 5. Площадь полной поверхности пирамиды: S полн. = S бок. + S осн. 6. Площадь боковой поверхности призмы: 6. Площадь боковой поверхности призмы: S бок. = Р осн. Н 7. Площадь полной поверхности и объём куба с ребром а вычисляются соответственно по формулам S полн. = 6 a* 2 V = a* 3 8. Диагональ прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами а, b, с: d= a* 2 +b* 2 + c* 2 d= a* 2 +b* 2 + c* 2

Спасибо за внимание 2014 T.Simina Если Вы хотите, чтобы жизнь улыбалась Вам, подарите ей сначала своё хорошее настроение». Б.Спиноза