К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013 1 Моделирование § 6. Модели и моделированиеМодели и моделирование § 7. Системный подход в моделированииСистемный подход. - презентация

1 К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Моделирование § 6. Модели и моделирование Модели и моделирование § 7. Системный подход в моделировании Системный подход в моделировании § 8. Этапы моделирования Этапы моделирования § 9. Моделирование движения Моделирование движения § 10. Математические модели в биологии Математические модели в биологии § 11. Системы массового обслуживания Системы массового обслуживания

2 К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Моделирование § 6. Модели и моделирование 2

3 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Что такое модель? 3 модели чего? автомобиль Земля кристаллическая решётка корабль дом оригиналы Моделей без оригинала не существует! ! объекты (самолет, дом, ядро атома, галактика) процессы (изменение климата, развитие экономики) явления природы (землетрясения, цунами) Оригиналы:

4 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Что такое модель? 4 Зачем нужны модели? ? оригинал не существует -древний Египет -последствия ядерной войны (Н.Н. Моисеев, 1966) исследование оригинала дорого или опасно -управление ядерным реактором (Чернобыль, 1986) -испытание нового скафандра для космонавтов -разработка нового самолета или корабля оригинал сложно исследовать -Солнечная система, галактика (большие размеры) -атом, нейтрон (маленькие размеры) -процессы в двигателе внутреннего сгорания (очень быстрые) -геологические явления (очень медленные) интересуют только отдельные свойства -проверка краски для фюзеляжа самолета Нужно решить задачу, связанную с оригиналом, но:

5 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Модели и оригиналы 5 оригинал задача модель материальная точка модели человека

6 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Модели и моделирование 6 Модель – это объект, который обладает существенными свойствами другого объекта, процесса или явления (оригинала) и используется вместо него. Моделирование – это создание и исследование моделей с целью изучения оригиналов. Задачи моделирования: исследование оригинала анализ («что будет, если …») синтез («как сделать, чтобы …») оптимизация («как сделать лучше всего …»)

7 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Виды моделей (по природе) 7 материальные вербальные графические табличные математические логические специальные модели знаковые информационные

8 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Виды моделей (по фактору времени) 8 статические – описывают оригинал в заданный момент времени силы, действующие на тело в состоянии покоя результаты осмотра врача фотография … динамические модель движения тела явления природы (молния, землетрясение, цунами) история болезни видеозапись события …

9 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Виды моделей (по характеру связей) 9 детерминированные – при одинаковых исходных данных всегда получается тот же результат расчёт по формулам движение корабля на спокойной воде … вероятностные – учитывают случайность событий броуновское движение частиц полета самолёта с учетом ветра движения корабля на волнении поведение человека …

10 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Имитационные модели 10 нельзя заранее вычислить или предсказать поведение системы, но можно имитировать её реакцию на внешние воздействия максимальный учет всех факторов только численные результаты Задача – найти лучшее решение методом проб и ошибок (многократные эксперименты)! ! ! Примеры: испытания лекарств на мышах, обезьянах, … математическое моделирование биологических систем модели систем массового обслуживания модели процесса обучения кросс-программирование …

11 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Игровые модели 11 экономические ситуации военные действия спортивные игры тренинги персонала Задача – найти лучший вариант действий в самом худшем случае! ! ! Игровые модели учитывают действия противников.

12 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Адекватность 12 Адекватность – это совпадение существенных свойств модели и оригинала в данной задаче. Адекватность модели можно доказать только экспериментом! ! ! Модель всегда отличается от оригинала Любая модель адекватна только при определенных условиях! ! ! результаты моделирования согласуются с выводами теории (законы сохранения и т.п.) … подтверждаются экспериментом ( 10%)

13 К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Моделирование § 7. Системный подход в моделировании 13

14 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Модели-системы и модели-«не-системы» 14 Модель-система:Модель-«не-система»: 1-я линия: Пр. Ветеранов Ленинский пр. Автово Кировский завод Нарвская … 2-я линия: Купчино Звездная Московская Парк Победы Электросила …

15 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Таблицы 15 Фамилия ИмяГод рождения Место отдыха Иванов Кузьма 1955 о. Валаам Кузьмин Сидор 1978 о. Ольхон Сидоров Иван 1990 о. Кипр Свойства объектов: Связи между объектами: Вася ПетяКоля МашаДаша Глаша Москва Санкт-Петербург Пермь

16 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задача 16 Березовое: 8:00 Из ВОтправл.Прибытие Березовое Лесное 07:3010:00 Березовое Осиновое 11:5014:10 Лесное Березовое 12:5015:20 Полевое Лесное 13:2014:40 Осиновое Полевое 14:0017:15 Лесное Осиновое 14:2015:30 Осиновое Лесное 14:4015:50 Березовое Полевое 16:0017:50 Лесное Полевое 16:1017:30 Полевое Осиновое 17:4019:55 Полевое Б Б 16:00 07:30 11:50 17:50 П П 10:00 Л Л 17:15 П П 14:10 О О 14:00 14:40 17:30 П П 15:50 Л Л 16:10

17 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задачи 17 Из ВОтправл.Прибытие Васильево Панино 05:1005:1007:20 Панино Луковое 09:1509:1511:20 Луковое Панино 10:3512:15 Санино Васильево 11:0513:10 Васильево Луковое 11:3515:20 Панино Васильево 12:0514:25 Луковое Васильево 12:3016:10 Луковое Санино 14:2016:00 Васильево Санино 16:2516:2517:15 Санино Луковое 18:3018:3020:40 Луковое (00:00) Васильево

18 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задачи 18 Из ВОтправл.Прибытие Сычево Грибное 09:0010:15 Мухино Сычево 09:1510:25 Рогатое Сычево 10:1012:25 Рогатое Мухино 10:2511:25 Сычево Рогатое 10:3013:00 Грибное Рогатое 10:4011:45 Сычево Мухино 10:3511:30 Грибное Сычево 10:5511:25 Мухино Рогатое 11:5012:50 Рогатое Грибное 12:0013:20 Сычёво (10:00) Рогатое

19 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задачи 19 Из ВОтправл.Прибытие Марьино Кунцево 09:0009:50 Кунцево Борисово 09:5511:00 Ручьи Марьино 10:4511:55 Ручьи Кунцево 10:5013:10 Ручьи Борисово 10:5512:00 Кунцево Ручьи 11:0013:20 Кунцево Марьино 11:0512:00 Борисово Кунцево 11:2012:25 Марьино Ручьи 12:1013:15 Борисово Ручьи 12:2513:25 Кунцево (00:00) Ручьи

20 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задачи 20 Из ВОтправл.Прибытие Моховое Лесное 07:4008:50 Озерное Моховое 07:5009:05 Лесное Грибное 08:0009:10 Лесное Озерное 09:1510:25 Моховое Грибное 09:2510:30 Моховое Озерное 09:3010:30 Лесное Моховое 09:4510:45 Грибное Лесное 10:1511:25 Озерное Лесное 11:1512:25 Грибное Моховое 11:5012:55 Моховое (00:00) Лесное

21 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Диаграммы 21 Диаграмма – графическая модель, построенная по числовым данным. овцыкроликикуры Аськин 125 Баськин 425 Сенькин Аськин БаськинСенькин категории овцы кролики куры ряды Что сравниваем? ? ?

22 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Диаграммы 22 овцыкроликикуры Аськин 125 Баськин 425 Сенькин 234 Какую диаграмму можно еще построить? ? ? 0 овцыкроликикуры категории Аськин Баськин Сенькин ряды Что сравниваем? ? ?

23 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Круговые диаграммы 23 овцыкроликикуры Аськин 125 Баськин 425 Сенькин 234 всего 7714 овцы кролики куры 50% 25% Только итоги, исходные данные восстановить нельзя! ! !

24 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задача 24 0 I участокII участокIII участок лоси белки зайцы 25 I участокII участокIII участок всего лоси белки зайцы всего 160 зайцы лоси белки б) зайцы лоси белки а) зайцы белки лоси в)

25 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задачи 25 0 январь февраль март ноутбуки MP3-плейеры телевизоры 25 телевизоры ноутбуки MP3-плейеры а)б)в) ноутбуки телевизоры MP3-плейеры

26 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задача 26 0 «Ауди» «Тойота»«Форд»«Лада» менеджеры рабочие охрана 2)1)1) а) все «Форды» могут принадлежать менеджерам б) все охранники могут ездить на «Ауди» в) все «Тойоты» могут принадлежать рабочим г) все рабочие могут ездить на «Фордах» =

27 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задачи I разрядII разрядIII разряд Москва Мурманск Санкт- Петербург 2)1)1) Какие утверждения следуют из анализа диаграмм: а) все спортсмены, имеющие II разряд, могут быть москвичами б) все спортсмены из Мурманска могут иметь II разряд в) все спортсмены из Санкт-Петербурга могут иметь I разряд; г) все спортсмены III разряда могут быть из Москвы

28 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задачи зеленый синий красный УАЗ Лада Ока 2)1)1) Какие утверждения следуют из анализа диаграмм: а) все автомобили «УАЗ» – зеленые б) среди автомобилей «Ока» нет красных в) все автомобили «Ока» – синие г) среди автомобилей «Лада» есть синие

29 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Иерархические модели 29 директор главный инженер главный бухгалтер Петров Иванов Фомин Алексеева Сидорова Уровень 1 Уровень 2 Уровень 3 Псовые Енотовые Медвежьи Кошачьи Гиеновые Мангустовые Псообразные Кошкообразные Хищные

30 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Иерархические модели 30 Документы Фотографии Доходы.doc Расходы.odt Отдых.txt Папа.jpg Мама.gif Тексты a a * * b b * * (a+3)*5-2*b

31 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Сетевые модели А А В В начало Б Б Г Г Д Д конец Сетевое планирование Семантические сети это живет в это умеет имеет дышит птица млекопитающее животное кит щука рыба гусь вода летать крылья лёгкие плавать умеет

32 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задачи C C B B A A D D E E E E A A C C B B D D A A D D C C B B E E A A B B C C D D E E Построить матрицы смежности и весовые матрицы.

33 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задачи А А В В начало Б Б Д Д Е Е конец Г Г Задача: определить срок изготовления прибора.

34 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Игровые стратегии 34 Задача: найти стратегию (алгоритм игры), который позволит получить лучший результат, если соперники играют безошибочно. Игры с полной информацией: можно определить, кто должен выиграть, по начальной позиции. Позиции: Какая задача? ? ? проигрышные – все возможные ходы ведут в выигрышные позиции выигрышные – хотя бы один ход ведёт в проигрышную позицию

35 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, В2В2 x1x1 В2В2 x2x2 x3x3 В3В3 Задача 35 В начале игры S камней. Ходы: «+1» (добавить 1) и «*2» (удвоить). Выигрыш: получить 14 камней. S В1В1 В1В1 В1В1 В1В1 В1В1 В1В1 В1В1 выигрыш за 1 ход Дерево игры: *2 игрок 1: *2 игрок 2: *2 +1

36 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Неполное дерево игры *2 игрок 1: *2 игрок 2: *2 игрок 1: 24 *2 14 *2 игрок 2: Задача: доказать выигрыш какого-то игрока. Для победителя – только 1 верный ход, для проигравшего – все возможные ответы. S x3x3 B3B3 B2B2 x2x2 B2B2 x1x1 В1В1 В1В1 В1В1 В1В1 В1В1 В1В1 В1В1 Какая стратегия у игрока 2? ? ? переводить игру в проигрышную (для соперника) позицию

37 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задачи В начале игры S камней. Ходы: «+2» (добавить 2) и «*2» (удвоить). Выигрыш: получить 25 камней. Построить дерево игры для S = В начале игры S камней. Ходы: «+1» (добавить 1) и «*3» (утроить). Выигрыш: получить 55 камней. Построить дерево игры для S = В начале игры S камней. Ходы: «+2» (добавить 2), «+3» (добавить 3) и «*2» (удвоить). Выигрыш: получить 30 камней. Построить дерево игры для S = Игра Баше. В начале игры S ( S 15 ) камней. Ходы: «-1» (взять 2), «-2» (взять 2) и «-3» (взять 3). Проигрыш: взять последний камень. Построить дерево игры для S = 12.

38 К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Моделирование § 8. Этапы моделирования 38

39 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, I. Постановка задачи 39 исследование оригинала изучение сущности объекта или явления анализ («что будет, если …») научиться прогнозировать последствий при различных воздействиях на оригинал синтез («как сделать, чтобы …») научиться управлять оригиналом, оказывая на него воздействия оптимизация («как сделать лучше») выбор наилучшего решения в заданных условиях Ошибки при постановке задачи приводят к наиболее тяжелым последствиям! ! !

40 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, I. Постановка задачи 40 Хорошо поставленная задача: описаны все связи между исходными данными и результатом известны все исходные данные решение существует задача имеет единственное решение Примеры плохо поставленных задач: Уроки в школе начинаются в В к школе подъехал красный автомобиль. Определите, когда Вася выйдет играть в футбол? Вася бросает мяч со скоростью 12 м/с. Где мяч впервые ударится о землю? Решить уравнение sin x = 4 (нет решений). Найти функцию, которая проходит через точки (0,1) и (1,0) (бесконечно много решений).

41 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, I. Постановка задачи (пример) 41 Спортсмен Вася в синей кепке бросает белый мяч со скоростью 12 м/с. Под каким углом к горизонту ему нужно бросить мяч, чтобы попасть в желтую мишень? Хорошо поставлена? ? ? Допущения: Мишень расположена на высоте 4 м на расстоянии 10 м от Васи. В момент броска мяч находится на высоте 2 м от земли. Всегда ли есть решение? ? ? Решение единственно? ? ?

42 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, II. Разработка модели 42 Спортсмен Вася в синей кепке бросает белый мяч со скоростью 12 м/с. Под каким углом к горизонту ему нужно бросить мяч, чтобы попасть в желтую мишень? Мишень расположена на высоте 4 м на расстоянии 10 м от Васи. В момент броска мяч находится на высоте 2 м от земли. 1) Определить существенные исходные данные. мяч и мишень материальные точки мишень неподвижна сопротивление воздуха не учитывается. 2) Выбор типа модели. Можно использовать несколько моделей! ! !

43 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, II. Разработка модели 43 Графическая модель 4 м 2 м 3) Формальная (математическая) модель, Задача: найти t и, такие что

44 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Уточнение диапазона углов 44 Диапазон углов для поиска:

45 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, II. Разработка модели 45 4) Алгоритм моделирования Метод I. Меняем угол. Для выбранного угла строим траекторию полета ореха. Если она проходит выше мишени, уменьшаем угол, если ниже – увеличиваем. Метод II. Из первого равенства выражаем время полета: Меняем угол. Для выбранного угла считаем t, а затем – значение y при этом t. Если оно больше H, уменьшаем угол, если меньше – увеличиваем. не надо строить всю траекторию для каждого

46 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, II. Разработка модели 46 5) Компьютерная модель программа (Паскаль, Си, …) электронные таблицы (Excel, OpenOffice.org Calc) среды моделирования (Simulink, VisSim)

47 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, III. Тестирование модели 47 Тестирование – это проверка модели на простых исходных данных с известным результатом. а) тестирование математической модели: при t = 0 x = 0, y = 0 (в начале координат) при v 0 = 0 x = 0, (падение вниз) при = 90 x = 0 при увеличении t парабола «загибается» вниз б) тестирование компьютерной модели: (пробные расчёты в рассмотренных условиях) Доказывает ли успешное тестирование правильность модели? ? ?

48 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, IV. Эксперимент с моделью 48 Эксперимент – это исследование модели при тех исходных данных, которые нас интересуют (результат заранее неизвестен). 1)задаём угол 2)находим время 3)находим высоту Диапазон углов для поиска: Можно ли сразу использовать двоичный поиск? ? ? y < H Как отделить два решения? ? ? построить график y ( ) Может быть два решения! ! !

49 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, V. Анализ результатов эксперимента 49 Возможные выводы: задача решена, модель адекватна необходимо изменить алгоритм или условия моделирования необходимо изменить модель (учесть дополнительные свойства) необходимо изменить постановку задачи Необходима проверка на оригинале! ! !

50 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, V. Анализ результатов 50 всегда ли Вася сможет попасть в мишень? если начальная скорость отличается от заданной? если мяч и мишень не считать материальными точками? как сильно влияет сопротивление воздуха? если мишень качается? и т.д….

51 К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Моделирование § 9. Моделирование движения 51

52 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задача 52 вверхвниз найти h max найти v при приземлении Какой тип движения? ? ? плотность воздуха площадь сечения площадь сечения шар: С = 0,4 кг/м 3 равномерное? равноускоренное? не меняется! Какая ещё сила? ? ?

53 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Математическая модель 53 В проекции на ось OY: всегда противоположна v Силы меняются ускорение меняется! ! ! Методы решения: аналитический (высшая математика) численное моделирование

54 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Дискретизация 54 Дискретная модель описывает состояние системы при шаг дискретизации Задача: зная ( y i, v i, a i ) при t i = i найти ( y i+1, v i+1, a i+1 ) при t i+1 = (i+1) Допущение: силы (и ускорение) не меняются на интервале [t i, t i+1 ] Вычисления:

55 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Компьютерная модель 55 t:= 0; v:= v0; y:= 0 k:= ro*C*S/2 нц пока y >= 0 F:= - k*abs(v)*v | сила сопротивления a:= - g + F/m | ускорение y:= y + v*delta + a*delta*delta/2 | координата v:= v + a*delta | скорость t:= t + delta | время кц t:= 0; v:= v0; y:= 0 k:= ro*C*S/2 нц пока y >= 0 F:= - k*abs(v)*v | сила сопротивления a:= - g + F/m | ускорение y:= y + v*delta + a*delta*delta/2 | координата v:= v + a*delta | скорость t:= t + delta | время кц Как найти h max ? ? ? если y > h то h:= y все если y > h то h:= y все

56 К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Моделирование § 10. Математические модели в биологии 56

57 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Модель неограниченного роста (Т. Мальтус) 57 – начальная численность – численность через i периодов рождаемость смертность Особенности модели: 1)не учитывается влияние численности N и внешней среды на K 2)не учитывается влияние других видов на K

58 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Модель ограниченного роста (П. Ферхюльст) 58 L – предельная численность животных Идеи: 1)коэффициент прироста K L зависит от численности N 2)при N=0 должно быть K L =K (начальное значение) 3)при N=L должно быть K L =0 (достигнут предел) Модель адекватна, если ошибка < 10%! ! !

59 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Модель с отловом 59 рыбоводческое хозяйство, разведение пушных зверей, … отлов, прирост = отлову Какая будет численность? L ? ? ? Сколько можно вылавливать? ? ?

60 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Модель «хищник-жертва» 60 Модель – не-система: караси щуки Модель – система: 1)число встреч пропорционально N i Z i 2)«эффект» пропорционален числу встреч численность уменьшается численность увеличивается вымирают без еды

61 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Модель «хищник-жертва» 61 Хищники вымирают:Равновесие: караси щуки караси щуки

62 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Модель «хищник-жертва» 62 Колебания:

63 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Обратная связь 63 Модель неограниченного роста: популяция обратная связь популяция Модель ограниченного роста:

64 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Саморегуляция 64 Саморегуляция – это способность системы поддерживать свое внутреннее состояние за счет связей между элементами. гибель животных Саморегуляция только при малых отклонениях! ! ! обратная связь обратные связи жертвы хищники

65 К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Моделирование § 11. Системы массового обслуживания 65

66 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, СМО Системы массового обслуживания (СМО) 66 магазин, банк, служба ремонта, касса… заявки очередь каналы обслуживания обслуженные заявки заявки поступают через случайные интервалы время обслуживания – случайная величина Нужна вероятностная модель! ! ! Особенности:

67 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Модель работы банка 67 за 1 минуту входит P клиентов время обслуживания T минут Сколько нужно касс? ? ? K – количество касс за 1 минуту входит от 0 до P max клиентов время обслуживания от T min до T max минут изменение числа клиентов в банке средняя длина очереди среднее время ожидания Q i T i Допущение: распределение равномерное вошли за i -ую минуту обслужены за i -ую минуту Детерминированная модель: Вероятностная модель:

68 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Модель работы банка 68 Как найти R i ? ? ? K касс работают с одинаковой скоростью, но эта скорость меняется каждый интервал T i – случайное время обслуживания (от T min до T max ) обслужено за 1 интервал на 1 кассе 1/T, на всех кассах Задача: выбрать K так, чтобы среднее время ожидания было больше допустимого в течение не более 5% от полного времени моделирования. «плохие минуты»: допустимое время ожидания Допущение:

69 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Модель работы банка 69 K:= 2 | меняем количество касс Pmax:= 4 | макс. число входящих за 1 мин Tmin:= 1 | мин. время обслуживания Tmax:= 9 | макс. время обслуживания L:= 480 | период моделирования M:= 15 | допустимое время ожидания N:= 0 | сначала в банке никого нет count:= 0 | счетчик «плохих» минут K:= 2 | меняем количество касс Pmax:= 4 | макс. число входящих за 1 мин Tmin:= 1 | мин. время обслуживания Tmax:= 9 | макс. время обслуживания L:= 480 | период моделирования M:= 15 | допустимое время ожидания N:= 0 | сначала в банке никого нет count:= 0 | счетчик «плохих» минут Что выводить в результате? ? ? касс достаточно Сравнить с детерминированной моделью! ! !

70 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Модель работы банка (Ку Мир) 70 нц для i от 1 до L P:= irand(0,PMax) T:= rand(Tmin,Tmax) R:= int(K / T) N:= N + P - R если N < 0 то N:= 0 все dT:= N / K * T если dT > M то count:= count + 1 все кц нц для i от 1 до L P:= irand(0,PMax) T:= rand(Tmin,Tmax) R:= int(K / T) N:= N + P - R если N < 0 то N:= 0 все dT:= N / K * T если dT > M то count:= count + 1 все кц Паскаль

71 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Модель работы банка (Паскаль) 71 for i:=1 to L do begin P:= random(PMax); T:= Tmin + random*(Tmax - Tmin); R:= round(K / T); N:= N + P - R; if N < 0 then N:= 0; dT:= N / K * T; if dT > M then count:= count + 1 end; for i:=1 to L do begin P:= random(PMax); T:= Tmin + random*(Tmax - Tmin); R:= round(K / T); N:= N + P - R; if N < 0 then N:= 0; dT:= N / K * T; if dT > M then count:= count + 1 end;

72 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Уточнение модели 72 за 1 минуту входит от 0 до P max клиентов Допущение: распределение равномерное Распределение Пуассона: P вероятность того, что P = k P среднее Получение из равномерного распределения: метод обратных функций

73 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Распределение Пуассона (Ку Мир) 73 алг цел Poisson(цел Lam) нач вещ s, r, alpha; цел k r:= exp(-Lam); s:= r k:= 0 alpha:= rand(0,1) нц пока s < alpha k:= k + 1 r:= r * Lam / k s:= s + r кц знач:= k кон алг цел Poisson(цел Lam) нач вещ s, r, alpha; цел k r:= exp(-Lam); s:= r k:= 0 alpha:= rand(0,1) нц пока s < alpha k:= k + 1 r:= r * Lam / k s:= s + r кц знач:= k кон

74 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Распределение Пуассона (Паскаль) 74 function Poisson(Lam: integer): integer; var s, r, alpha: real; k: integer; begin r:= exp(-Lam); s:= r; k:= 0; alpha:= random; while s < alpha do begin k:= k + 1; r:= r * Lam / k; s:= s + r end; Poisson:= k end; function Poisson(Lam: integer): integer; var s, r, alpha: real; k: integer; begin r:= exp(-Lam); s:= r; k:= 0; alpha:= random; while s < alpha do begin k:= k + 1; r:= r * Lam / k; s:= s + r end; Poisson:= k end;

75 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Конец фильма ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич д.т.н., учитель информатики ГБОУ СОШ 163, г. Санкт-Петербург ЕРЕМИН Евгений Александрович к.ф.-м.н., доцент кафедры мультимедийной дидактики и ИТО ПГГПУ, г. Пермь

76 Моделирование, 11 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Источники иллюстраций physicon.ruphysicon.ru biohimija.rubiohimija.ru 7.ecosafe.spbu.ruecosafe.spbu.ru dsdesign.ru3dsdesign.ru 13.en.wikipedia.orgen.wikipedia.org 14.ru.wikipedia.orgru.wikipedia.org 15. иллюстрации художников издательства «Бином» 16. авторские материалы