Периодические граничные условия. Решетка Бравэ. Задача Шредингера. Оператор трансляций. Спектральный анализ Конечные кластеры и трансляционная инвариантность

Периодические граничные условия В большинстве случаев рассматриваемые конечные системы, кластеры, выбираются с периодическими граничными условиями для того, чтобы все узлы системы были эквивалентными Для конкретных случаев может быть выбрана и другая, необязательно периодическая, геометрия кластера (периодическая геометрия кластера называется также геометрией тора). Используют также анти периодические граничные условия, свободные, или нулевые, граничные условия и другие варианты геометрии кластеров 2

Решетка Бравэ Понизить размерность фоковского базиса системы можно, если учесть симметрию кластера Вектор трансляции на пространственной периодической структуре: Периодическая структура с определенным на ней вектором трансляции называется решеткой Бравэ Векторы трансляции полностью определяют пространственную решетку Бравэ Оператор трансляции: Свойство оператора трансляции: 3

Задача Шредингера Задача Шредингера на периодической решетке: Оператор трансляции коммутирует с гамильтонианом: Существует общая система собственных функций для гамильтониана и оператора трансляций: В общем случае для каждого базисного вектора решетки: Для вектора трансляции имеем: Вектор k определен с точностью до вектора g : Множество таких векторов можно представить в виде разложения 4

Задача Шредингера Векторы b называются базисными векторами обратной решетки и обычно выбираются в виде: Для простой кубической решетки: Базисные вектора обратной решетки ортогональны базисным векторам прямой решетки: Оператор трансляций может быть записан в виде: Оператор трансляции унитарен: 5

Задача Шредингера Собственную волновую функцию гамильтониана в условиях периодического потенциала можно представить как произведение экспоненциального множителя на периодическую функцию (теорема Блоха): Граничные условия Борна – Кармана: Разрешенные значения блоховского волнового вектора k действительны: Для простой кубической решетки: Решение задачи Шредингера, которое удовлетворяет трансляционной инвариантности, следует искать в виде блоховской волновой функции, при этом вектор k является одним из разрешенных векторов обратной решетки 6

Пример. Одномерная цепочка Одномерная цепочка из четырех узлов с тремя частицами, описываемая моделью Бозе – Хаббарда. Узельный базис состоит из 20 функций: Сортировка базисных функций на классы; в каждом классе удельные функции порождаются производящей функцией: Имеем пять классов по четыре функции: 7

Базис оператора трансляций Собственные функции оператора трансляций могут быть записаны в виде комбинаций периодической функции и экспоненциального множителя: Коэффициенты определяются из условия ортонормированности: Новый базис представляет собой блочную структуру, пронумерованную по разрешенным векторам обратной решетки (или секторам импульса). Гамильтонова матрица в новом базисе будет блочно-диагональной: 8

Базис оператора трансляций Матричные элементы внутри блока, отвечающего сектору m : С учетом трансляционной симметрии гамильтониана и удельных функций: Матричные элементы от диагональной части гамильтониана: Все матричные элементы недиагональной части гамильтониана внутри блока в общем случае являются ненулевыми, в том числе и элементы на главной диагонали: 9

Спектральный анализ Разбиение гамильтоновой матрицы по трансляциям позволяет получить дополнительную информацию о системе – численный спектральный анализ Модель Бозе – Хаббарда для системы из 4 узлов и 3 частиц: Сортировка собственных состояний по секторам импульса позволяет проанализировать спектр одночастичных и многочастичных возбуждений 1 – суперпозиция однофононных состояний с импульсом ±k 0 ; 2 – суперпозиция двухфононных состояний {k 0, k 0 } и {–k 0, –k 0 } ; 3 – двухфотонное состояние {k 0, –k 0 } ; 4 – суперпозиция сверх токовых состояний 10