Преподаватель: Филипенко Николай Максимович доцент кафедры Высшей математики и математической физики ТПУ

I. Линейная алгебра 1. Определители. Матрицы и действия над ними 2. Системы линейных уравнений I. Линейная алгебра 1. Определители. Матрицы и действия над ними 2. Системы линейных уравнений II. Векторная алгебра 1. Линейные операции над векторами 2. Произведения векторов III. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Прямая на плоскости 1. Прямая на плоскости 2. Кривые второго порядка 2. Кривые второго порядка Аналитическая геометрия IV. Аналитическая геометрия в пространстве 1. Плоскость. Прямая в пространстве 2. Поверхности второго порядка

Учебно-методическое обеспечение дисциплины Основная литература 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1. - М.: Наука, с. 2. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, Апатенок Р.Ф., Маркина А.М. и др. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - Минск: Высшая школа, Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, Дополнительная литература (Задачники с решениями). 1. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. -Харьков: ХТУ, ч.1 2. Сборник задач по курсу высшей математики( под ред. Г.Н. Кручковича ), М. Наука, 1973 г. 3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в примерах и задачах. –М. : ВШ, ч.1 4. Терехина Л.И., Фикс И.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 2008, 2009, ….

Матрицы, действия над ними. Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными: Решением такой системы называется пара значений: подстановка которых вместо x 1 и x 2 обращает оба уравнения в тождества. Видно, что решение зависит от знаменателя. Если он неравен 0, то мы получим единственное решение для x 1 и x 2. Знаменатель получаем в результате действий с коэффициентами при неизвестных, из которых можно составить таблицу: Если мы будем иметь более сложную систему уравнений, с большим количеством неизвестных и уравнений, то

система линейных уравнений имеет вид: Таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей. Определение: матрицей размером m на n называется прямоугольная таблица чисел или буквенных выражений, состоящая из m строк и n столбцов. Для данной системы основная матрица: обозначается большой буквой A. Числа, образующие матрицу, называются элементами матрицы. Частные виды матриц: строка, столбец, квадратная, диагональная, единичная, треугольная, ступенчатая и др.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида: Матрицей размером m на n называется прямоугольная таблица чисел или буквенных выражений, состоящая из m строк и n столбцов. Для данной системы основная матрица обозначается большой буквой A. Числа, образующие матрицу, называются элементами матрицы.

В этой же системе можно выписать в виде матрицы столбец свободных членов Матрица - столбец размера (3 х 1) Можно записать матрицу-строку, размер матрицы (1 х 4) Например, система из трех уравнений с тремя неизвестными и ее основная матрица Квадратная матрица размера (3 х 3) или матрица 3- го порядка В квадратных матрицах можно выделить главную и побочную диагонали главная побочная

Суммой - матриц A и B называется матрица C размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и :,( ). Произведением матрицы A на число называется матрица B, которая получается из матрицы A умножением всех элементов на :. Например: Умножение матриц возможно, если число столбцов n матрицы A равно числу столбцов n матрицы B. Правило умножения: При умножении матриц каждый элемент матрицы произведения находится как сумма произведений элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы. Например:

Для квадратных матриц можно вычислить определитель. Определитель квадратной матрицы есть некоторое число, которое вычисляется по элементам матрицы согласно правилу, которое будет сформулировано после введения понятий миноров и алгебраических дополнений элементов определителя. Минором элемента определителя называется определитель, полученный после вычеркивания из исходного строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента – это минор этого элемента, взятый со знаком (+), если сумма номеров строки и столбца, на которых находится элемент – четная, и со знаком (-), если эта сумма – нечетная.

1. Определитель 1-го порядка равен самому элементу Например: 2. Определитель 2-го порядка находится по правилу Определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагонали. Например: Вычисление определителей

Определитель 3-го порядка.

Определитель 3-го можно найти путем разложения определителя по элементам строки или столбца. При этом используется Основное правило вычисления определителя: Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на соответствующие им алгебраические дополнения Например, разложение определителя по элементам 1-ой строки будет иметь вид

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример вычисления определителя путем разложения по элементам первой строки: Наиболее простым, очевидно, является разложение определителя по элементам того ряда, в котором все элементы, кроме одного, равны нулю Например, следующий определитель наиболее просто разложить по элементам 2-й строки

2. Свойства определителей 1)При транспонировании матрицы её определитель не меняется. 2) При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет знак. 3) Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя. 4) Если все элементы k-й строки определителя |A| являются суммами двух элементов, то определитель равен сумме двух определителей |A 1 | и |A 2 |, у которых все строки, кроме k-й, совпадают со строками определителя |A|, k-я строка в определителе |A 1 | состоит из первых слагаемых, а в определителе |A 2 | – из вторых слагаемых.

5) Определитель равен нулю если: а) он имеет строку (столбец), состоящую из нулей; б) он имеет хотя бы две одинаковые строки (столбца); в) он имеет хотя бы две пропорциональные (т.е. отличающиеся множителем) строки (столбца); г) хотя бы одна строка (столбец) является линейной комбинацией нескольких других строк (столбцов).

6) Определитель не изменится, если к каждому элементу i-й строки (столбца) прибавить соответствующий элемент k-й строки (столбца), умноженный на число α 0.

Согласно свойству определителей: Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого ряда, предварительно умноженные на число.

§ Обратная матрица ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обратной к матрице A называется матрица, обозначаемая A -1, такая, что A·A -1 =A -1 · A=E. СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ 1) Если матрица A имеет обратную, то A и A -1 – квадратные матрицы одного порядка. 2) Если обратная матрица существует, то она единственная. 3) Если матрица A имеет обратную, то определитель матрицы A отличен от нуля. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной.

ТЕОРЕМА. Пусть A – квадратная матрица. Матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель |A| отличен от нуля. Причем обратная матрица A -1 может быть найдена по формуле: где – матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы A, т.е. Матрица называется союзной (или присоединенной, или взаимной) для матрицы A.

Схема нахождения обратной матрицы 1) Находится определитель матрицы. Если он отличен от нуля, то обратная матрица существует. 2) Составляется союзная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов исходной матрицы. 3) Полученную союзную матрицу транспонируем, т.е. меняем ролями строки и столбцы матрицы. Получаем матрицу. 4) Матрицу делим на определитель матрицы и получаем обратную матрицу. (При делении матрицы на число все ее элементы нужно разделить на это число) Рассмотрим примеры. 1. Найти матрицу, обратную данной 1) 2) 3) 4)

Нахождение обратной матрицы 2. Найти матрицу, обратную данной 1) Находим определитель матрицы 2) Составляем союзную матрицу Т.о. обратная матрица существует. 3) Полученную матрицу транспонируем 4) Обратная матрица

Матричные уравнения Матричные уравнения – это уравнения, в которых участвуют как известные матрицы, так и неизвестная матрица, которую и нужно найти. Существуют два основных типа матричных уравнений. 1 тип (левое умножение)2 тип (правое умножение) В виде матричного уравнения может быть записана система линейных уравнений, решение которой существует, если определитель основной матрицы отличен от нуля. Если в системе количество уравнений и неизвестных разное, то нельзя говорить об определителе основной матрицы и решать систему матричным методом нельзя. Для решения таких систем применяется метод Гаусса