Дополнительные главы математической физики-3 Линейные уравнения математической физики Николай Николаевич Розанов НИУ ИТМО, 2012

Линейные уравнения математической физики Уравнения или системы уравнений в частных производных. Как минимум, два аргумента. Искомая функция u(x,y) P(x,y) и Q(x,y) – заданные функции. Можно ли задавать их произвольно? Решение системы – в виде контурного (криволинейного) интеграла (*) При условии (*) интеграл не зависит от пути интегрирования (полностью определяется начальной и конечной точками)

Линейные уравнения с частными производными второго порядка (примеры) - волновое уравнение (гиперболическое) - уравнение теплопроводности (параболическое) - уравнение Лапласа (эллиптическое) - уравнение Гельмгольца

Двумерный оператор Лапласа в полярных координатах-1 Замена переменных в дифференциальных выражениях

Двумерный оператор Лапласа в полярных координатах-2

Трехмерный оператор Лапласа В цилиндрических координатах В сферических координатах

Волновое уравнение (одномерное) Начальные условия Замена переменных

Решение Даламбера Связь с начальными значениями Частный случай: Ψ = 0, начальное возмущение (при t = 0) ϕ сосредоточено на интервале от α 1 до α 2 t Характеристики 00 0

Домашнее задание Проанализировать частный случай: ϕ = 0, начальное возмущение (при t = 0) Ψ сосредоточено на интервале от α 1 до α 2

Импульс на границе раздела двух сред Непрерывность на границе раздела х = 0 функции u и ее производной Общее решение при x < 0: Смысл f и g: профили импульсов падающего (задан) и отраженного (ищется) излучения Решение при x > 0 (?) (только импульс преломленного излучения, h – искомая функция) Штрих означает производную по аргументу функции.

Импульс на границе -2 Дифференцируем 1-е уравнение по t Интегрируем по t const = ? Формулы Френеля Случаи,

Двумерное волновое уравнение Цилиндрические волны - круг с центром в точке M(x,y) и радиусом at

Трехмерное волновое уравнение Формула Пуассона Сравнение одномерного, двумерного и трехмерного случаев

Уравнение теплопроводности (диффузии) Одномерное уравнение теплопроводности В общем случае параметр а может быть не только вещественным, но и комплексным (дифракция в квазиоптическом приближении). Волновое уравнение: Уравнение Гельмгольца (знак Re опускается)

Параксиальное приближение (приближение медленно меняющихся амплитуд)

Уравнение теплопроводности – общие свойства Одномерное уравнение теплопроводности Линейность и принцип суперпозиции Симметрия. Если есть решение то решением будет и

Обращение времени? Плосковолновые решения k – вещественная пространственная частота Решение Дисперсионное уравнение Если, то γ < 0 – экспоненциальное убывание при и возрастание при Быстрее всего меняются мелкие неоднородности. Если же - чисто мнимое (квазиоптическое уравнение), то проблемы необратимости нет – симметрия к изменению знака времени при одновременном комплексном сопряжении ур-ния.

Моменты (локализованные структуры) Момент нулевого порядка - «масса» Доказательство ? Момент первого порядка Доказательство (используя интегрирование по частям)? Моменты высших порядков уже не сохраняются. Например,

Автомодельное решение Решение с сохранением формы при меняющихся со временем масштабах Размерность [ ] = ? Безразмерная комбинация: (Четное) автомодельное решение ищем в виде Используем сохранение момента нулевого порядка

Автомодельное решение-2 Подстановка к исходное уравнение dx = ? - ОДУ

Автомодельное решение-3 Четное решение u

Решение уравнения теплопроводности Существенно используется линейность задачи (принцип суперпозиции) и постоянство коэффициентов уравнения. Метод Фурье (разделение переменных). Частное решение ищем в виде

Решение одномерного уравнения теплопроводности Это общее решение уравнения теплопроводности, но еще не обеспечено выполнение начального условия. Должно выполняться

Решение одномерного уравнения теплопроводности-2 По свойствам преобразования Фурье С учетом соотношения окончательно получаем решение в виде

Задача Начальное распределение температуры С какой скоростью распространяется возмущение температуры?

Задание Начальное распределение температуры Вычислить распределение температуры при t > 0.

Уравнение теплопроводности в полярных координатах (1 + 2) Метод Фурье (разделение переменных)

продолжение -цилиндрические функции n-го порядка (в том числе функции Бесселя)

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка p(z) и q(z) – аналитические в области S функции комплексного аргумента z за исключением конечного числа полюсов. Точки области S обыкновенные (в них p(z) и q(z) – аналитические) и особые (полюса) (однородное уравнение)

Асимптотика на бесконечности Характер решения диф. уравнения при больших |z| отвечает таковому при малых Задача: выполнить в (*) замену переменной

Общее (фундаментальное) решение Для уравнения второго порядка – два линейно независимых решения Общее решение Условие линейной независимости: (второе решение не сводится к первому, домноженному на const) Определитель Вронского Формула Лиувилля Доказать формулу Лиувилля

Определение 2-го решения по известному 1-му

Решение в виде степенных рядов -аналитические в точке z = 0 функции c радиусом сходимости R Ищем решение в виде (?) Q – однородный полином 1-й степени от своих аргументов В круге радиуса R ряд (*) сходится (окрестность обыкновенной точки)

Правильные/неправильные точки дифференциального уравнения Точка z = c называется правильной, если в ней аналитичны функции Ряды сходятся в круге с центром в точке с и с таким радиусом, что внутри круга имеется только одна особая точка уравнения

Формальное решение (в окрестности правильной точки) -ищем решение в таком виде, искомые и

Показатели дифференциального уравнения Фундаментальная система решений

Задача Найти показатели в точке 0 и первые члены рядов для решений уравнения Дома: найти все коэффициенты и радиусы сходимости рядов

Если разность показателей – целое число (или 0) Пусть - показатель с большей вещественной частью, Тогда второе решение в виде ряда может потерять смысл или совпасть с первым. В этом случае второе решение можно найти по известному первому (см. выше). Ответ:

Уравнение Бесселя Особая точка: z = 0 Определяющее уравнение: Первое решение Второе решение Линейная независимость при Например, при p = 0 …

Функции Бесселя с целым индексом Радиус сходимости ? Частные случаи: - символ Кронекера Второе решение уравнения Бесселя Общее решение уравнения Бесселя при p = n: - линейно зависимы

Степенной ряд для произвольных индексов Г – гамма-функция (обобщение факториала)

Рекуррентные формулы для функций Бесселя Из степенного ряда

Рекуррентные формулы Формулы справедливы для любых цилиндрических функций В частности

Функции Бесселя с полуцелым индексом Полученные ранее решения линейно независимы:

продолжение Привлекаем рекуррентные соотношения … - элементарные функции

Пары решений уравнения Бесселя

При малых аргументах При больших аргументах

Функции Бесселя с целым индексом Бесконечное число нулей (вещественных, неотрицательных и простых, за исключением x = 0 при n > 0) Чередование максимумов и нулей функций. У этих функций нет общих нулей. Наименьший положительный корень ближе к 0, чем у

Ортогональность функций Бесселя Пусть - корни уравнения Тогда

Доказательство

Окончание Предел в (*)

Разложение функций в ряд Из условий ортогональности (см. предыдущий слайд). Можно доказать, что система базисных функций является полной.

Двумерное волновое уравнение (полярные координаты) Задача для внутренней области круга радиуса R: - волновое число Случай нулевого граничного условия: - бесконечное число положительных корней Частные решения: Разделение переменных (метод Фурье)

продолжение Общее решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям: Начальные условия

Продолжение. Разложение по Ряды Фурье Аналогично для (2)

Окончание. Разложение по Используем ортогональность функций Бесселя

Задание Аналогично решить задачу для двумерного уравнения теплопроводности в полярных координатах

-функция (Дирака) Обобщенная функция. Определение (область интегрирования включает точку а) Свойства Трехмерная -функция Производные от -функции Точечный источник

-функция (окончание) Родственные функции V.P. – главное значение интеграла

Метод Фурье на конечном интервале (1D)

Разделение переменных Граничные условия при x = 0, x = l:

Начальные условия Использовано выражение для коэффициентов разложения в ряд Фурье

Вынужденные колебания

Разделение переменных

Задачи