Конференция по теме Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой.

Выпуклые и невыпуклые многоугольники Многоугольник- это фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону. На рисунке 1 многоугольник F1 выпуклый, а многоугольник F2 невыпуклый. Многоугольник называется невыпуклым, если прямая, содержащая сторону многоугольника разбивает его на две части. Все треугольники выпуклы, а многоугольники с большим числом сторон могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми.

Правильные многоугольники На рисунке 1 представлены правильный треугольник, шестиугольник и четырех угольник.

Великий математик, механик и инженер древности Архимед (греч. Αρχιμήδης, родился 287 до н. э до н. э.)греч.287 до н. э.212 до н. э. Периметр (сумма длин сторон) правильного n-угольника при заданном числе сторон n наиболее близок к длине его описанной окружности среди всех вписанных в нее n-угольников; таким же свойством он обладает и по отношению к вписанной окружности. Поскольку вычисление длины окружности считалось в древности весьма важной задачей, много усилий было затрачено на то, чтобы научиться оценивать периметр вписанной в нее правильного многоугольника при достаточно больших n. Особенно преуспел в этом Архимед.Архимед

Евклид ( родился в 330 году до н. э. в небольшом городке Тире, недалеко от Афин). Впрочем, правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных задолго до Архимеда. Пифагорейцы, в философии которых числа играли главную роль, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, т. е. о построении правильного вписанного многоугольника. В "Началах" Евклида приводятся построения с помощью циркуля и линейки правильных многоугольников с числом сторон от трёх до шести, а также пятнадцати угольника. Этим последним особенно интересовались: согласно измерениям древних астрономов, угол наклона плоскости эклиптики к экватору равнялся 1/5 полного угла, т.е. 24°(истинное значение чуть меньше -23°27'). Задача о построение правильных многоугольников была полностью решена лишь спустя два тысячелетия. Евклида

Построение правильного многоугольника по его стороне (с использованием поворота) Правильным называют многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Предварительно необходимо вычислить внутренний угол правильного многоугольника. Из школьного курса геометрии вам известно (или будет известно немного позже), что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180 o (n - 2). Исходя из этой теоремы, несложно вычислить величину внутреннего угла правильного многоугольника. В таблице ниже приведены значения сумм углов и внутренних углов для некоторых правильных многоугольников. Зная величину внутреннего угла правильного многоугольника, построить сам многоугольник не составит труда. 1. Построим две точки - две соседние вершины многоугольника. 2. Одну из точек отметим как центр поворота, выделим вторую точку и повернём её на внутренний угол. В результате будет построена третья вершина многоугольника. 3. Только что построенную точку отметим в качестве центра поворота и повернём на внутренний угол соседнюю вершину (бывший центр). Будет построена четвёртая вершина. 4. Третий шаг будем повторять до тех пор, пока не будут построены все вершины многоугольника. 5. Последовательно соединить вершины многоугольника отрезками.

Любой ли правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки ? Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник. Опишем около данного многоугольника А1, А2… Аn окружность. Для этого построим серединные перпендикуляры a и b к отрезкам А1 А2 и А2 А3 ( на рисунке n= 4). Они пересекаются в некоторой точке О. Окружность с центром О радиуса ОА1 является описанной около многоугольника А1 А2…Аn. Построим теперь середины B1, B2, …, Bn соответственно дуг А1 А2, А2А3,…, Аn А1 следующим образом. Точки B1 и B2 получаются как точки пересечения прямых а и b с дугами А1 А2 и А2 А3. Для построения точки B3 проведём окружность с центром А3 радиуса А3 B2. Одна из точек пересечения этой окружности с описанной окружностью есть точка B2, а другая - искомая точка B3. Аналогично строятся точки B4,…, Bn. Соединив каждую из точек B1,B2,…, Bn отрезками с концами соответствующей дуги, получим 2n-угольник А1В1А2В2А3… Аn Bn, который является правильным в силу теоремы о вписанном в окружность многоугольнике На рисунке по данному правильному четырёхугольнику А1А2А3А4 построен правильный восьмиугольник А1В1А2…В4. Итак, если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n - данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, (2^k*n)-угольник, где k - любое натуральное число.

Задача 2. Построение правильного четырехугольника и восьмиугольника. Пусть w-данная окружность с центром в точки О и радиусом R. Через точку О проведем диаметр АС и к этому диаметру проведем серединный перпендикуляр, который пересечет окружность w в двух точках В и D.Теперь последовательно соединим точки A,B,C и D. ABCD-искомый квадрат. Для того, чтобы построить правильный восьмиугольник нужно сначала построить правильный четырехугольник, например, А1А3А5А7-квадрат, потом построить биссектрисы углов А1OА3, А3OА5, А5OА7, А7OА1, которые прересекут окружность в точках А2, А4, А6, А8 соответственно, затем последовательно соединить точки А1,А2,А3,А4,А5,А6,А7,А8. А1А2...А8-искомый восьмиугольник.

Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Задача 1. Построение правильного шестиугольника и треугольника. Согласно формуле an= 2R*sin180°/n сторона АВ правильного шестиугольника равна радиусу R описанной окружности. Поэтому, если задан произвольный отрезок PQ, то для построения правильного шестиугольника, стороны которого равны PQ, достаточно построить окружность радиуса PQ, взять на ней произвольную точку А и, не меняя раствора циркуля, отметить на этой окружности последовательно точки B, C, D, E, F так, чтобы AB=BC=…=EF=PQ. Проведя затем отрезки AB, BC, CD, DE, EF, FA, получим шестиугольник ABCDEF, который согласно теореме о правильном многоугольнике является правильным, причем его стороны равны отрезку PQ. Для того, чтобы построить правильный треугольник нужно соединить точки данного шестиугольника через одну, значит соединим точки A,C и E. Треугольник ACE- искомый.

Задача 4. Построение правильного десятиугольника и пятиугольника. Пусть w- данная окружность радиуса R c центром О. Построим сначала правильный десятиугольник, вписанный в окружность w. Для этого проведем взаимно перпендикулярные радиусы ОА1 и ОВ окружности w и на отрезке ОВ как на диаметре построим окружность с центром С. Отрезок А1С пересекает эту окружность в некоторой точке D. Докажем, что отрезок А1D равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность w. В самом деле, А1D=А1С-R/2, А1С = А1О + ОС = R + ( R /2) = 5 R /4 = R 5/2 А1D= R 5/2 – R/2 = R /2 ( 5-1) Далее отметим на окружности w точки А2, А3, …, А10 так, что А1А2= А2А3=… =А9А10 = А1D. Десятиугольник А1А2…А10- искомый. Для того, чтобы построить правильный пятиугольник нужно соединить точки данного десятиугольника через одну, значит соединим точки А1,А3,А5,А7,А9. Пятиугольник А1А3А5А7А9- искомый.