Тригонометрия Учебное пособие для техникума

Тригонометрия n Учебный элемент 1 Учебный элемент 1 n Учебный элемент 2 Учебный элемент 2 n Учебный элемент 3 Учебный элемент 3 n Учебный элемент 4 Учебный элемент 4 n Учебный элемент 5 Учебный элемент 5 n Учебный элемент 6 Учебный элемент 6 n Учебный элемент 7 Учебный элемент 7 n Учебный элемент 8 Учебный элемент 8 n Учебный элемент 9 Учебный элемент 9 n Учебный элемент 10 Учебный элемент 10 n Учебный элемент 11 Учебный элемент 11 n Учебный элемент 12 Учебный элемент 12

Понятие радиана и градуса. Формулы перевода градусной меры угла в радианную меру и обратно. – Цели n Усвоить понятие радиана n Познакомится с формулами перевода градусной меры угла в радианную меру и обратно n Вычислять значение градусной меры угла и радианной меры угла – Содержание обучения: n Понятие радиана. n Связь радианной и градусной мер углов. n Распределение точек на единичной окружности. НА ОГЛАВЛЕНИЕДАЛЬШЕ

§ 1. Радианное измерение угловых величин. n При радианном измерении дуг (и соответствующих им центральных углов) за единицу измерения принимается радиан– дуга, длина которой равна радиусу этой дуги. Радианная мера дуги вычисляется по формуле: a=l/R, (1) где а– радианная мера дуги, l – длина дуги окружности, R – радиус этой дуги. Формула перехода от градусного измерения к радианному имеет вид: a=(π/180 0 )β (2), где β – градусная мера дуги (угла). Радианная мера 1 0 равна 0,0175 радиана. Формула перехода от радианного измерения к градусному имеет вид β=(180 0 /π)a (3) градусная мера 1 радиана равна ,8 57 0,3. Длина дуги окружности равна радианной мере дуги, умноженной на радиус этой дуги: l=aR(4) Площадь кругового сектора равна половине радианной меры дуги сектора, умноженной на квадрат радиуса круга: S сект =aR 2 /2(5) Полный круг составляет 360 градусов, т.е.2п (2*180 0 ). Если рассматриваемый угол больше 2п, то обозначение 2пn, где n – градусы. Положительным направлением отсчета углов считается поворот по единичной окружности (т.е. окружности с радиусом равным 1) против часовой стрелки, а отрицательным – по часовой стрелке. НА ОГЛАВЛЕНИЕДАЛЬШЕ

ТРЕНИНГ ДАЛЬШЕНА ОГЛАВЛЕНИЕ

ТЕСТ НА ОГЛАВЛЕНИЕ Посттест на «3» Посттест на «4» и «5» заданияответы

ПОСТТЕСТ на «3» – 1-й вопрос n выразите в радианной мере величину угла в n а) ; б) ; в). НА ОГЛАВЛЕНИЕ Посттест на «4» и «5»

2- й вопрос n выразите в градусной мере величину угла в. n а)25 0 ; б) 22 0 ; в) НА ОГЛАВЛЕНИЕ

2 вопрос n выразите в градусной мере величину угла в. n а)25 0 ; б) 22 0 ; в) НА ОГЛАВЛЕНИЕ

3- й вопрос n Выберите ответ на вопрос: щелкните по значению угла в НА ОГЛАВЛЕНИЕ

3 вопрос n Выберите ответ на вопрос: щелкните по значению угла в НА ОГЛАВЛЕНИЕ

На оглавление

На оглавление

НА «4» и «5» n Выразите в радианной мере величины углов: а) 40 0 ; б) ; в) 20 0 ; г) n Выразите в градусной мере величины углов: а) ; б) 2 ; в). n Угловая величина дуги АВ равна 2п/3, а ее радиус равен 3 м. Найдите длину дуги АВ. n Найдите координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1;0) на угол: а) ; б) ; в) ; г) 2. n Найдите все углы, на которую нужно повернуть точку (1;0), чтобы получить точку с координатами (-1;0). n НА ОГЛАВЛЕНИЕ НА ОГЛАВЛЕНИЕ

Тригонометрические функции числового аргумента. Основные тригонометрические тождества. – Цели n Познакомиться с определением тригонометрических функций; n Находить значения тригонометрических функций числового аргумента; n Применять основные тригонометрические тождества для нахождения тригонометрических функций. – Содержание обучения : n Тригонометрические функции числового аргумента; n Основные тригонометрические тождества. На оглавлениеДальше

§ 1. Тригонометрические функции числового аргумента n Абсцисса Х точки М α числовой единичной окружности (см.рис.) называется косинусом числа α: Х = cos α (1) n Ордината Y точки М α числовой единичной окружности называется синусом числа α: Y = sin α (2) n Областью определения косинуса и синуса служит множество всех действительных чисел, т.е. D(cos α)=R, D(sin α)=R. n Отношение синуса числа α к его косинусу называется тангенсом числа α: n (3) n Область определения тангенса – множество всех действительных чисел за исключением чисел вида. n Отношения косинуса числа α к его синусу называется котангенсом числа α: n (4) n Область определения котангенса – множество всех действительных чисел за исключением чисел вида. n Функции cosa и sina ограничены, т.к. Е(cosa) = [–1;1], E(sina) = [-1;1]. n Функции tga и ctga неограничены, т.к. каждая из них может принимать любое действительное значение, т.е. E(tga) = R, E(ctga) = R. На оглавление Дальше

§ 2. Основные тригонометрические тождества На оглавление Дальше

Тренинг На оглавление Дальше

Дано: sinx=3/5, x принадлежит (п/2; п). Вычислить: 1) cosx; 2) tg x; 3) ctgx. n 1)Выразим косинус из первого тригонометрического тождества: (во второй четверти косинус имеет знак –). Подставляем известное значение синуса и вычисляем косинус. n 2) Используем определение тангенса (см.1 параграф); подставим значение синуса и найденное значение косинуса. n 3) аналогично 2) найдем котангенс. n 1) = – 4/5. 2) tg x = (3/5) : (–4/5) = – 3/4 3) ctg x = – 4/3. На оглавление Дальше

Доказать тождество: На оглавление Дальше

Тест n Упростите выражения: n Ответы: n 1. n 2. sin 2 a. n 3. cos a – sin a. n 4. 1 На оглавление Посттест на «3» Посттест на «4» и «5»

ПОСТТЕСТ НА «3» n 1 вопрос n При каких значениях аргумента принимает наименьшее и наибольшее значения следующая функция: n Y = 0,5 cos2x n Ответы: n А) У наиб.= 0,5; У наим. = -0,5. А) У наиб.= 0,5; У наим. = -0,5. n Б) У наиб.= 2; У наим. = -2.Б) У наиб.= 2; У наим. = -2. n В) У наиб.= 5; У наим. = -5.В) У наиб.= 5; У наим. = -5. На оглавление

2 вопрос n Найдите область определения функции n Y = sinx + cosx ; n Ответы: n А) х [- 1; 1]; Б) х [- 0,5; 0,5]; А) х [- 1; 1]; ) х [- 0,5; 0,5]; n В) х – любое действительное число. В) х – любое действительное число. На оглавление

2 - й вопрос n Найдите область определения функции n Y = sinx + cosx ; n Ответы: n А) х [- 1; 1]; Б) х [- 0,5; 0,5]; А) х [- 1; 1]; ) х [- 0,5; 0,5]; n В) х – любое действительное число. В) х – любое действительное число На оглавление

3 вопрос n Дано: tgx = – ¾, II четверть. Вычислить sinx, cosx, ctgx. n Ответы: n А) sinx =-3/5; сosx = -4/5; ctgx = 4/3. А) sinx =-3/5; сosx = -4/5; ctgx = 4/3. n Б) sinx =3/5; сosx = -4/5; ctgx = -4/3. Б) sinx =3/5; сosx = -4/5; ctgx = -4/3 n В) sinx =4/3; сosx = -3/5; ctgx = -4/5. В) sinx =4/3; сosx = -3/5; ctgx = -4/5. На оглавление

3 – й вопрос n Дано: tgx = – ¾, II четверть. Вычислить sinx, cosx, ctgx. n Ответы: n А) sinx =-3/5; сosx = -4/5; ctgx = 4/3. А) sinx =-3/5; сosx = -4/5; ctgx = 4/3 n Б) sinx =3/5; сosx = -4/5; ctgx = -4/3. Б) sinx =3/5; сosx = -4/5; ctgx = -4/3 n В) sinx =4/3; сosx = -3/5; ctgx = -4/5. В) sinx =4/3; сosx = -3/5; ctgx = -4/5. На оглавление

НА «4» и «5» n 1. Дано: tgx = – ¾, II четверть. Вычислить остальные тригонометрические функции. n 2. Докажите тождества: n n 3. Упростите выражения: На оглавление

Основные свойства тригонометрических функций. Цели 1. Находить знаки значений тригонометрических функций; 2. Какие функции являются четными, нечетными и периодическими; 3. Находить период функции. Содержание обучения: 1. Знаки значений тригонометрических функций. 2. Четные и нечетные функции. 3. Периодичность тригонометрических функций. 4. Свойства и графики тригонометрических функций. На оглавление Дальше

§ 1. Знаки значений тригонометрических функций. Знаки тригонометрических функций по четвертям приведены в таблице: Четверть Функция I 0

Значения тригонометрических функций некоторых углов приведены в таблице: I четверть sina01 cosa10 tga01 - ctga - 10 На оглавление Дальше

§ 2. Четные и нечетные функции. Опр.1: функция f называется четной, если с каждым значением переменной х из области определения f значение ( - х) также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство: f (- x) = f (x). Опр.2: функция f называется нечетной, если с каждым значением переменной х из области определения f значение ( - х) также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство: f (- x) = --f (x). График любой четной функции симметричен относительно оси ординат, а гарфик любой нечетной функции симметричен относительно начала координат. Теорема: косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные функции. Свойства четности и нечетности тригонометрических функций выражаются следующими формулами: sin(–a) = – sina; cos(–a) = cosa; tg(–a) = – tga; ctg(–a) = – ctga. На оглавление Дальше

§ 3. Периодичность тригонометрических функций. Опр.: функция f называется периодической, если существует такое число, что при любом из области определения f числа ( – ) и ( + ) также принадлежат этой области и при этом выполняется равенство f ( - ) = f ( ) = f ( + ). В этом случае число называется периодом функции f. Ее периодами являются также числа вида n, n, n 0. Теорема: функции синус, косинус, тангенс и котангенс являются периодическими. Наименьший положительный период синуса и косинуса равен 2. Наименьший положительный период тангенса и котангенса равен.. Свойства периодичности тригонометрических функций можно выразить тождествами: sin = sin ( +2 k), k ; cos = cos ( +2 k), k ; tg = tg ( + k), k ; ctg = ctg ( + k), k ; На оглавление Дальше

§ 4. Свойства и графики тригонометрических функций. 1. Синус F(x) = sin x. Свойства: 1) Область определения: R; 2) Область значений: [– 1; 1]; 3) Четность (нечетность): Нечетная; 4) Наименьший положительный период: 2 ; 5) Координаты точек пересечения графика f с осью Ох: ( n; 0); 6) Координаты точек пересечения графика f с осью Оy: (0; 0); 7) Промежутки, на которых f принимает положительные значения: (2 n; + 2 n); 8) Промежутки, на которых f принимает отрицательные значения: (– + 2 n; 2 n); 9) Промежутки возрастания: ; 10) Промежутки убывания: ; 11)Точки минимума: ; 12) Точки максимума:. На оглавлениеДальше

1. Косинус F(x) = cos x. Свойства: 1) Область определения: R; 2) Область значений: [– 1; 1]; 3) Четность (нечетность): Четная; 4) Наименьший положительный период: 2 ; 5) Координаты точек пересечения графика f с осью Ох: ( + n; 0); 6) Координаты точек пересечения графика f с осью Оy: (0; 1); 7) Промежутки, на которых f принимает положительные значения: (- +2 n; + 2 n); 8) Промежутки, на которых f принимает отрицательные значения: ( + 2 n; +2 n); 9) Промежутки возрастания: ; 10) Промежутки убывания: ; 11)Точки минимума: ; 12) Точки максимума:. На оглавление Дальше

Тренинг. Решение упражнений. Алгоритм решения Решение Какие знаки имеют следующие выражения: 1) cos 150; 2) sin 320; 3) tg 220; 4) ctg 400. Упростить: Используя формулы параграфа Вычислить: По таблице значений находим значение аргумента каждой тригонометрической функции: 1) 90

ТЕСТ Какие знаки имеют следующие выражения: sin cos tg ctg tg sin sin (7п/3) 8. cos (4п/3) sin (5п/4) 10. cos (7п/5) 11. tg (8п/3) 12. ctg(9g/4) Упростите: – 4. – 5. Не сущ – 9. – 10. – 11. – –2 Ответы: На оглавление Посттест на «3», «4» и «5»

Формулы сложения Цели Повторить определения тригонометрических функций; Познакомится с формулами сложения тригонометрических функций; Научиться применять формулы сложения Содержание обучения : 1. Косинус и синус суммы и разности. 2. Тангенс суммы На оглавление Дальше

§ 1. Косинус и синус суммы и разности. Формула косинуса суммы: cos(a + в) = cosa cosв – sin а sin в. (1) Так как cos (– в) = cos в и sin(–в) = – sin в, из этой формулы следует: cos(a – в) = cosa cosв + sin а sin в. (2) Формула синуса суммы имеет вид: sin(а + в) = sin а cosв + cosa sin в. (3) заменив в формуле (3) в на (–в), приходим к формуле синуса разности: sin(а – в) = sin а cosв – cosa sin в. (4) На оглавление Дальше

§ 2. Тангенс суммы. Вывод формулы тангенса суммы дается с помощью предыдущих формул косинуса и синуса суммы и определения тангенса. Формула тангенса суммы: Tg (а + в) = tg а +tg в 1 – tg a tg в, а = п/2(2к+1), в= п/2(2к + 1), tga tgв = 1 (5) подставляя в формулу (5) вместо в (–в) получим формулу тангенса разности: Tg (а – в) = tg а –tg в 1 + tg a tg в, а = п/2(2к+1), в= п/2(2к + 1), tga tgв = 1 (6). На оглавление Дальше

Тренинг. Решение упражнений Вычислить: вычислим sin 75 0 и cos Заметим, что 75 0 = Поскольку синусы и косинусы углов 45 и 30 градусов известны, с помощью формул синуса и косинуса суммы находим, чему равны синус 75 0 и косинус Sin75 0 =sin( )=sin30 cos45 + cos30 sin45 = Cos75=cos( )=cos30 cos45 – sin30 sin45 = На оглавление Дальше ответы

Вычислим выражения : Доказать тождества: Упрощая левую часть равенства, получим тождество доказано. На оглавление Дальше

ТЕСТ 1. вычислите: а)sin105 0 ; б)cos15 0. а)sin(45+60)=sin45cos60+cos45sin60= б)cos(60-45)= 2. вычислите: а) cos25 0 sin65 0 +sin25 0 cos65 0 ; б) cos 7п/10 cosп/5 + sin 7п/10 sinп/5 а) sin(65+25)= sin90 = 1; б) cos (п/2) =0 3. Докажите тождество: а) cos(a+в)cos(a – в)+ sin(а + в) sin(а – в)=cos2в б) tga + tg(45 0 – a) = 1 1 – tgatg(45 0 –a) На оглавление Посттест на «3» Посттест на «4» и «5» заданияответы

ПОСТТЕСТ НА «3» 1. вычислите: sin п/6 cos п/3 + cos п/6 sin п/3 Ответы: А) 1 А) 1 Б) 0,5 В)-1Б) 0,5 В)-1 1 вопрос

2. вычислите cos(a + в), если известно, что sin а =sin в = 5/13 и 0

2-й вопрос 2. вычислите cos(a + в), если известно, что sin а =sin в = 5/13 и 0

ПОСТТЕСТ НА «4» И «5» 1. вычислите: cos п/7 sin8п/7 – sin п/7 cos8п/7 2. вычислите cos(п/3 – a), если известно, что cos а = 2/5 и 3п/2

Формулы двойного и половинного аргументов Цели: Повторить определения тригонометрических функций; Повторить формулы сложения тригонометрических функций; Познакомится с формулами двойного и половинного аргументов тригонометрических функций; Научиться применять формулы двойного и половинного аргументов Содержание обучения: 1. Тригонометрические функции двойного аргумента. 2. Тригонометрические функции половинного аргумента На оглавление Дальше

§ 1. Тригонометрические функции двойного аргумента Формулы сложения позволяют выразить sin 2a, cos 2a и tg 2a через тригонометрические функции угла а. Положим в формулах: cos(a + в) = cosa cosв – sin а sin в; sin(а + в) = sin а cosв + cosa sin в; Tg (а + в) = tg а + tg в 1 – tg a tg в в равным а. Получим тождества: sin 2a = 2 sin a cos a, (1) cos 2a = cos 2 a – sin 2 a, (2) tg 2a = 2 tg a, а= п/2+пk, а=п/4+пk/2. (3) 1 – tg 2 a ctg2a = ctg 2 a –1, а= пk/2 (4) 2 ctga Эти тождества называют формулами двойного угла. Если выразить правую часть формулы (2) через синус или косинус, то приходим к следующим тождествам: cos 2a = 2 cos 2 a – 1 (5) cos 2a = 1 – 2 sin 2 a (6) На оглавление Дальше

§ 2. Тригонометрические функции половинного аргумента На оглавление Если из формул (5) и (6) выразить cos 2 a и sin 2 a, получим: sin 2 a = 1 – сos 2a cos 2 a = 1 + cos 2a 2 заменим теперь а на а/2, получим: sin 2 a = 1 – сos 2a cos 2 a = 1 + cos 2a значит : sin a = + 1 – сos a (7) cos a = cos a (8) tg a = sin a/2 = sin a (9) tg a = + 1 – cos a, а=п(2k+1) (10) 2 cos a/2 1+cos a cos a ctg a = cos a/2 = sin a (11) ctg a = cos a, а=2пk. (12) 2 sin a/2 1–cos a. 2 1 – cos a В формулах (7) и (8), знак перед корнем определяется по знаку четверти, которой принадлежит дуга а/2. В формулах (10) и (12), знак перед корнем берется так, чтобы он совпадал со знаком tg(a/2), т.е. +, если I или III четверть, и знак –, если II и IV четверти. Вместо формул (10) и (12) можно применять формулы (9) и (11). Дальше

Тренинг. Решение упражнений 1. известно, что sin a = 0,6, и 0

ТЕСТ ЗаданияОтветы 1. известно, что cos a = –5/13 и sin a >0. Найдите sin2a, cos2a, tg2a. sin2a= ; соs2а= ; tg2a= 2. найдите sina/2, cosa/2 и tga/2, если cosa= – 12/13 и а принадлежит IIIчетверти. ; 3.упростите выражение: 1 – cos a. сtg a – sin 2 a 1 + cos a 2 соs 2 a 4. упростите выражение: 1 – 2 sin 2 a + cos2a 2 cos2a На оглавление Дальше

ПОСТТЕСТ I вариантII вариант 1. пусть cos a= –0,6 и а – угол III четверти, найдите sin2a, cos2a, tg2a. 1. пусть tg a= 3/4 и а – угол III четверти, найдите sin2a, cos2a, tg2a. 2. вычислите 2 sin 15 cos 152. вычислите 2 sin 30 cos докажите тождество: (sin a + cos a) – sin 2a = 1 3. докажите тождество: 4 sin a cos a cos 2a = sin 4a. 4. Упростите выражение: 4 sin a/2 sin (п – а)/2 sin (3п/2 – а) 4.упростите выражение: 4 сos a/4 cos (2п + а)/4 cos (2п +а)/2 5. упростите выражение: На «3» решить первые 3 задания. На «4-5» решить соответственно 4 и 5 заданий. На оглавление

Формулы приведения Цели Узнать свойства полупериода синуса и косинуса. Познакомиться с формулами приведения; Применять формулы для нахождения тригонометрических функций Содержание обучения: 1. Свойства полупериода синуса и косинуса. 2. Формулы приведения. На оглавление Дальше

§ 1. Свойства полупериода синуса и косинуса На оглавление Функции синус и косинус при уменьшении или увеличении аргумента на изменяются только по знаку: Sina = – sin(a + ) (1) Cosa = – cos(a + ) (2) Если к аргументу прибавить, умноженное на любое нечетное число, то получатся формулы: Sina = – sin[a + (2k+1)] (3) Cosa = – cos[a + (2k+1)] (4) Т.е. функции синус и косинус при изменении аргумента на (2k+1) изменяются только по знаку. Дальше

§ 2. Формулы приведения Формулы приведения позволяют выразить тригонометрические функции углов через тригонометрические функции угла. Функция Аргумент sincostgctg – – sin cos – tg –ctg (90 – )cos sin ctg tg (90 + )cos – sin – ctg – tg (180 – )sin – cos – tg – ctg (180 + )– sin – cos tg ctg На оглавление Дальше

Тренинг. Решение упражнений Вычислить: В примерах 1) – 4) используем формулы (1) и (2), а также свойства четности и нечетности тригонометрических функций: Вычислить: На оглавление Дальше

ТЕСТ Вычислить: На оглавление Посттест на «3» Посттест на «4» и «5»

Посттест на «3» 1. Вычислить: Ответы: А) -1/2 А) -1/2 Б) 1/2 В) 1 Б) 1/2 В) 1

2 задание Вычислить: Ответы:

2-е задание Вычислить:

Посттест на «4» и «5» Вычислить: Упростите: Докажите тождество: На оглавление

Формулы суммы и разности тригонометрических функций Цели Познакомиться с формулами суммы и разности тригонометрических функций; Применять формулы для нахождения тригонометрических функций. Содержание обучения: Формулы суммы и разности косинусов (синусов) Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму. На оглавление Дальше

§ 1. Формулы суммы и разности тригонометрических функций. Сумму и разность синусов и косинусов можно представить в виде произведения. Чтобы представить в виде произведения сумму sin a + sin в, положим а = х+у и в = х–у и воспользуемся формулами сложения. Получим: Sin a + sinв = sin (x+y) + sin (x –y) = sinxcosy + cosxsiny + sinxcosy – cosxsiny = 2sinxcosy. Из условий а = х + у и в = х– у находим, что х = (а + в) /2 и у = (а – в)/2. Тогда sin a + sin в = 2 sin (a + в) сos (a – в) (1) 2 получили формулу суммы синусов двух углов. Аналогично можно вывести формулы разности синусов, суммы и разности косинусов. sin a – sin в = 2 sin (a – в) сos (a + в) (2) 2 cos a + cos в = 2 cos (a + в) сos (a – в) (3) 2 2 cos a – cos в = –2 sin (a + в) sin (a – в) (4) 2 Дальше На оглавление

Часто используются также следующие формулы: Дальше На оглавление

§ 2. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму. Дальше На оглавление

Тренинг. Решение упражнений Алгоритм решенияРешение 1. упростим сумму: sin 10 + sin 50 воспользуемся формулой суммы синусов sin10+sin50=2sin(10+50)/2cos(10–50)/2 =2sin30cos(–20) = 2 * ½ * cos 20= cos представьте в виде произведения: cos 0,3п – sin 0,6п 1. sin 0,6п = sin 6п/10 = sin 3п/5, переведем его в градусы. 2. сos 0,3п тоже переведем в градусы. 3. Представим синус в виде суммы sin 108 = sin (90+18), разложим по формуле синуса суммы. 4. Получилось выражение: cos 54 – cos18, разложим его по формуле разность косинусов. 5. Упростим выражение и получим: –2 sin 36 cos sin 3п/5= sin cos 0,3п = cos sin 108 = sin (90+18)=sin90cos18 + +cos90 sin18 = cos18, т.к. косинус 90 равен нулю. 4. cos54–cos18= –2sin(54+18)/2*sin(54 –-18)/2 5. cos54–cos18= –2 sin 36 cos 18 ДальшеНа оглавление

Тест ЗаданияОтветы 1. разложите на множители выражение: a)sin 3a + sin a; б) cos y – cos 3y. а) 2sin(2a)cosa; б) –2sin(2y)sin(-y)=2sin(2y)siny 2. представьте в виде произведения: sin 15 + cos 65. Sin15 = sin(90-75) = sin90cos75– cos90sin75 = = cos75, cos75 + cos65 = 2 cos70cos5 3. докажите, что: 4. вычислите :. 5. проверьте, что: sin 10 + sin 50 – cos 20 = 0 На оглавление Посттест на «3», «4» и «5» Выбрать 2 вариант

Обратные тригонометрические функции. Построение дуги (угла) по данному значению тригонометрической функции. Цели Узнать обратные тригонометрические функции. Познакомиться со способом построения и нахождением дуги (угла) по данному значению тригонометрической функции; Применять формулы для нахождения дуг (углов). Содержание обучения: 1. Обратные тригонометрические функции. 2. Построение дуги (угла) по заданному значению тригонометрической функции. На оглавление Дальше

§ 1. Обратные тригонометрические функции Функция y = sinx на отрезке [– /2; /2] обратима, т.е. имеет обратную функцию, которая называется арксинусом и обозначается y = arcsin x: D (arcsin x)= [–1; 1], E (arcsin x) = [– /2; /2]; Sin (arcsin x)= x, где х [–1; 1]; arcsin (–x) = – arcsin x. Функция y = cos x на отрезке [0; ] обратима, т.е. имеет обратную функцию, которая называется арккосинусом и обозначается y = arccos x: D (arccos x)= [–1; 1], E (arccos x) = [0; ]; cos (arccos x)= x, где х [–1; 1]; arccos (–x) = – arccos x. Функция y = tg x на промежутке (– /2; /2) обратима, т.е. имеет обратную функцию, которая называется арктангенсом и обозначается y = arctg x: D (arctg x)= R, E (arctg x) = (– /2; /2); tg (arctg x)= x, где х R; arctg (–x) = – arctg x. Функция y = ctg x на промежутке (0; ) обратима, т.е. имеет обратную функцию, которая называется арккотангенсом и обозначается y = arcctg x: D (arcctg x)= R, E (arcctg x) = (0; ); ctg (arcctg x)= x, где х R; arcctg (–x) = – arcctg x. На оглавление Дальше

§ 2. Построение дуги (угла) по данному значению тригонометрической функции 1. Найти множество дуг, синус которых равен а. На оси OY единичной окружности построим точку N (0;a) и проведем через нее прямую, параллельную оси ОХ. 1. Пусть |а| < 1; тогда прямая y = а пересечет единичную окружность в точках М 1 и М 2 (см.рис.), симметричных относительно оси OY. Точке М 1 соответствует дуга АМ 1 = arcsin a, а точке М 2 – дуга – arcsin a. Каждая из этих дуг имеет синус равный а. Множество дуг, оканчивающихся в точке М 1 и имеющих синус, равный а, выражается формулой: = arcsin a +2 k (k ), а множество дуг, оканчивающихся в точке М 2 и имеющих синус, также равный а, выражается формулой: = – arcsin a +2 k (k ), т.к. (–1) n = 1 при n = 2k (т.е. если n – четное) и (–1) = –1 при n = 2k +1 (n – нечетное), то эти две формулы можно объединить в одну: = (–1) n arcsin a + n (n ). Частные случаи: а) если а = 1, то б) если а = –1, то На оглавление Дальше

2. Найти множество дуг, косинус которых равен а. На оси OX единичной окружности построим точку N (a;0) и проведем через нее прямую, параллельную оси ОY. 1. Пусть |а| < 1; тогда прямая x = а пересечет единичную окружность в точках М 1 и М 2 (см.рис.), симметричных относительно оси OX. Точке М 1 соответствует дуга АМ 1 = arccos a, а точке М 2 – дуга – arccos a. Каждая из этих дуг имеет косинус равный а. Множество дуг, оканчивающихся в точке М 1 и имеющих косинус, равный а, выражается формулой: = arccos a +2 k (k ), а множество дуг, оканчивающихся в точке М 2 и имеющих косинус, также равный а, выражается формулой: = – arccos a +2 k (k ), эти две формулы можно объединить в одну: = arccos a +2 n (n ). Частные случаи: а) если а = 1, то б) если а = –1, то На оглавление Дальше

3. Найти множество дуг, тангенс которых равен а. На оси тангенсов построим точку N (1;a).Проведем через эту точку и начало координат прямую, которая пересечет единичную окружность в точках М 1 и М 2 (см.рис.). Тангенс дуг АМ 1 и АМ 2 равен ординате а точки N – точке пересечения продолжения радиуса ОМ 1 с осью тангенсов. Точке М 1 соответствует дуга АМ 1 = arctg a, а точке М 2 соответствует дуга АМ 2 = arctg a +. Каждая из этих дуг имеет тангенс равный а. Множество дуг, оканчивающихся в точках М 1 и М 2 записывается общей формулой: = arctg a + n (n ). На оглавление Дальше

4. Найти множество дуг, котангенс которых равен а. На оси котангенсов построим точку N (a;1).Проведем через эту точку и начало координат прямую, которая пересечет единичную окружность в точках М 1 и М 2 (см.рис.). Котангенс дуг АМ 1 и АМ 2 равен абсциссе а точки N – точке пересечения продолжения радиуса ОМ 1 с осью котангенсов. Точке М 1 соответствует дуга АМ 1 = arcctg a, а точке М 2 соответствует дуга АМ 2 = arcctg a +. Каждая из этих дуг имеет котангенс равный а. Множество дуг, оканчивающихся в точках М 1 и М 2 записывается общей формулой: = arсctg a + n (n ). На оглавление Дальше

Тренинг. Решение упражнений Алгоритм решенияРешение Записать главные дуги, синус которых равен: 1) 0; 2) –1; 3) 1; 4) 3/2; 5) –1/2. 1) = arcsin0 = 0; 2) = arcsin(–1)= – arcsin1 = – /2; 3) = arcsin1 = /2; 4) = arcsin 3/2 = /3; 5) = arcsin(–1/2) = – arcsin(1/2)= – /6. Записать множество дуг, синус которых равен ½. На окружности имеются две точки, служащие концами дуг 1 и 2, синус которых равен ½: 1= arcsin1/2 = /6 и 2= – arcsin1/2 = – /6. Следовательно, искомое множество дуг выражается формулами: и или Построить главные дуги arcsin (2/5) и arcsin (–2/5). На оглавление Дальше

Записать главные дуги, косинус которых равен: 1) 0; 2) 1; 3) –1; 4) – 2/2; 5) 1/2. 1) = arccos0 = /2; 2) = arccos1=0; 3) = arccos(–1) = ; 4) = arccos(– 2/2) = – arccos(– 2/2)= – /4=3 /4 ; 5) = arccos1/2 = /3. Записать множество дуг, косинус которых равен ½. На окружности имеются две точки, служащие концами дуг 1 и 2, косинус которых равен ½: 1= arccos1/2 = /3 и 2= – arccos1/2 = – /3. Следовательно, искомое множество дуг выражается формулой:. Построить главные дуги arccos (2/3) и arccos (–2/3). На оглавление Дальше

Записать главные дуги, тангенс которых равен: 1) 0; 2) 1; 3) –1; 4) – 3/3; 5) 3. 1) = arctg0 = 0; 2) = arctg1= /4; 3) = arctg(–1) = –arctg1= – /4; 4) = arctg(– 3/3) = – arctg( 3/3)= – /6 ; 5) = arctg 3= /3. Записать множество дуг, тангенс которых равен 3. На окружности имеются две точки, служащие концами дуг 1 и 2, тангенс которых равен 3: 1= arctg 3 = /3 и 2= arctg 3+ = /3+. Следовательно, искомое множество дуг выражается формулой:. Построить главные дуги arctg (4/3) и arctg (– 4/3). На оглавление Дальше

Записать главные дуги, котангенс которых равен: 1) 3/3; 2) –1; 3) 3; 4) –– 3. 1) = arcctg( 3/3) = /3; 2) = arcctg(–1)= – arcctg1= – /4=3 /4; 3) = arcctg 3 = /6; 4) = arcctg(– 3)= – arcctg 3= – /6= 5 /6. Записать множество дуг, котангенс которых равен 3. На окружности имеются две точки, служащие концами дуг 1 и 2, косинус которых равен 3: 1= arcctg 3 = /6 и 2= arcctg 3 + = /6 +. Следовательно, искомое множество дуг выражается формулой:. Построить главные дуги arcctg1 и arcctg (–1). На оглавление Дальше

Тест ЗаданияОтветы Записать главные дуги, синус которых равен: 1) 1/2; 2) 2/2; 3) – 2/2. 1) /6; 2) /4; 3) – /4. Записать множество дуг, синус которых равен 3/2. Построить главные дуги arcsin (1/3) и arcsin (–1/3). Записать множество дуг, косинус которых равен 1)–½; 2) 3/2. Построить главные дуги arccos (4/5) и arccos (–4/5). Записать главные дуги, тангенс которых равен: 1) ½; 2) 3/3; 3) – 3. 1)arctg(1/2); 2) /6; 3)– /3. На оглавление Посттест

Посттест на «3», «4» и «5» На «3» выполнить первые два задания. На «4» выполнить первые три задания. На «5» выполнить все задания. Построить дуги, косинус которых равен (0,6). Записать множество дуг, тангенс которых равен 1)–1; 2) 3. Записать главные дуги, котангенс которых равен 3/3 Вычислить cos(a/2), если cos a= и. На оглавление

Тригонометрические уравнения и тригонометрические неравенства Цели Решать простейшие тригонометрические уравнения. Решать простейшие тригонометрические неравенства Содержание обучения: Тригонометрические уравнения. Тригонометрические неравенства. На оглавление Дальше

§ 1. Тригонометрические уравнения Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения sinx = m, cos x = m, tg x = m, ctg x = m, где m – данное число. Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех значений аргументов (дуг или углов), при которых данная тригонометрическая функция принимает заданное значение m. 1. Решить уравнение sinx = m. Решение: Если |m| 1, то на единичной окружности имеются две дуги arcsin m и – arcsin m, синус которых равен m и концы которых симметричны относительно оси OY. Наименьшая по абсолютной величине дуга arcsin m из промежутка, синус которой равен m, называется главным решением уравнения sinx = m. Множество всех искомых дуг, удовлетворяющих уравнению sinx = m, находится прибавлением к найденным двум дугам любого целого числа периодов синуса: или Множество корней уравнения можно записать одной формулой: х = (–1) n arcsin m + n (n ). На оглавление Дальше

Если |m|>1, то уравнение решения не имеет. Частные случаи: 1) sinx = –1, ; 2) sinx = 0, ; 3) sinx = 1, На оглавление Дальше

2. Решить уравнение cosx = m. Решение: Если |m| 1, то на единичной окружности имеются две дуги arccos m и – arccos m, косинус которых равен m и концы которых симметричны относительно оси OХ. Наименьшая по абсолютной величине дуга arccos m из промежутка, косинус которой равен m, называется главным решением уравнения cosx = m. Множество всех искомых дуг, удовлетворяющих уравнению cosx = m, находится прибавлением к найденным двум дугам любого целого числа периодов косинуса х = arccos m + k (k ). Если |m|>1, то уравнение решения не имеет. Частные случаи: 1) cosx = –1, или ; 2) cosx = 0, ; 3) cosx = 1, На оглавление Дальше

3. Решить уравнение tgx = m. Решение: Наименьшая по абсолютной величине дуга arctg m из промежутка, тангенс которой равен m, называется главным решением уравнения tgx = m. Множество всех искомых дуг, удовлетворяющих уравнению tgx = m, находится прибавлением любого целого числа периодов тангенса х = arctg m + k (k ). Частный случай: tgx = 0, 4. Решить уравнение сtgx = m. Решение: Наименьшая положительная дуга arсctg m из промежутка, котангенс которой равен m, называется главным решением уравнения сtgx = m. Множество всех искомых дуг, удовлетворяющих уравнению сtgx = m, находится прибавлением любого целого числа периодов котангенса х = arcсtg m + k (k ). Частный случай: сtgx = 0, На оглавление Дальше

§ 2. Тригонометрические неравенства. Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства sinx m, cos x m, tg x m, ctg x m, где m – данное число. Решить простейшее тригонометрическое неравенство – значит найти множество всех значений аргументов (дуг или углов), которые обращают данное неравенство в верное числовое неравенство. На оглавление Дальше

Тренинг. Решение упражнений Алгоритм решенияРешение 1) Решить уравнение sinx = ½. Главным решением является дуга АМ 1 = /6 из промежутка, синус которой ½. Множество корней уравнения имеет вид: х = (–1) n arcsin 1/2 + n, (n ) х = (–1) n /6 + n, (n ). 2) Решить неравенство: sinx < ½. Учитывая свойство ограниченности синуса, данное неравенство можно переписать так: –1< sinx < ½. Имеем: АМ 1 = /6, АМ 2 = – – /6= – 7 /6. Неравенству sinx < ½ удовлетворяют дуги из промежутка. Т.к. синус периодическая функция, то надо добавить период:, k. На оглавление Дальше

3). Решить неравенство: |sinx| > ½. Это неравенство выполняется для всех дуг х 1 < x < x 2 и х 3 < x < x 4, где х 1 = /6, х 2 = – /6 = 5 /6, х 3 = х 1 + = /6 +, х 4 = х 2 + = 5 /6+, т.е. /6 < x< 5 /6, и /6+ < x < 5 /6+. Общим решением служит множество дуг вида:, k. 4 ) Решить уравнение cosx = –½. Главным решением является дуга АМ 1 = – /3=2 /3 из промежутка косинус которой –½. Множество корней уравнения имеет вид: х = arcсоs(–1/2) + 2 n, (n ) х = 2 /3 + 2 n, (n ). На оглавление Дальше

5) Решить неравенство: соsx >– ½. Перепишем данное неравенство так: –1/2< cosx < 1. Неравенству cosx >–½ удовлетворяют дуги из промежутка. Общим решением будет:, k. 6) Решить неравенство: соsx

7) Решить неравенство: |соsx| > 2/2. Это неравенство выполняется для всех дуг х 1 < x < x 2 и х 3 < x < x 4, где х 1 = /4, х 2 = – /4, х 3 = х 1 + = /4 +, х 4 = х 2 – = – /4 –, т.е. для – /4 < x< /4, и – /4– < x < /4+. Общим решением служит множество дуг вида:, k. 8) Решить уравнение tgx = 3. Главным решением является дуга /3 из промежутка тангенс которой равен 3. Множество корней уравнения имеет вид: х= /3+ k, k. 9) Решить неравенство: tgx > 3. Учитывая свойство неограниченности тангенса, запишем 3 3 удовлетворяют дуги из промежутка:, учитывая период:, k. На оглавление Дальше

10) Решить уравнение сtgx = –1. Главным решением является дуга – /4=3 /4 из промежутка, котангенс которой равен –1. Множество корней уравнения имеет вид: х=3 /4+ k, k. 11) Решите неравенство ctgx >1. Учитывая свойство неограниченности котангенса, запишем 1 1 удовлетворяют дуги из промежутка:, учитывая период:, k. На оглавление Дальше

Тест ЗаданияОтветы Решить уравнение sinx = 2/2;х = (–1) n /4 + n, (n ). Решите неравенства: 1) |sinx| – 3/2. 1), k.; 2), k. Решить уравнение 1)cosx = – 2/2; 2) cosx = 3/2; 1) х = 3 /4 + 2 n, (n ). 2) х = /6 + 2 n, (n ). Решите неравенства: 1) |cosx| –1. 1), k.; 2), k. Решить уравнение tgx = – 3/3, k Решите неравенство tgx

Посттест На «3» решить по 2 любых уравнения и неравенства (без построений), (всего 4 примера). На «4» решить по три любых уравнения и неравенства (можно уравнения без построений), (всего 6 примеров). На «5» выполнить все с построениями. Решить уравнения 1) sinx = – 3/2; 2) cosx = 1/2; 3) tgx = 1; 4) ctgx = 3. Решите неравенства 1) sinx < – 3/2; 2) cosx < 1/2; 3) |tgx| < 3; 4) |ctgx| < 1. На оглавление

Решение тригонометрических уравнений и тригонометрических неравенств Цели 1. Решать тригонометрические уравнения. 2. Решать тригонометрические неравенства Содержание обучения: Примеры решения различных тригонометрических уравнений. Примеры решения различных тригонометрических неравенств На оглавление Дальше

§ 1. Примеры решения различных тригонометрических уравнений 1. Решить уравнение sin 2 x = m.(0 m 1) Решение: Данное уравнение сводится к двум простейшим уравнениям sinx = m и sinx = – m. Записав решение каждого из них по общей формуле, получим: и. Множество корней уравнения можно записать одной формулой: х = n arcsin m, (n ). 2. Решить уравнение cos 2 x = m.(0 m 1) Решение: Данное уравнение сводится к двум простейшим уравнениям cosx = m и cosx = – m. Записав решение каждого из них по общей формуле, получим и. Множество корней уравнения можно записать одной формулой: х = n arccos m, (n ). На оглавление Дальше

3. Решить уравнение tg 2 x = m. Решение: Данное уравнение сводится к двум простейшим уравнениям tgx = m и tgx = – m. Записав решение каждого из них по общей формуле, получим: и. Множество корней уравнения можно записать одной формулой: х = k arctg m, (k ). 4. Решить уравнение ctg 2 x = m. Решение: Данное уравнение сводится к двум простейшим уравнениям сtgx = m и сtgx = – m. Записав решение каждого из них по общей формуле, получим: и. Множество корней уравнения можно записать одной формулой: х = k arcсtg m, (k ). На оглавление Дальше

§ 2. Примеры решения различных тригонометрических неравенств 1). Имеем: домножим выражение на 2: или х, k. 2). Имеем: разделим все выражение на 2: или х На оглавление Дальше

Тренинг. Решение упражнений Алгоритм решенияРешение 1) Решить уравнение sin2x = ½. 2х = (–1) n arcsin 1/2 + n, (n ) 2х = (–1) n /6 + n, (n ). Разделим выражение на 2. Множество корней уравнения имеет вид: х = (–1) n /12 + n/2, (n ). 2) Решить уравнение tg(3x + 2)= –1.Множество корней уравнения имеет вид: (k ). 3) Решить уравнение ctg x 2 =0Множество корней уравнения имеет вид: (k ). 4) Решить уравнение cos(cosx) = ½. х = arcсоs(1/2) + 2 n, (n ) х = /3 + 2 n, (n ). Это уравнение не имеет корней, т.к. при любом k его правая часть превосходит единицу по абсолютной величине. На оглавление Дальше

5 ) Решить уравнение. Сделаем замену: sinx = t. Имеем: 2 t 2 – 7 t + 3 = 0. Данное квадратное уравнение решаем относительно t. Получаем корни: t 1 = ½; t 2 = 3. Возвращаемся к исходной величине: sinx 1 = ½; sin x 2 = 3. sin x = ½; х = (–1) n /6 + n, (n ) Уравнение sinx = 3 решения не имеет, т.к. область значений [–1;1]. Множество корней данного уравнения имеет вид: х = (–1) n /6 + n, (n ) 6)Решить уравнение Воспользуемся тригонометрическим тождеством и получим:, после преобразования имеем: Решаем аналогично предыдущему и получаем: sin x = – ¾ и sin x = 1. Множество корней данного уравнения имеет вид: х = (–1) n+1 arcsin3/4 + n, (n ) и х = /2 + n, (n ) 7) Решить уравнение. Из определения tgx и сtgx, знаем, что знаменатели sin3x и cos 3x. Знаменатель не должен быть равен 0, поэтому: 3х k, 3x /2+ k, т.е. x k/3, x /6+ k/3. Заменяя ctg3x на 1/tg3x, получим: Множество корней данного уравнения имеет вид: На оглавление Дальше

8) Решить уравнение. По определению тангенса в знаменателе cosx 0, x /2+ k. Разложим левую часть на множители, а затем приравняем каждый из сомножителей к нулю: Уравнению удовлетворяет множество корней вида: 9) Решить уравнение. По определению тангенса в знаменателе cosx 0, x /2+ k. Имеем: Уравнению удовлетворяет множество корней вида: 10) Решить уравнение. Имеем, На оглавление Дальше

11) Решить уравнение. Поделим все слагаемые на cos 2 x, получим: решаем его аналогично 5) и 6) примерам, получим: tgx = 1; tg x = 3. 12) Решить уравнение.Свободный член можно представить как 4*1, где 1 разложить по основному тригонометрическому тождеству. Получим:. После преобразований получим однородное уравнение: Поделим все слагаемые на cos 2 x, получим: решаем его аналогично 5) и 6) примерам, получим: tgx = 1; tg x = 3/2. На оглавление Дальше

Тест ЗаданияОтветы Решить уравнения: 1) 2) tg(3x + 1) = 1; 3) sin(cosx)=0. 1) х = 2(–1) n arcsin(1/4)– /3 + 2 n, (n ); 2) х = /12 – 1/3 + n/3, (n ); 3) Решите неравенства: 1) sin2x < –1/2; 2) cos(x/2) >–1/2; 1), k.; 2), k. Решить уравнение 1) sin 2 x = 1/2; 2) tg 2 x = 1; 3) ctg 2 x = 3. 1) х = /4 + n, (n ). 2) х = /4 + n, (n ). 3) х = /6 + n, (n ). Решить уравнения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 1), k. 2) ; 3) ; 4) ; На оглавление Посттест (выбрать 3 вариант)

Смешанные задания Цели Повторить: 1. Решение тригонометрических уравнений. 2. Решение тригонометрических неравенств. 3. Основные формулы. 4. Правила упрощения выражений. 5. Правила доказательства тождеств. На оглавление Дальше

Тренинг. Решение упражнений 1) [обозначим arcsin3/5= и arcsin4/5=, имеем sin =3/5, [– /2; /2] и sin =4/5, [– /2; /2]. Находим cos = 1– (3/5) 2 = 4/5 и cos = 1– (4/5) 2 =3/5.] 2) [обозначим arccos3/5= и arcsin8/17=, имеем cos =3/5, [0; ] и sin =8/17, [– /2; /2]. Находим sin = 1– (3/5) 2 = 4/5 и cos = 1– (8/17) 2 =15/17] = 3) 4) [обозначим arcsin4/5= и arctg3=, имеем sin =4/5, [– /2; /2] и tg =3, (– /2; /2). Находим ctg = 4/3 и ctg = 1/3] = На оглавление Дальше

5 ) Решить уравнения: А) или Уравнению удовлетворяет множество корней вида Б) или второе уравнение поделим на косинус половинного угла: или Уравнению удовлетворяет множество корней вида На оглавление Дальше

В) 3 sin x + 4 cos x = 4. Выразим sin x и cos x через z = tg(x/2); имеем,. Тогда. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений tg(x/2)=0 и tg(x/2)=3/4, откуда х/2= k и х/2=arctg(3/4)+ k. Уравнению удовлетворяет множество корней вида 6) Преобразовать в произведение: 7) Доказать тождество:. На оглавление Дальше

Тест ЗаданияОтветы Вычислите: 1) 2) 1) 71/98; 2) 1. Решите уравнения: 1) 2) 1), k. 2) Преобразуйте в произведение: 1) 2) 1) 2) Докажите тождество: На оглавление Дальше

Посттест По количеству выполненных заданий выставляется соответствующая оценка. (1 задание – «3») Докажите тождество: Решите уравнение: Докажите тождество: На оглавление

Смешанные задания Цели Повторить: Решение тригонометрических уравнений. Решение тригонометрических неравенств. Основные формулы. Правила упрощения выражений. Правила доказательства тождеств На оглавление Дальше

Тренинг. Решение упражнений 1) Вычислите значения sin3x, cos3x, tg3x и ctg3x, если sinx = ½, угол принадлежит I четверти. Формула для вычисления sin3x = 3sinx – 4 sin 3 x: sin3x = 3*1/2 – 4*(1/2) 3 = 1,5 – 0,5 = 1; Формула для вычисления cos3x = 4 cos 3 x – 3cosx: cosх = 1 – sin 2 x = 1 – ¼ = 3/2; cos3x = 4*3 3/8 – 3* 3/2 = 0. Формула для вычисления tg3x = sin3x/cos3x: tg3x не существует. Формула для вычисления ctg3x = cos3x/sin3x: ctg3x = 0. 2) Упростите выражение: = = 3) Доказать тождество: На оглавление Дальше

Тест ЗаданияОтветы Вычислите: – 3/2 Решите уравнение:, k. Преобразуйте в произведение: Докажите тождество: На оглавлениеДальше

Посттест По количеству выполненных заданий выставляется соответствующая оценка Докажите тождество: Решите уравнение: Дано: sina=0,8, sinb=0,96, а Iчетверти, b Iчетверти. Найти sin(a – b). На оглавление