Уравнение эйконала для неоднородной и анизотропной среды А.В.Боровских Четвёртая международная конференция «Математическая физика и её приложения» Самара, 26 августа 2014 г.

Уравнение эйконала Уравнение фронта:

Лучи

Метрика

Изотропное 3-мерное уравнение эйконала Уравнения с 15-мерной группой симметрий:

Уравнения с 4-мерной группой симметрий

Уравнения с 6-мерной группой симметрий Уравнения с 5-мерной группой симметрий Уравнения с 2-мерной группой симметрий 1-мерная группа симметрий (сдвиг ψ) – все уравнения

Интегрирование уравнений эйконала Фронт волны точечного источника: ψ -1 (0)=(x *,y *,z * ) полный интеграл Лагранжа

Уравнения с 15-мерной группой симметрий Фронт волны точечного источника: Лучи – дуги окружностей, опирающихся на плоскость x=0.

Фронт волны точечного источника: Лучи – окружности, соединяющие источник с инверсной точкой

– это метрики римановых пространств постоянной кривизны Причины такой эффектной формы фронтов и лучей – в том, что соответствующие метрики

Уравнения с 4-мерной группой симметрий

«10» – соответствуют пространствам постоянной кривизны; «3» – (и эквивалентные им); «2» – (и эквивалентные им); «1» – все остальные Группы симметрий двумерного уравнения эйконала

Именно к ним редуцируются трехмерные уравнения с 6-мерной группой симметрий! Интегрирование двумерного уравнения

Фронты и лучи для 2-мерного уравнения Эффект локализации фронта в полосе для экспоненциально растущих функций V(α)

Проблема однородности среды Вопрос: почему некоторые физически неоднородные среды похожи на однородные и как связаны постоянство кривизны риманова пространства и однородность физической среды?

Под физической однородностью среды относительно того или иного физического процесса следует понимать наличие такой группы симметрий у уравнений, описывающих этот процесс, которая осуществляла бы преобразование любой точки пространства в любую другую (транзитивность группы) и любого направления – в любое другое.

Пример шестимерной группы движений в римановом пространстве постоянной кривизны

Принцип относительности 1. Каждый класс физических законов имеет свой набор систем отсчета, в которых эти законы действуют одинаково. 1. Каждый класс физических законов имеет свой набор систем отсчета, в которых эти законы действуют одинаково. 2. Одинаковость математически выражается в инвариантности общего вида уравнений, описывающих эти физические законы, относительно соответствующих преобразований систем координат. 2. Одинаковость математически выражается в инвариантности общего вида уравнений, описывающих эти физические законы, относительно соответствующих преобразований систем координат.

3. Если замены переменных, осуществляющие переход от одной системы координат к другой, образуют группу, то эта группа определяет (в соответствии с классификацией геометрий Ф.Клейна) геометрию, ассоциированную с данным классом физических законов. 3. Если замены переменных, осуществляющие переход от одной системы координат к другой, образуют группу, то эта группа определяет (в соответствии с классификацией геометрий Ф.Клейна) геометрию, ассоциированную с данным классом физических законов. 4. Инварианты этой группы (величины, остающиеся неизменными при преобразованиях), определяют внутренние характеристики соответствующих физических законов и являются базой для классификации этих законов и установления их иерархии друг относительно друга (например, классификации сред на однородные, слоистые, изотропные и т.п.). 4. Инварианты этой группы (величины, остающиеся неизменными при преобразованиях), определяют внутренние характеристики соответствующих физических законов и являются базой для классификации этих законов и установления их иерархии друг относительно друга (например, классификации сред на однородные, слоистые, изотропные и т.п.).

Группы и интегрируемость Чем объясняется возможность редуцировать определенные типы слоений к уравнению меньшей размерности? Где в свойствах слоистой среды «спрятано» двумерное риманово пространство постоянной кривизны? Группы и интегрируемость Чем объясняется возможность редуцировать определенные типы слоений к уравнению меньшей размерности? Где в свойствах слоистой среды «спрятано» двумерное риманово пространство постоянной кривизны?

– метрика риманова пространства постоянной кривизны тогда и только тогда, когда V(α) являются функциями все из того же списка (и, кстати, функции G(α) – тоже из того же списка)! – метрика риманова пространства постоянной кривизны тогда и только тогда, когда V(α) являются функциями все из того же списка (и, кстати, функции G(α) – тоже из того же списка)!

Причиной является специальная конструкция метрики пространства лучей. А именно, пусть у нас есть два пространства

Метрику риманова пространства модельная форма сочлененной метрики назовем сочленением римановых метрик с помощью функции функция сочленения. основная присоединенная часть сочлененной метрики

где – решение модельного уравнения для фронта волны точечного источника с координатами а – решение присоединенного уравнения для фронта волны точечного источника, находящегося в точке. Лемма. Решение уравнения эйконала описывающее фронт волны точечного источника (т.е. ), представимо в форме

Анизотропный эйконал Определение. Уравнением эйконала для полу однородной среды назовём уравнение, которому соответствует положительно определенная сочленённая метрика, для которой модельная метрика является метрикой риманова пространства постоянной кривизны. Ведущей кривизной соответствующей метрики мы будем называть кривизну пространства с модельной метрикой.

Группы симметрий Теорема. Алгебра Ли группы симметрий анизотропного уравнения эйконала является суммой четырех подалгебр: Одномерной алгебры сдвигов переменной ψ; Одномерной алгебры сдвигов переменной ψ; Алгебры Ли группы однородности размерности: Алгебры Ли группы однородности размерности: 2n+2, если метрика – постоянной кривизны, 2n+2, если метрика – постоянной кривизны, 2m, полу однородная среды размерности mn-2; 2m, полу однородная среды размерности mn-2; Алгебры Ли группы движений соответствующего риманова пространства размерности: Алгебры Ли группы движений соответствующего риманова пространства размерности: n(n+1)/2 для пространства постоянной кривизны n(n+1)/2 для пространства постоянной кривизны m(m-1)/2 + алгебра движений присоединенного пространства для полу однородной среды размерности mn-2 (есть исключения); m(m-1)/2 + алгебра движений присоединенного пространства для полу однородной среды размерности mn-2 (есть исключения); Возможной одномерной алгебры растяжений. Возможной одномерной алгебры растяжений.

Иллюзия движущегося источника Скорость движения центра сферы прямо пропорционально радиусу (расстоянию до этого центра) Насколько общим является этот эффект?

Теорема. Пусть v: R 2 R 1 – произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция на плоскости, v – ее градиент, D 2 v – матрица ее вторых производных. Пусть (x,y) – некоторая точка плоскости, Γ – проходящая через эту точку вполне регулярная в окрестности этой точки кривая (фронт), τ и ν – нормальный и касательный к кривой Γ в точке (x,y) единичные векторы, R – радиус кривизны кривой Γ в этой точке. Тогда для точки (x,y) скорость движения r˙ * центра кривизны r * при сдвиге Γ вдоль лучей определяется формулой

Общее уравнение с частными производными первого порядка

Публикации 1. Боровских А.В. Уравнение эйконала в неоднородной среде // Доклады РАН Т. 391, N 5. С Боровских А.В. Групповая классификация уравнений эйконала для трехмерной неоднородной среды // Матем. сборник Т. 195, N 4. С Боровских А.В. Иллюзия движущегося источника в геометрической оптике неоднородных сред // Дифференц. уравнения Т. 40. N 7. С Боровских А.В. Группы эквивалентности уравнений эйконала и классы эквивалентных уравнений // Вестник НГУ N 4. С

Публикации 5. Боровских А.В. Двумерное уравнение эйконала // Сибирский мат. журнал Т. 47, N 5. С Боровских А.В. Интегрируемость уравнения эйконала и каскадные формы римановых метрик // Черноземный альманах научных исследований. Вып. 1(8). Воронеж, С Боровских А.В. Уравнения эйконала для неоднородной и анизотропной среды // Соврем. математика и ее приложения Т 64. Уравнения математической физики. С Боровских А.В. Уравнение эйконала для анизотропной среды // Труды семинара им. И.Г.Петровского. вып С

Спасибо за внимание!

Конструкция алгебр симметрий Двумерное уравнение 10=6 (однородность)+3(движения)+1(сдвиг ψ) 3=1(движения)+1(гомотетии)+1(сдвиг ψ) 2=1(движения)+1(сдвиг ψ) 2=1(гомотетии)+1(сдвиг ψ) Трехмерное уравнение 15=8(однородность)+6(движения)+1(сдвиг ψ) 6=2(однородность)+3(движения) +1(сдвиг ψ) 5=1(гомотетия)+3(движения)+1(сдвиг ψ) 4=3(движения)+1(сдвиг ψ) 2=1(движения)+1(сдвиг ψ) 2=1(гомотетия)+1(сдвиг ψ)

Преобразование алгебры симметрий при редукции Одн. 10=6(о)+3(д)+1(ψ) 15=8(о)+6(д)+1(ψ) 6=2(о)+3(д)+1(ψ) Степ. 3=1(г)+1(д)+1(ψ) 5=1(г)+3(д)+1(ψ) 4=3(д)+1(ψ) Ост. 2=1(д)+1(ψ) 4=3(д)+1(ψ)