Автор презентации: Бубнова Надежда Денисовна Учитель математики МКОУ ООШ 25 п.Нижнеэтокский Предгорного района

Ответ: 70

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны В треугольнике сумма углов равна 180°

Ответ: 6.

5 Внешний угол треугольника – это угол, смежный с углом треугольника Сумма смежных углов углов равна 180° В треугольнике сумма углов равна 180°

Ответ: 134. Один из углов параллелограмма на 46° больше другого. Найти больший из них. А+ D=180° Пусть А=х°, тогда D=х°+46° х+х+46=180 2 х=134 х=67 D = 267°=134°

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Если две параллельные прямые пересечены третьей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Ответ: 108. Найти больший угол параллелограмма АВСD. DCВ= АCD+ А СВ=23°+49°=72° С+ В=180° В=180°- В=180°-72°=108°

Если угол разделен на части, то его градусная мера равна сумме градусных мер его частей. В параллелограмме сумма соседних углов равна 180°

Ответ: 126. Углы ромба относятся как 3:7. Найти больший угол. 1+ 2=180° Пусть х° - одна часть, тогда 2=3 х°, 1=7 х° 3 х+7 х= х=180 х=18 1=18°7=126°

В ромбе противоположные стороны параллельны Если две параллельные прямые пересечены третьей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Ответ: 80. Разность противолежащих углов трапеции равна 68°. Найти больший угол. А+ В=180° Если А=х°, то В=х°+68° х+х+68=180 2 х= х=12 В=12°+68°=80° В+ С

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов, прилежащих боковой стороне трапеции равна 180°.

В СА D Найдите угол между гипотенузой и медианой, проведенной из прямого угла. ? А+ В=90° Так как С= А+ В, то В= ВСD, А= АCD 47 ВCD=47° ВDC=180°-247 =86 Ответ: 86.

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Сумма углов треугольника равна 180

В О С А 100 N L ? Найдите внешний угол при вершине С. Так как 1= 2, 3= 4, то 2+ 3=1/2( А + В) 2+ 3=180°-100 =80 А+ В=80 2=160 Внешний угол при вершине С равен 160 Ответ: 160.

Биссектриса – это луч, который делит угол пополам В треугольнике сумма углов равна 180° Внешний угол треугольника – это угол, смежный с углом треугольника и он равен сумме углов треугольника, не смежных с ним.

В СА sin A=0,8. Найдите sin B. Ответ: 0,6.

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла Основное тригонометрическое тождество:

Повторение (2) Повторение (2) Ответ: Найти АВ. В СА 15 По теореме Пифагора

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Ответ: 75. Найти AB. В А H С 120 Проведем высоту CH, получим ВCH. ВCH=60 CВH=30 По теореме Пифагора в BCH

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к основанию является биссектрисой и медианой В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Ответ: 5. Дано: параллелограмм, P=10, АЕ:ЕD=1:3. Найти AD В А D С Е =3 как накрест лежащие при секущей ВЕ 3=2 так как 1=2 по условиюАВ=АЕ Пусть АЕ=х,тогда АВ=х, ЕD=3 х Р=2 (х+3 х) 2 (х+3 х)=10 4 х=5 Х=1,25 AD=41,25=5

Биссектриса – это луч, который делит угол пополам Периметр многоугольника – это сумма длин всех сторон многоугольника При пересечении двух параллельных прямых накрест лежащие углы равны Если два угла в треугольнике равны, то треугольник - равнобедренный

Ответ: 49. АВСD – ромб. Найти меньшую диагональ. В А D С О В АОВ, где ВАО=30 ОВ=½АВ=½49=24,5 ВD=2ОВ=2 24,5 =49

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы ромба пополам Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы Диагонали параллелограмма (ромба) точкой пересечения делятся пополам

Ответ: 103. АВСD – трапеция, СЕ||АВ. P CDЕ =69. Найти P трапеции В А D С 34 Е Так как СЕ||АВ, то АВ=ЕС, АЕ=ВС=34 АD=АЕ+ЕD P CDЕ =CD+ЕD+СЕ PАВCD =АВ+ВС+CD+АD PАВCD =P CDЕ +ВС=69+34=103

Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то такой четырехугольник - параллелограмм В параллелограмме противоположные стороны равны Если отрезок точкой разделен на части, то его длина равна сумме его частей

Ответ: 94. АВСD – трапеция Найти среднюю линию трапеции В А D С H ? КМ Проведем СЕAD, получим ABH=CED и прямоугольник BCEH AD=AH+HE+ЕD= E 51+94=145 AH=ЕD=51,BC=HE=HD-ED=94-51=43,

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то треугольники равны Если отрезок точкой разделен на части, то его длина равна сумме длин его частей Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции

Ответ: 13. АВСD – трапеция, АВ=23, CD=3. Найти МК. В А D С М К AD+BC=AB+CD=23+3=26

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон четырехугольника равны Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции

Ответ: 8. Найти r. В А С r 11 По теореме Пифагора в BCH r= ½d=½АВ=½16=8

Прямой угол, вписанный в окружность опирается на диаметр окружности В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Радиус окружности равен половине диаметра

Ответ: 6. АВСD – трапеция, P ABCD =12. Найти боковую сторону трапеции. В А С D К M 5 AD+BC=2MK=25 =10 AB= ½( P ABCD -( AD+BC)) = ½( 12-10)=1

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции Периметр многоугольника – это сумма длин всех сторон многоугольника

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а острый угол, прилежащий к нему, равен Найдите площадь треугольника. Задание 11 А ВС S-? Подсказка (3): АВ ВС

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив, равен Найдите площадь треугольника. Задание 11 Подсказка (3): А В С S-? АВ

Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь. Задание 11 А В С 10 Подсказка (4): S-? Н

Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а основание 6. Найдите площадь треугольника. Задание 11 А ВС Подсказка (4): S-? Н АВ

В прямоугольнике одна сторона 6, а диагональ 10. Найдите площадь прямоугольника. А ВС Задание 11 6 Подсказка (3): S-? 10 D ВCВC 48

Задание 11 Периметр ромба равен 24, а тангенс одного из углов равен. Найдите площадь ромба. А В С D Подсказка (4): S-? 12

Задание 11 Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а один из углов Найдите площадь параллелограмма. А В СD Подсказка (3): S-? Н АН

Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна, а угол между ней и одним из оснований равен Найдите площадь трапеции. Задание 11 С DА В Подсказка (3): 60 S-? Н ВН

Радиус круга равен 3, а длина ограничивающей его окружности равна 6 π. Найдите площадь круга. Задание 11 Подсказка (3): 28,26 S-? 3 О R

Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна, а угол сектора равен Задание 11 Подсказка (5): 9,68 S-? 6π6π О R

1. В треугольнике ABC угол C равен 90 о, AB = 10, AC = 8. Найдите sin A. Ответ. 0,6. Решение 2. Так как катет AC равен 8, а гипотенуза AB равна 10, то cos A = 0,8. Воспользуемся формулой, выражающей косинус через синус острого угла. Откуда sin A = 0,6. Решение 1. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 10. Найдем катет BC. Используя теорему Пифагора, имеем BC =. Следовательно, sin A = 0,6.

2. В треугольнике ABC угол C равен 90 о, высота CH равна 6, AC = 10. Найдите tg A. Ответ. 0,75. Решение. В прямоугольном треугольнике ACH катет CH равен 6, гипотенуза AC равна 10. Используя теорему Пифагора, находим AH = 8. Следовательно, tg A = 0,75.

3. В треугольнике ABC AC = BC = 10, AB = 12. Найдите sin A. Ответ. 0,8. Решение. Проведем высоту CH. В прямоугольном треугольнике ACH гипотенуза AC равна 10, катет AH равен 6. По теореме Пифагора находим CH = 8 и, следовательно, sin A = 0,8.

4. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, высота AH равна 8. Найдите cos A. Ответ. 0,6. Решение. В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза AB равна 10, катет AH равен 8. По теореме Пифагора находим BH = 6 и, следовательно, cos B = 0,6. Так как углы A и B треугольника ABC равны, то cos A = 0,6.

5. В треугольнике ABC AB = BC, высота CH равна 8, AC =. Найдите тангенс угла ACB. Ответ. 0,5. Решение. По теореме Пифагора найдем катет AH прямоугольного треугольника ACH. Имеем AH =. Откуда tg A = 0,5. Так как углы A и C треугольника ABC равны, то тангенс угла ACB равен 0,5.

6. В треугольнике ABC угол C равен 90 о, AB = 10, BC = 6. Найдите синус внешнего угла при вершине A. Ответ. 0,6. Решение. Синус внешнего угла при вершине A треугольника ABC равен синусу угла A и, следовательно, равен 0,6.

7. В треугольнике ABC угол C равен 90 о, tg A = 0,75, AC = 8. Найдите AB. Ответ. 10. Решение. Имеем BC = AC tg A = 8 0,75 = 6. По теореме Пифагора находим AB = 10.

9. В треугольнике ABC AC = BC = 10, sin A = 0,8. Найдите AB. Ответ. 12. Решение. Проведем высоту CH. Имеем CH = AC sin A = 8. По теореме Пифагора находим AH = 6 и, следовательно, AB = 12.

1. Через любые три различные точки плоскости можно провести единственную прямую. 2. Если угол равен 25, то смежный с ним угол равен Через любую точку плоскости можно провести не менее одной прямой

Сформулируйте аксиому о взаимном расположении прямой и точек. Каким свойством обладают смежные углы? Сколько прямых можно провести через точку на плоскости? Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна Сумма смежных углов равна 180° Через точку на плоскости можно провести бесконечно много прямых.

1. Если угол равен 56, то вертикальный с ним угол равен Существует точка плоскости, через которую можно провести бесконечное количество различных прямых. 3. Через любую точку плоскости можно провести не более двух прямых.

Сформулируйте свойство вертикальных углов. Сколько прямых можно провести через точку на плоскости? Вертикальные углы равны Через точку на плоскости можно провести бесконечно много прямых.

1. Через любые две различные точки плоскости можно провести не более одной прямой. 2. Через любые две различные точки плоскости можно провести не менее одной прямой. 3. Если угол равен 54, то вертикальный с ним угол равен 36.

Сформулируйте аксиому о взаимном расположении прямой и точек на плоскости. Сформулируйте свойство вертикальных прямых Вертикальные углы равны. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

62 1. Через любую точку плоскости можно провести прямую. 2. Через любую точку плоскости можно провести единственную прямую. 3. Существует точка плоскости, через которую можно провести прямую.

Сколько прямых можно провести через точку на плоскости? Через точку на плоскости можно провести бесконечно много прямых. Существует ли точка плоскости, через которую нельзя провести прямую? Через любую точку плоскости можно провести прямую.

1. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны. 2. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые перпендикулярны.

Сформулируйте свойство параллельных прямых относительно соответственных углов Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны Сформулируйте свойство параллельных прямых относительно внутренних односторонних углов. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сума внутренних односторонних углов равна 180°

1. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны. 2. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние односторонние углы равны 70, то прямые параллельны. 3. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны 39 и 141, то прямые параллельны.

Сформулируйте признак параллельности двух прямых относительно накрест лежащих углов. Сформулируйте признак параллельности двух прямых относительно внутренних односторонних углов. Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

68 1. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие тр-ки подобны. 2. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен 25, то другой угол равен Если гипотенуза и катет одного прямоугольного тр-ка соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного тр-ка, то тр-ки равны

Сформулируйте признак треугольника по углам Каким свойством обладают острые угла прямоугольного треугольника? Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то треугольники равны

Какие углы в равнобедренном треугольнике равны? Сформулируйте признак подобия треугольников по трем сторонам. Чему равна сумма углов треугольника? В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны. Сумма углов треугольника равна 180 ?

71 1.ВАВС, для которого А=45, В=55, 80, сторона АС – наименьшая. 2. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон треугольника без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. 3. В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол.

Сформулируйте теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Сформулируйте теорему косинусов. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

1. В треугольнике против меньшего угла лежит большая сторона. 2. Центром окружности, описанной около правильного треугольника, является точка пересечения его биссектрис. 3. Кажддая сторона треугольника больше суммы двух других сторон.

Сформулируйте теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона. В какой точке лежит центр окружности, описанной около треугольника? Центр окружности, описанной около треугольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Сформулируйте неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

75 1. Сумма двух противоположных углов параллелограмма равна Если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма его противоположных сторон равна 200, а длина третьей стороны равна 60, то длина оставшейся стороны равна Около любого четырехугольника можно описать окружность.

Сформулируйте свойство углов параллелограмма. Около какой четырехугольника можно описать окружность? В параллелограмме противоположные углы равны. Около четырехугольника можно описать окружность, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны.

1. Около любого квадрата можно описать окружность. 2. Сумма двух противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм – ромб.

Чему равны суммы противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника? Сформулируйте признак ромба с учетом того, что ромб – это параллелограмм. Около какой четырехугольника можно описать окружность? Около четырехугольника можно описать окружность, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны. Суммы противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равны 180 Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм – ромб.

1. Если в четырехугольнике диагонали равны, то этот четырехугольник – прямоугольник. 2. Если в четырехугольник можно вписать окружность, сумма длин двух его противоположных сторон равна 180, а длина третьей стороны равна 70, то длина оставшейся стороны равна Диагонали прямоугольника равны.

Сформулируйте признак прямоугольника. Каким особым свойством обладает прямоугольник? Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник. В какой четырехугольник можно вписать окружность? В четырехугольник, суммы противоположных сторон которого равны, можно вписать окружность. Диагонали прямоугольника равны.

1. В любой ромб можно вписать окружность. 2. Около любой трапеции можно описать окружность. 3. Если сумма двух противоположных углов четырехугольника равна 90, около этого четырехугольника можно описать окружность

В какой четырехугольник можно вписать окружность? В четырехугольник, суммы противоположных сторон которого равны можно вписать окружность.

1. Площадь круга радиуса R равна π R ². 2. Если радиус окружности равен 10, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются. 3. Длина окружности радиуса R равна π R.

По какой формуле можно вычислить площадь круга? При каком условии прямая и окружность пересекаются? По какой формуле можно вычислить длину окружности? S=πR² Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность пересекаются. С=2πRС=2πR С=2πRС=2πR

1. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 6, то эти окружности не имеют общих точек 2. Если радиус окружности равна 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, эти прямая и окружность не имеют общих точек. 3. Через любые три различные точки плоскости, не лежащие на одной прямой, можно провести не более одной окружности

Каково взаимное положение двух окружностей, если расстояние между их центрами больше суммы их радиусов? Можно ли через три точки плоскости провести окружность? Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, то окружности не пересекаются. При каком условии прямая и окружность не пересекаются? Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не пересекаются. Через три точки плоскости можно провести окружность, если центр окружности лежит на биссектрисе угла, вершина которого лежит в одной из данных точек, стороны этого угла проходят через две другие точки, и центр окружности равноудален от данных точек. Значит такая окружность единственная. Через три точки плоскости можно провести окружность, если центр окружности лежит на биссектрисе угла, вершина которого лежит в одной из данных точек, стороны этого угла проходят через две другие точки, и центр окружности равноудален от данных точек. Значит такая окружность единственная.

1. Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы их радиусов, то эти окружности пересекаются. 2. Площадь круга радиуса R равна 2 πR. 3. Длина окружности радиуса R равна 2 πR.

Каково взаимное положение двух окружностей, если расстояние между их центрами меньше суммы их радиусов? Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы их радиусов, то окружности пересекаются. По какой формуле можно вычислить площадь круга? S=πR² По какой формуле можно вычислить длину окружности? С=2πRС=2πR С=2πRС=2πR

1. Площадь круга равна квадрату его радиуса. 2. Площадь круга радиуса R равна 2 πR². 3. Если вписанный угол равен 72, то центральный угол, опирающийся на ту же дугу окружности, равен 144.

Чему равна градусная мера вписанного угла? Чему равна градусная мера центрального угла? По какой формуле можно вычислить площадь круга? S=πR² Градусная мера вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается. Градусная мера центрального угла равна дуге, на которую он опирается.

1. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности не имеют общих точек. 2. Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, то эти окружности пересекаются. 3. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше диаметра окружности, то эти прямая и окружность пересекаются.

Каково взаимное положение двух окружностей, если расстояние между их центрами меньше суммы их радиусов? Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы их радиусов, то окружности пересекаются. При каком условии прямая и окружность пересекаются? Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность пересекаются. Каково взаимное положение двух окружностей, если расстояние между их центрами больше суммы их радиусов? Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, то окружности не пересекаются.

24. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны катеты: АС=6, ВС=8. Найдите медиану СК этого треугольника. Ответ_________ 25. В параллелограмме АВСД точка Е-середина стороны АВ. Известно, что ЕС=ЕД. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник. 26 Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. Ответ_______

24 25

26

A D B C Решение.

25.1. Докажите, что если биссектриса одного из внешних углов треугольника параллельна противоположной стороне треугольника, то этот треугольник равнобедренный. Решение. A C B D M

26.1. Площадь ромба ABCD равна 18. В треугольник ABD вписана окружность, которая касается стороны AB в точке K. Через точку K проведена прямая, параллельная диагонали AC и отсекающая от ромба треугольник площади 1. Найдите синус угла BAC. A B C D K M O

24. Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите KCB, если ABC= В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты CE и AD. Докажите, что ABD ~ CBE. 26. Диагонали четырехугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке M. Известно, что ABC=74, BCD=102, AMD=112. Найдите ACD.

– ФИПИ В презентации использован шаблон презентации с сайта « ГИА Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов» под редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Изд. «Национальное образование», jpg