{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан. - презентация

1 { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка - общее решение линейного однородного дифференциального уравнения - формула Остроградского – Лиувилля - теорема о понижении порядка - структура решения линейного неоднородного дифференциального уравнения - метод Лагранжа вариации произвольных постоянных – пример }

2 Линейное дифференциальное уравнение n - го порядка имеет вид y (n) +p 1 (x)y (n-1) +….+ p n-1 (x)y+p n (x)y = f(x), где y – искомая функция, а p k (x) и f(x) – заданные функции, определенные и непрерывные на некотором отрезке [a,b]. Частное решение получается при закреплении постоянных C 1, C 2, …,C n, получаемое с использованием начальных условий. При уравнение называется неоднородным, при f(x) = 0 – однородным. Общим решением уравнения является функция y = (x, C 1, C 2, ……, C n ), зависящая от n произвольных постоянных и обращающая данное уравнение в тождество при любых значениях этих постоянных.

3 Если функция f - правая часть дифференциального уравнения y (n) = f(x,y,y,…,y (n-1) ) является непрерывной в некоторой замкнутой (n+1) - мерной области D пространства: oxyy,…,y (n-1) и имеет в этой области ограниченные частные производные по каждому из аргументов функции f, то каждой внутренней точке P 0 (x 0,y 0,y 0,….,y 0 (n-1) ) области D соответствует, и притом единственное, решение y = (x), удовлетворяющее заданным начальным условиям y = y 0, y = y 0, ….., y (n-1) 0 при x = x 0 т.е. (n ) (x)= f(x, (x), (x), ….., (n-1) (x) ) ; (x 0 ) = y 0, ……., (n-1) (x 0 ) = y (n-1) 0

4 Однородное линейное уравнение допускает нулевое решение. Это (тривиальное) решение соответствует нулевым начальным условиям. Введем линейный дифференциальный оператор Дифференциальные уравнения запишутся как или. Если y 1 (x) является решением неоднородного уравнения, то Оператор L обладает свойствами линейности и линейной комбинации Тривиальное решение однородного уравнения:

5 Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму двух функций и если известны частные решения уравнений с каждым из слагаемых в правой части, то сумма этих частных решений есть частное решение исходного дифференциального уравнения Теорема - о частных решениях однородного линейного уравнения Любая линейная комбинация частных решений линейного однородного дифференциального уравнения также является частным решением этого уравнения Доказательство Теорема - о частных решениях неоднородного линейного уравнения Доказательство

6 Теорема - о связи частных решений неоднородного и однородного линейных уравнений Доказательство Разность любых двух частных решений неоднородного линейного дифференциального уравнения есть частное решение соответствующего (с той же левой частью) однородного линейного уравнения

7 Понятие линейной независимости частных решений рассмотрим на примере однородного дифференциального уравнения второго порядка Две функции y 1 и y 2 и называются линейно независимыми на некотором интервале, если их линейная комбинация не обращается в ноль ни каких значениях коэффициентов (не обращающихся одновременно в ноль), т.е. если В противном случае функции называются линейно зависимыми. Две функции y 1 и y 2 и называются линейно независимыми на некотором интервале, если их отношение на этом интервале не является постоянным В противном случае функции называются линейно зависимыми.

8 @ Решить дифференциальное уравнение второго порядка: Решение

9 Две функции y 1 и y 2 и являются линейно независимыми на некотором интервале, если их вронскиан на этом интервале нигде не обращается в ноль т.е. если: В противном случае функции называются линейно зависимыми. Определителем Вронского называется функциональный определитель

10 то общее решение однородного линейного уравнения есть комбинация линейно независимых частных решений Для линейного однородного дифференциального уравнения n- го порядка вронскиан запишется в виде Если

11 @ Решить ЛОДУ 2 с заданными начальными условиями : Решение

12 Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых частных решения y 1 и y 2. Если известно одно из частных решений – y 1, то второе можно найти по формуле Остроградского - Лиувилля

13 @ Решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка : Решение