Государственная итоговая аттестация (ГИА) в 9- ом классе не только осуществляют контроль за качеством обучения школьников, полученными ими знаниями, выработанными умениями и навыками, сформированными компетенциями. Содержание и форма проведения этих экзаменов задают ориентиры всего математического образования, влияют на отбор содержания, выбор форм и методов обучения. Поэтому так важно, чтобы содержание ГИА соответствовало целям и задачам математического образования школьников.

Сейчас общепризнано, что нужно усиливать роль геометрии в ГИА по математике. Для этого нужно, чтобы геометрических задач в ГИА не было слишком мало. Иначе необходимое количество баллов можно будет набрать только за счет алгебраических задач и к решению геометрических задач можно будет вообще не готовиться. Геометрические задачи базового уровня не должны быть слишком трудными. Трудные задачи могут отпугнуть учащихся. Тем более, что сегодняшний уровень геометрической подготовки учащихся не очень высокий. Геометрические задачи должны быть тематические. Каждая геометрическая задача должна быть посвящена одной конкретной теме, как это делается для алгебраических задач, а не охватывает сразу много тем.

Особенности геометрических задач, отбираемых для включения в ГИА по математике. Повышение роли наглядности. К каждой задаче предполагается давать рисунок, позволяющий лучше понять условие, представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, при необходимости провести дополнительные построения и вычисления. Повышение роли конструктивных умений учащихся. Включение задач, в которых требуется не только выполнить вычисления, но и провести построения (изображения) искомых геометрических фигур. Повышение роли геометрических задач с практической направленностью. Нахождение расстояний до недоступных объектов, величин углов, объемов и площадей поверхностей реальных предметов и др.

Традиционно геометрические задачи подразделяются на: - задачи на вычисление (углов, длин, площадей); - задачи на доказательство; - задачи на построение. Каждый из этих типов задач выполняет важную функцию и способствует достижению результатов обучения. В ГИА должны быть, в той или иной мере, представлены геометрические задачи всех этих типов.

В базовую часть ГИА 2012 года предполагается включить следующие группы геометрических задач 1. Задачи на нахождения градусной величины угла, решение которых использует теоремы о сумме углов треугольника, внешнем угле треугольника, об угле, вписанном в окружность. 2. Задачи на нахождение длины отрезка и расстояния между точками, решение которых использует теорему Пифагора, подобие треугольников, тригонометрические функции углов. 3. Задачи на нахождение площади фигуры, решение которых использует формулы площади треугольника, параллелограмма, трапеции. 4. Задачи на нахождение координат точек и векторов на координатной плоскости 5. Задачи на доказательство с непосредственным использованием признаков равенства треугольников. 6. Задачи нахождение геометрических мест точек и изображение геометрических фигур на плоскости.

Во вторую часть ГИА 2012 года предполагается включить две геометрические задачи. 1. Задача на доказательство. 2. Задача повышенного уровня трудности.

Ответ. 61 о. 1. Один острый угол прямоугольного треугольника равен 29 о. Найдите другой острый угол. Углы

2. В треугольнике ABC угол A равен 40 o. Внешний угол при вершине B равен 68 o. Найдите угол C. Ответ. 28 о.

3. В треугольнике ABC угол A равен 38 o, AС = BC. Найдите угол C. Ответ. 104 о.

4. В треугольнике ABC AС = BC, угол C равен 50 o. Найдите внешний угол CBD. Ответ. 115 о. Решение. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны и сумма углов треугольника равна 180 о, то углы A и B треугольника ABC равны 65 о. Следовательно, угол CBD равен 115 о.

5. В треугольнике ABC AB = BC. Внешний угол при вершине B равен 138 o. Найдите угол С. Ответ. 69 о. Решение. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны и сумма углов треугольника равна 138 о, то угол C треугольника ABC равен 69 о.

6. В треугольнике АВС AD – биссектриса, угол C равен 50 o, угол CAD равен 30 o. Найдите угол B. Ответ. 70 о.

7. В треугольнике АВС CD – медиана, угол C равен 90 o, угол B равен 60 o. Найдите угол ACD. Ответ. 30 о.

8. В треугольнике АВС угол А равен 48 o, угол C равен 56 o. На продолжении стороны АB отложен отрезок BD = ВС. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ. 38 о.

9. Сумма двух углов параллелограмма равна 100 о. Найдите один из оставшихся углов. Ответ. 130 о.

10. Один угол параллелограмма больше другого на 70 о. Найдите больший угол. Ответ. 125 о.

11. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 26 о и 34 о. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ. 120 о.

Ответ Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии от дома оказался мальчик? Длины

2. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка 3 км/ч. Какое расстояние (в км) будет между ними через 30 мин? Ответ. 2,5.

3. Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч? Ответ. 50.

4. Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние в метрах между пунктами A и B, расположенными на разных берегах озера. Ответ. 500.

5. Какой длины должна быть лестница, чтобы она достала до окна дома на высоте 8 метров, если ее нижний конец отстоит от дома на 6 м? Ответ. 10.

6. В 12 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 11 м, а другой 6 м. Найдите расстояние между их верхушками. Ответ. 13.

7. Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние AB от лодки A до берега b. Ответ. 100.

8. Используя данные, приведенные на рисунке, найдите высоту мачты AB. Ответ. 5.

9. Используя данные, приведенные на рисунке, найдите ширину AB реки. Ответ. 10.

10. Используя данные, приведенные на рисунке, найдите ширину AB озера. Ответ. 30.

11. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна двум шагам. На какой высоте расположен фонарь? Ответ. 17.

12. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 8,5 м. Найдите длину тени человека в метрах. Ответ. 3.

13. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо – 4 м. На какую высоту поднимается конец длинного плеча, когда конец короткого плеча опускается на 0,5 м. Ответ. 2.

14. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо – 3 м. На какую высоту опускается конец короткого плеча, когда конец длинного плеча поднимается на 1,5 м. Ответ дайте в метрах. Ответ. 0,5.

1. На координатной плоскости нарисуйте треугольник, вершины которого имеют координаты (-1, 0), (3, 0), (3, 3). Найдите его площадь. Ответ. 6. Площади

2. На координатной плоскости нарисуйте треугольник, вершины которого имеют координаты (0, -2), (3, 3), (0, 3). Найдите его площадь. Ответ. 7,5.

3. На координатной плоскости нарисуйте треугольник, вершины которого имеют координаты (-1, 0), (3, 0), (1, 4). Найдите его площадь. Ответ. 8.

4. На координатной плоскости нарисуйте треугольник, вершины которого имеют координаты (0, -2), (4, 0), (0, 3). Найдите его площадь. Ответ. 10.

5. На координатной плоскости нарисуйте треугольник, вершины которого имеют координаты (2, -2), (2, 2), (-2, 2). Найдите его площадь. Ответ. 8.

6. На координатной плоскости нарисуйте треугольник, вершины которого имеют координаты (3, 0), (0, 2), (-3, -1). Найдите его площадь. Ответ. 7,5.

7. На координатной плоскости нарисуйте четырехугольник, вершины которого имеют координаты (0, 0), (3, 0), (3, 3), (0, 3). Найдите его площадь. Ответ. 9.

8. На координатной плоскости нарисуйте четырехугольник, вершины которого имеют координаты (4, 1), (4, 3), (1, 3), (1, 1). Найдите его площадь. Ответ. 6.

9. На координатной плоскости нарисуйте четырехугольник, вершины которого имеют координаты (3, 0), (0, 2), (-3, 0), (0, -2). Найдите его площадь. Ответ. 12.

10. На координатной плоскости нарисуйте четырехугольник, вершины которого имеют координаты (0, 0), (2, 0), (3, 3), (1, 3). Найдите его площадь. Ответ. 6.

11. На координатной плоскости нарисуйте четырехугольник, вершины которого имеют координаты (3, -1), (3, 2), (-1, 4), (-1, 1). Найдите его площадь. Ответ. 16.

12. На координатной плоскости нарисуйте четырехугольник, вершины которого имеют координаты (0, 0), (3, 1), (4, 4), (1, 3). Найдите его площадь. Ответ. 8.

13. На координатной плоскости нарисуйте четырехугольник, вершины которого имеют координаты (4, 1), (2, 3), (-1, 1), (1, -1). Найдите его площадь. Ответ. 10.

14. На координатной плоскости нарисуйте четырехугольник, вершины которого имеют координаты (0, 0), (4, 0), (3, 2), (1, 3). Найдите его площадь. Ответ. 7,5.

1. Прямая a проходит через точки с координатами (0, 4) и (6, 0). Прямая b проходит через точку с координатами (0, 8) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox. Ответ. 12. Координаты

2. Найдите координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями 3x + 2y = 6 и y = x. Ответ. (1,2, 1,2).

3. Точки O(0, 0), B(6, 2), C(0, 6) и A являются вершинами параллелограмма. Найдите координаты точки A. Ответ. (6, 8).

4. Точки O(0, 0), A(6, 8), B(6, 2), C(0, 6) являются вершинами четырехугольника. Найдите координаты точки P пересечения его диагоналей. Ответ. (3, 4).

5. Точки O(0, 0), A(10, 8), C(2, 6) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите координаты точки B. Ответ. (4, 1).

6. Найдите координаты точки, симметричной точке A(4, 3) относительно начала координат. Ответ. (-4, -3).

7. Найдите координаты точки, симметричной точке A(4, 3) относительно оси Ox. Ответ. (4, -3).

8. Найдите координаты точки, симметричной точке A(4, 3) относительно прямой, заданной уравнением y = x. Ответ. (3, 4).

9. Найдите координаты точки, полученной поворотом точки A(4, 3) вокруг начала координат на угол 90 против часовой стрелки. Ответ. (-3, 4).

10. Найдите координаты центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (-2, -2), (6, -2), (6, 4), (-2, 4). Ответ. (2, 1).

11. Найдите координаты центра окружности, описанной около треугольника A 1 A 2 A 3, A 1 (2, 2), A 2 (8, 2), A 3 (8, 6). Ответ. (5, 4).

12. Точки A и B имеют координаты (2, 4) и (8, 6) соответственно. Найдите координаты вектора. Ответ. (6, 2).

1. Укажите номера верных утверждений 1. Через любые две точки проходит не более одной прямой. 2. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны, то эти две прямые параллельны. 3. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме Если угол равен 30 о, то смежный с ним угол равен 150 о. Ответ. 1, 4. Утверждения

2. Укажите номера верных утверждений 1. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно биссектрисой и высотой. 3. Каждая сторона треугольника больше суммы двух других сторон. 4. В треугольнике против большего угла лежит меньшая сторона. Ответ. 2.

3. Укажите номера верных утверждений 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника меньше 180 о. 2. Если один из углов равнобедренного треугольника равен 100 о, то один из оставшихся углов равен 40 о. 3. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним. 4. В треугольнике ABC, для которого A = 40 o, B = 50 o, C = 90 o, сторона AC – наименьшая. Ответ. 1, 2, 3.

4. Укажите номера верных утверждений 1. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то эти прямая и окружность пересекаются. 2. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности. 3. Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит не менее одной окружности. 4. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются. Ответ. 3.

5. Укажите номера верных утверждений 1. Вписанный угол измеряется величиной дуги окружности, на которую он опирается. 2. Центральный угол измеряется половиной дуги окружности, на которую он опирается. 3. Если вписанный угол равен 30 о, то центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен 60 о. 4. Если дуга окружности составляет 80 о, то центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен 80 о. Ответ. 3, 4.

6. Укажите номера верных утверждений 1. Сумма углов выпуклого четырехугольника не превосходит 360 о. 2. Сумма двух противоположных углов параллелограмма равна Средняя линия трапеции параллельна основаниям и меньше их суммы. 4. Если одна диагональ параллелограмма равна 5, то другая его диагональ равна 5. Ответ. 1, 3.

7. Укажите номера верных утверждений 1. Если все стороны четырехугольника равны и один из его углов равен 90 о, то этот четырехугольник – квадрат. 2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырехугольник является ромбом. 3. Если сумма двух углов выпуклого четырехугольника равна 100 о, то сумма двух оставшихся углов равна 80 о. 4. Если основания трапеции равны 6 и 8, то средняя линия этой трапеции равна 14. Ответ. 1.

8. Укажите номера верных утверждений 1. Около всякого треугольника можно описать не менее одной окружности. 2. Если стороны треугольника равны 3, 4, 5, то радиус описанной около него окружности, равен 2,5. 3. В любой параллелограмм можно вписать окружность. 4. В любой правильный многоугольник можно вписать не более одной окружности. Ответ. 1, 2, 4.

9. Укажите номера верных утверждений 1. Прямая не имеет центра симметрии. 2. Правильный треугольник имеет центр симметрии. 3. Круг имеет центр симметрии. 4. Квадрат имеет четыре оси симметрии. Ответ. 3, 4.

10. Укажите номера верных утверждений 1. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 60 о, равен половине гипотенузы. 3. Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 5 и 13, то второй катет этого треугольника равен Квадрат любой стороны треугольника не превосходит суммы квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Ответ. 3, 4.

12. Укажите номера верных утверждений 1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту. 2. Площадь треугольника равна произведению двух его сторон на синус угла между ними. 3. Площадь трапеции равна произведению ее основания на высоту. 4. Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6. Ответ. 4.

1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на стороне AC, а точка E – на стороне AD, причем AC = AD и AB = AE. Докажите, что угол CBD равен углу DEC. Решение. Треугольники ABD и ACE равны по первому признаку равенства треугольников (AC = AD, АВ=АС, угол A общий). Следовательно, равны соответствующие углы ABD и AEC. Из равенства этих углов следует равенство смежных углов CBD и DEC. Доказательство

2. На рисунке АВ=АС, АЕ=АD. Докажите, что BD=CE. Решение. Треугольники ABD и ACE равны по первому признаку равенства треугольников (АВ=АС, АD = AE, угол A общий). Следовательно, равны соответствующие стороны BD и CE этих треугольников.

3. На рисунке угол A равен углу B, AD = BC. Докажите, что AC = BD. Решение. Треугольники ABC и BAD равны по первому признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, BC = AD, угол ABC равен углу BAD). Следовательно, равны соответствующие стороны AC и BD этих треугольников.

4. На каждой стороне правильного треугольника ABC последовательно отложены равные отрезки AD, BE, CF. Докажите, что треугольник DEF тоже правильный. Решение. Из равенства сторон правильного треугольника и равенства отрезков AD, BE и CF следует равенство отрезков AF, CE и BD. Треугольники ADF, BED и CFE равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE = CF, AF = BD = CE, угол A равен углу B и равен углу C). Следовательно, равны соответствующие стороны DF, DE и EF этих треугольников. Значит, треугольник DEF тоже правильный.

5. На продолжении каждой стороны правильного треугольника ABC последовательно отложены равные отрезки BD, CE, AF. Докажите, что треугольник DEF тоже правильный. Решение. Из равенства сторон правильного треугольника ABC и равенства отрезков BD, CE и AF следует равенство отрезков AD, BE и CF. Из равенства углов правильного треугольника ABC следует равенство углов FAD, DBE и ECF. Треугольники ADF, BED и CFE равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE = CF, AF = BD = CE, угол FAD равен углу DBE и равен углу ECF). Следовательно, равны соответствующие стороны DF, DE и EF этих треугольников. Значит, треугольник DEF тоже правильный.

6. Лучи AD и ВС пересекаются в точке О, угол 1 равен углу 2, OC = OD. Докажите, что OA = OB. Решение. Из равенства углов 1 и 2 следует равенство смежных с ними углов ACO и BDO. Треугольники ACO и BDO равны по второму признаку равенства треугольников (CO = DO, угол ACO равен углу BDO, угол AOC равен углу BOD). Следовательно, равны соответствующие стороны OA и OB этих треугольников.

7. В четырехугольнике ABCD угол DAB равен углу CBА и диагонали АС и BD образуют со стороной АВ равные углы. Докажите, что АС = BD. Решение. Треугольники ABC и BAD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, угол ABC равен углу BАD, угол BAC равен углу ABD. Следовательно, равны соответствующие стороны АС и BD этих треугольников.

8. В четырехугольнике ABCD AD = BC и AC = BD. Докажите, что угол BAD равен углу ABC. Решение. Треугольники ABC и BAD равны по третьему признаку равенства треугольников (AD = BC, AC = BD, AB – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы BAD и ABC.

1. Изобразите отрезок AB, длина которого равна (стороны квадратных клеток равны 1). Изображение

2. Изобразите угол, тангенс которого равен 1/3.

3. Изобразите биссектрису OC угла AOB.

4. На прямой c отметьте точку C равноудаленную от точек A и B. Ответ. Искомая точка принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB.

5. На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB. Ответ. Искомая точка принадлежит биссектрисе угла AOB.

6. В треугольнике ABC проведите медиану CM.

7. В треугольнике ABC проведите высоту CH.

8. В треугольнике ABC проведите биссектрису BD.

9. Изобразите треугольник ABC, симметричный треугольнику ABC относительно точки O.

10. Изобразите треугольник ABC, симметричный треугольнику ABC, относительно прямой c.