Здесь ведь как с дыркой от бублика. Скажем ли мы: "внутри нет ничего", или будем утверждать: "есть дырка", - все это сплошные абстракции, и вкус бублика. - презентация

1 Здесь ведь как с дыркой от бублика. Скажем ли мы: "внутри нет ничего", или будем утверждать: "есть дырка", - все это сплошные абстракции, и вкус бублика от них не изменится.

2 В Толковом словаре русского языка В С.И.Ожегова и Н.Ю.Шведовой дается такое определение: цели в нужном для нас смысле: Цель - 2. Предмет стремления, то, что надо, желательно осуществить. Во всемирной Интернет - энциклопедии ( Википедия) этот термин определяется так: Цель: желаемый результат (предмет стремления); то, что хочется осуществить. чётко описанное желательное состояние, которого необходимо достигнуть. предвосхищаемый в сознании результат деятельности. Это определение практически совпадает с определением Ожегова. В Большом бухгалтерском словаре, имеется следующее определение: Цель: 1. предмет стремления, то что надо осуществить; задача, которую необходимо решить; 2. характеристика поведения системы, направленного на достижение определенного конечного состояния. Обычно формальным выражением Ц. является целевая функция системы. Поведение системы часто удобно описывать в терминах Ц. и средств ее достижения.

3 Целевая функция Функция, связывающая цель (оптимизируемую переменную) с управляемыми переменными в задаче оптимизации. В широком смысле целевая функция есть математическое выражение некоторого критерия качества одного объекта (решения, процесса и т.д.) в сравнении с другим. Цель – найти такие оценки, при которых целевая функция достигает минимума. Важно, что критерий всегда привносится извне, и только после этого ищется правило решения, которое минимизирует или максимизирует целевую функцию. Задачей оптимизации в математике называется задача о нахождении экстремума (минимума или максимума) вещественной функции в некоторой области. Как правило, рассматриваются области, принадлежащие R n и заданные набором равенств и неравенств.

4 Постановка задачи оптимизации. Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации необходимо задать: 1 Допустимое множество множество X={x g i (x ) 0, i=1,…,m}; 2 Целевую функцию отображение f:X R; 3 Критерий поиска (max или min). Тогда решить задачу f(x) min (x X) означает одно из: 1 - Показать, что X=. 2 - Показать, что целевая функция f(x ) не ограничена. 3 - Найти x * X:f(x *)=min f(x ) (x X). 4 - Если x *, то найти inf f(x ). Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек x 0 таких, что всюду в некоторой их окрестности f(x) f(x 0 ) для минимума и f(x) f(x 0 ) для максимума. Если допустимое множество X=R n, то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае задачей условной оптимизации.

5 Полезность блага или товара есть способность его удовлетворять какой-нибудь человеческой потребности. Полезность блага тем выше, чем большему числу потребителей оно служит, чем настоятельнее и распространеннее эти потребности и чем лучше и полнее оно их удовлетворяет. Полезность является необходимым условием для того, чтобы какой-нибудь предмет приобрел меновую ценность. Некоторые экономисты пытались даже построить на Полезности теорию меновой ценности (см. Ценность). Ценность значимость (польза, полезность) некоторого множества объектов для множества живых существ. Употребляется в нескольких смыслах: «Ценность» как название предмета, обозначающее признание его значимости. Разделяют «Материальные ценности» и «Духовные ценности». Известно понятие «Вечные ценности». «Ценность» в экономике используется как синоним понятию «потребительная стоимость», т.е. значимость, полезность предмета для потребителя.

6 Функция полезности экономическая модель для определения предпочтений экономических субъектов. Основоположным условием концепта функции полезности является рациональное поведение потребителя, выражающееся в выборе из многочисленных альтернатив именно тех, которые выводят его на более высокий уровень полезности. В микроэкономике концепт функции полезности служит для объяснения поведения потребителей и производителей, в то время как в макроэкономике им пользуются для изображения предпочтений государственных интересов. Первая производная функции полезности по количеству определённого блага U/ Ci называется предельной полезностью этого блага. Предельная полезность выражает, сколько дополнительной полезности приносит дополнительная единица блага i. Предельная полезность, равная 0, означает достижение насыщенности.

7 Терминология в алгебраических системах и моделях Алгебраической системой (или просто системой) называется объект A=, состоящий из трех множеств: непустого множества A, множества операций F = {F 0, …,F,…} и множества предикатов P = {P 0,…,P,…}, заданных на множестве A. Множество A называется носителем или основным множеством системы A. В отличие от других операций и предикатов, которые могут быть определены на множестве A, операции F i и предикаты P j называются основными или главными. Значения главных нульарных операций системы называются главными или выделенными элементами этой системы. Объединяя множества, F и P системы A и полагая =, F P, мы можем записать систему A более кратко: A=. Очень часто множество называют сигнатурой. Алгебраическая система A= называется алгеброй, если P =, и моделью или реляционной системой, если F =.

8 n-арная операция на A - это отображение прямого произведения n экземпляров множества в само множество A n A. По определению, 0-арная операция это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать. Но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности. Операция отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин операция как правило применяется к арифметическим или логическим операциям, в отличие от термина оператор, который чаще применяется к некоторым отображением множества на себя, имеющим замечательные свойства

9 Предикат (n-местный, или n-арный) это функция с множеством значений {0,1} (или «ложь» и «истина»), определённая на n-й декартовой степени множества M. Таким образом, каждый набор элементов множества M он характеризует либо как «истинный», либо как «ложный». Предикат можно связать с математическим отношением: если n-ка принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней 1. Высказыванием называется утверждение, о котором совершенно точно можно сказать, истинно оно или ложно. Если использовать термин "высказывание", то можно дать другое определение термину "предикат". Выражение с n переменными, определенными на заданных областях, которое становятся высказыванием при любой подстановке допустимых значений переменных, называется n- местным предикатом. Предикаты часто записывают в виде P(x), Q(x,y).

10 Прямое или декартово произведение множеств множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические и т. д.), существующие на перемножаемых множествах. Сейчас термин отображение чаще всего называют функцией. Нестрогое определение: функция это «закон», по которому каждому элементу x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.

11 Теоретико-множественное определение: функция или отображение это кортеж множеств F = (f,X,Y), обладающий следующими свойствами: f X Y (декартово произведение X и Y) (x,y) f, (x',y') f, x = x' y = y'. x X y Y : (x,y) f. Для обозначения отображения используются такие формулы: F = (f, X, Y), F:X Y для отображения F множества X в множество Y. Множество X называется областью определения отображения F. Множество Y называется областью значений отображения F. (x,y) f, y=F(x) Элементы x называют аргументами функции, а соответствующие элементы y значениями функции.

12 В математике кортеж последовательность конечного числа элементов. Многие математические объекты формально определяются как кортежи. Например, граф определяется как кортеж (V,E), где V это набор вершин, а E подмножество V × V, обозначающее рёбра. Отношение математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам (симметричность, транзитивность и пр.). Формальное определение отношения. n-местным (n-арным) отношением, заданным на множествах M 1,M 2,…,M n, называется подмножество прямого произведения этих множеств. Иногда понятие отношения определяется только для частного случая M=M 1 =M 2 =…=M n для отношения R. Тогда факт принадлежности n-ки этому отношению можно записать как: x 1,x 2,…,x n R

13 Формулы и первичные символы Следует рассмотреть, какие первичные символы могут использоваться при записи формул в алгебраической системе. Это прежде всего числа, переменные, символы арифметических операций: +, -, *(умножить), /(разделить); символы логических операций:,,, (если то), (тогда и только тогда, равнозначность, эквивалентность); символы операций отношения:,,,,, ; кванторы предикатов: (для всех), (существует); символы операций над множествами:,,,,,,, (если то), (тогда и только тогда, равнозначность, эквивалентность) ; круглые скобки (, ) для определения последовательности выполнения операций; и др.

14 Примеры записи и чтения Высказывание xP(x) означает, что область истинности предиката P(x) совпадает с областью значений переменной x. («Его можно читать так: Для все значений x высказывание P(x) верно»). Высказывание xP(x) означает, что область истинности предиката P(x) непуста. («Его можно читать так: Существует x при котором высказывание P(x) верно»). Пример записи высказывания с использованием предикатов: A=B ( x)[x A x B] Квадратные скобки [ ] задают область определения. Здесь приведена аксиома равенства двух множеств A и B. Аксиома читается так: Множества A и B равны, тогда и только тогда, когда для всех x в области определения выполняется условие: x принадлежит A тогда и только тогда, когда x принадлежит B. Другой пример. Определение декартова произведения через предикаты. A B = {(x,y) x A y B} Определение читается так: Декартово произведение множеств A и B - это множество (фигурные скобки) пар (x,y) таких, что x принадлежит A и y принадлежит B.

15 Формальная (аксиоматическая) теория Формальная (аксиоматическая) теория, формальное исчисление это понятие, разработанное в рамках формальной логики в качестве основы для формализации теории доказательства. Формальная теория разновидность дедуктивной теории, где множество теорем выделяется из множества формул путем задания множества аксиом и правил вывода. Определение Формальная теория T это: - конечное множество A символов, образующих алфавит; - конечное множество F слов в алфавите A, F A*, которые называются формулами; - подмножество B формул, B F, которые называются аксиомами; - множество R отношений R на множестве формул, R R, R F n+1, которые называются правилами вывода.

16 Можно сказать, что формальная теория T это четверка: T= где A – алфавит, F – множество формул, F A*; B – множество аксиом, B F; R – множество правил вывода, R R, R F n+1. Множество символов A может быть конечным или бесконечным. Обычно для образования символов используют конечное множество букв, к которым при необходимости приписываются в качестве индексов целые числа или выражения. Множество формул F обычно задаётся индуктивным определением, например, с помощью формальной грамматики. Как правило, это множество бесконечно. Множества A и F в совокупности определяют язык или сигнатуру формальной теории. Множество аксиом B может быть конечным или бесконечным. Если множество аксиом бесконечно, то, как правило, оно задаётся с помощью конечного числа схем аксиом и правил порождения конкретных аксиом из схемы аксиом. Обычно аксиомы делятся на два вида: логические аксиомы (общие для целого класса формальных теорий) и нелогические или собственные аксиомы (определяющие специфику и содержание конкретной теории). Множество правил вывода R, как правило, конечно.

17 Математическая формула (от лат. formula уменьшительное от forma образ, вид ) всякая символическая запись (в виде выражения, равенства или неравенства), содержащая какую-либо информацию. По сути это символьные выражения либо точного, либо приближенного, либо неверного соответствия между математическими выражениями. Аксиома (др.-греч. ξίωμα утверждение, положение) или постулат утверждение (факт), принимаемое истинным без доказательства, а также как «фундамент» для построения доказательств. Теорема (др.-греч. θεώρημα «зрелище, вид; взгляд; представление, положение») утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод). Частным случаем теорем являются аксиомы, которые принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований. Для аксиом доказательством служит пустой вывод. В математических текстах теоремами обычно называют только достаточно важные утверждения. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения). Менее важные утверждения- теоремы обычно называют леммами, предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами.

18 Материя фундаментальное физическое понятие, связанное с любыми объектами, существующими в природе, о которых можно судить благодаря ощущениям.

19 В математике доказательством называется цепочка логических умозаключений, показывающая, что при каком-то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое утверждение. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при желании можно восстановить формальное доказательство. Доказанные утверждения в математике называют теоремами (в математических текстах обычно подразумевается, что доказательство кем-либо найдено; исключения из этого обычая в основном составляют работы по логике, в которых исследуется само понятие доказательства); если ни утверждение, ни его отрицание ещё не доказаны, то такое утверждение называют гипотезой. Иногда в процессе доказательства теоремы выделяются доказательства менее сложных утверждений, называемых леммами.

20 Заключение Из выше сказанного можно сделать вывод, что формальную теорию можно охарактеризовать, используя следующие главные компоненты: - Основные символы (алфавит); - правила образования слов (формул); - аксиомы; - правила вывода. Множество основных символов содержит символы для обозначения констант, операторов и т.д. Из этих символов, согласно правилам образования, строятся утверждения (формулы). Первичные утверждения, истинность которых принимается без доказательства, называются аксиомами системы. В соответствии с правилами вывода из истинных утверждений выводятся новые истинные утверждения – теоремы.

21 Если требуется доказать истинность утверждения в той или иной формальной системе, то соответствующее доказательство представляет собой такую последовательность утверждений, в которой: каждое утверждение является аксиомой или его можно получить из одного или более предыдущих утверждений с помощью ряда правил вывода; последнее утверждение является тем утверждением, которое надо доказать. Для сокращения длины доказательств используют следующие приёмы: а) утверждения, ранее доказанные как теоремы, вставляются в доказательства без доказательства их истинности; б) некоторые достаточно очевидные утверждения могут быть опущены (использованы неявно).