Выполнил работу Мирошниченко Вячеслав ученик 10 класса МБОУСОШ 1 х. Маяк

Изучить определения и свойства вневписанной окружности. Исследовать приёмы решения задач на вневписанную окружность. Составить сборник задач на вневписанную окружность.

Соотношения сторон треугольника и радиуса вписанной окружности п/п Вид треугольника Информация 1. Произвольный Центр окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника (внутри треугольника). 2. Остроугольный или тупоугольный R = (p- полупериметр треугольника). 3. ПрямоугольныйR = (p-полупериметр треугольника, a, b - катеты, с - гипотенуза). 4. Равносторонний R =. Соотношения сторон треугольника и радиуса описанной окружности п/п Вид треугольника Информация 1. Произвольный Центр окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника: - в остроугольном - внутри треугольника; -в прямоугольныйом - в середине гипотенузы; - в тупоугольном – вне треугольника. 2. Произвольный R= ;. 3. ПрямоугольныйR = (с – гипотенуза). 4. Равносторонний R= 5. РавностороннийR =

О А В С

А В С О К М N

Каждый из отрезков касательных, проведённых из вершины треугольника, противоположной стороне касания вневписанной окружности, равен полупериметру треугольника. Длины сторон треугольника и радиусы вписанной и вневписанной окружностей связаны соотношением Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны : r a =, r b =, r c =. Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е. r a + r b + r c = r + 4R Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности: Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника: r a r b +r b r c +r c r a =p 2

Таблица 2 п/п Вид треугольника Информация 1. Произвольный Центр вневписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внешних углов при стороне касания и биссектрисы внутреннего угла, противоположного стороне касания. 2. Произвольный ; r a = ; r b =, r c = r a + r b + r c = r + 4R ; r a r b +r b r c +r c r a =p 2 3. Прямоугольный r = p (p- полупериметр) 4. Равносторонний r = h ( h- высота треугольника)

Дано: АВС Вневписанная окр. (О а ; r a ) Доказать, что АВ 1 = АС 1 = p Доказательство: Т.к. О а - центр вневписанной окружности. Касательные, прове - денные к окружности из одной точки, равны между собой, поэтому ВВ 1 = ВА 1, СА 1 = СС 1, АВ 1 = АС 1. Значит, 2p = (AC + СА 1 ) + (AB + ВА 1 ) = (AC + CC 1 ) + (AB + BB 1 ) = AC 1 + AB 1 = 2AC 1 = 2AB 1 т.е. АВ 1 = АС 1 = p. В1В1 ra ra ra ra ra ra В С1С1 А1А1 α/2 Оа. Оа.

Дано: Треугольник АВС,

Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольныйого треугольника 7 и 17. Найти расстояние между их центрами. Случай 1 одна из окружностей касается гипотенузы, а другая –катета. Дано: Решение: Треугольник АВС- прямоугольныйый

L A K B M C O Доказать что, если радиус вневписанной окружности равен полупериметру треугольника, то треугольник будет прямоугольныйым. Дано: Доказательство: Доказать: треугольник прямоугольный Пусть вневписанная окружность (с центром О) треугольника АВС касается стороны АВ в точке К, а продолжений сторон СА и СВ – в точках L и M соответственно. Обозначим через р полупериметр треугольника. Тогда P=АВ+ВС+АС=(АК+КВ)+ВС+АС=(АL+ВM)+ВС+АС=(АL+АС)+(ВM+ВС)= =СL+СM. Итак,СL+СМ=Р и ОL+ОМ= Р четырёхугольник ОLСМ–ромб, а т.к.ОL СL, то это квадрат. Следовательно,

Дано: Точка О – центр вписанной окружности треугольника АВС, а точка О 1 – центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Найдите расстояние между точками О и О 1, если радиус описанной окружности треугольника АВС = 6, а sin< ВОС =

1)Так как О – центр вписанной окружности АВС, то АО, ВО, СО – биссектрисы углов этого треугольника. Прежде чем приступить к решению задачи, докажем следующее вспомогательное утверждение

2)Так как точка О 1 равноудалена от лучей АВ и АС, то она лежит на биссектрисе угла ВАС, а поскольку О 1 равноудалена от стороны ВС и продолжения стороны АВ за точку В, то О 1 лежит на биссектрисе внешнего угла АВС при вершине В. Опишем вокруг треугольника АВС окружность, и пусть К – точка пересечения биссектрисы угла ВАС с этой окружностью, см. рис. 8 Покажем, что