Математические схемы моделирования систем технических объектов и систем управления Выполнили магистранты МАУ-12 Жумабаев Азамат, Куанышева Айжан Министерство. - презентация

1 Математические схемы моделирования систем технических объектов и систем управления Выполнили магистранты МАУ-12 Жумабаев Азамат, Куанышева Айжан Министерство образования и науки Республики Казахстан Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева Факультет информационных технологий Кафедра системного анализа и управления

2 Моделирование систем как метод научного познания Моделирование – это процесс замещения объекта исследования его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте. Модель – это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта. Теория моделирования – это теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моделями) и исследования свойств объектов на моделях.

3 Теория моделирования

4 Адекватность модели Адекватность - способность модели отражать важные для исследователя свойства объекта: законы, которым он подчиняется; связи между составляющими объекта и т.п. Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства объекта с приемлемой точностью

5 Построение модели

6 Требования к модели 1. Модель не должна быть более точной, чем это необходимо для конкретной поставленной задачи исследования. 2. Модель должна быть простой, удобной для исследования и достаточно чувствительной к исследуемым свойствам объекта-прототипа.

7 Примеры моделей Модель автомобиля, сохраняющая только конструктивные особенности объекта в статике: жесткость кузова (без покраски), масса двигателя (неработоспособная модель) и т.п. Модель автомобиля, сохраняющая только конструктивные особенности объекта в динамике: жесткость кузова (без покраски), работоспособный двигатель, подвеска, тормозная система, резина и т.п.

8 Классификация видов моделирования систем

9 Производственный эксперимент

10 Научный эксперимент

11 Комплексные испытания

12 Основные понятия математического моделирования Сущность математического моделирования состоит в замене исходного объекта исследования его абстрактным образом – математической моделью – и дальнейшем изучении уже не реального объекта, а его модели.

13 Исторические этапы развития методов математического моделирования 1. Разработка отдельных элементов и методов математического моделирования, связанных с развитием точных наук, как-то интегрального и дифференциального исчисления, вычислительной математики. 2. Появление ЭВМ, взявших на себя объемы вычислительной работы, и соответствующее широкое использование известных в теории математических вычислительных методов как в гражданских отраслях, так и в оборонных целях. 3. Качественный рост производительности ЭВМ совпавший с появлением принципиально новых математических методов описания слабо формализуемых, так называемых «сложных» или «больших» систем, подверженных «проклятию размерности» и не поддающихся описанию в нужной полноте и точности обычными теоретическими методами, что обусловило всеобъемлющее использование математического моделирования и его становление как составной части формирующегося глобального информационного сообщества, поскольку в возникла необходимость описания и исследования на качественно новом уровне точности сложных интегрированных технических, экономических, экологических и информационных систем.

14 Принято выделять следующие задачи математического моделирования 1. Прямая задача (задача анализа): по известным физическим, химическим, биологическим, экономическим и др. законам, действующим в исследуемой системе необходимо определить, как будет вести себя система в целом. В этом случае структура и параметры исследуемой системы известны и изучается поведение модели в различных условиях. 2. Обратная задача (задача идентификации): по наблюдаемым в реальной системе процессам, анализируя поведение системы в целом, необходимо выяснить, какими законами описывается поведение системы, выявить структуру и определить неизвестные параметры модели. 3. Задача управления (задача синтеза): базируясь на проведенном решении прямой и обратной задач, необходимо модифицировать модель и соответственно структуру исследуемой системы таким образом, чтобы поведение системы отвечало определенным требованиям разработчика.

15 Этапы построения модели

16 1. На первом этапе строится абстрактный эквивалент объекта, отражающий в математической форме законы и связи, действующие в системе. Модель и ее отдельные фрагменты исследуются теоретическими методами, что позволяет получить предварительные знания об объекте. 2. На втором этапе разрабатывается алгоритм для компьютерной реализации модели. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций. На данном этапе следует обратить внимание на то, чтобы вычислительные алгоритмы не исказили основные свойства исходного объекта и его математической модели. 3. На третьем этапе алгоритм доводится до состояния программной реализации в виде так называемого электронного эквивалента изучаемого объекта, экономичного и адаптированного к особенностям решаемых задач и техническим возможностям задействованных средств моделирования с учетом особенностей исходного объекта. В случае несоответствия электронного эквивалента объекту-прототипу процесс создания модели повторяется с учетом ранее не принятых во внимание факторов.

17 Подзадачи перехода от реального объекта к его абстрактному математическому эквиваленту 1. Создание качественной математической модели. Выявляются законы и связи, действующие в системе. Из всего многообразия физических, химических биологических, экономических и прочих взаимодействий выделяются главные, определяющие поведение объекта. При построении модели учитываются только наиболее значимые факторы, влияющие на состояние объекта. 2. Создание количественной математической модели. Значимым законам и связям, действующим в системе, дается математическая трактовка в виде математических объектов и отношений между ними в виде переменных, уравнений, правил и т.п. объектов и отношений.

18 Классификация математических моделей

19 Классификация в зависимости от степени абстрагирования при описании свойств системы Метауровень соответствует наиболее крупному масштабу проектирования, в котором рассматривается объект в целом и осуществляется научный поиск, прогнозирование и разработка концепции математической модели. Для мета уровневых моделей характерно использование методов теории графов, математической логики, теории конечных автоматов, теории массового обслуживания, теории автоматического управления. Макроуровень соответствует большему масштабу детализации системы. Объект рассматривается как совокупность взаимодействующих между собой отдельных функциональных элементов. Для макроуровневых моделей характерно математическое описание составных частей объекта уравнениями с сосредоточенными параметрами. Микроуровень соответствует наиболее детальному масштабу изучения системы. Рассматривается состояние и поведение отдельных функциональных элементов системы с учетом внутреннего состояния каждого отдельного элемента. Для микроуровневых моделей характерно детальное математическое описание составных частей объекта с учетом внутреннего состояния отдельных элементов при помощи уравнений с сосредоточенными и распределенными параметрами.

20 Классификация в зависимости от формы представления математических моделей Инвариантная модель. Математическая модель представлена в виде функциональных соотношений (алгебраических, интегральных, дифференциальных, конечно-разностных и т.п.) и логических условий вне связи с методами преобразования этих функциональных соотношений (решения уравнений, упрощения логических условий и т.п.). Аналитическая модель. Математическая модель в виде явных общих зависимостей между входными, выходными переменными и параметрами объекта. Эти зависимости могут быть получены двумя путями. Непосредственные модели получают путем аналитического решения уравнений инвариантной модели. Идентификационные модели получают путем решения обратной задачи (задачи идентификации) на основе экспериментальных данных, описывающих поведение объекта, при помощи одного из методом идентификации: регрессионного анализа, спектрального оценивания и т.д Алгоритмическая модель. Математическая модель в виде частных зависимостей между входными, выходными переменными и параметрами объекта. Графическая модель. Математическая модель в виде графиков, функциональных, кинематических и алгоритмических схем, диаграмм, циклограмм, графов, таблиц и т.п. Для создания графической модели необходимо существование правила однозначного соответствия компонент инвариантной математической модели в графическом виде.

21 Классификация по характеру отображаемых свойств объекта Структурная модель отражает общую структуру объекта на мета уровне и используется для решения задач структурного синтеза и выбора общего технического решения. Функциональная модель описывает процесс функционирования как объекта в целом, так и его составных частей. Используется на макроуровне для решения задач выбора параметров составных частей объекта управления. Технологическая модель представляет собой систему конкретных технических решений, связанных с процессом изготовления объекта.

22 Классификация по способу получения Теоретическая модель строится на основе изучения закономерностей функционирования объекта и описания процессов функционирования объекта. При построении теоретической модели учитываются внутренние свойства объекта и процессы взаимодействия между отдельными компонентами системы. Эмпирическая модель строится на основе изучения внешних проявлений свойств объекта и поведения объекта во внешней среде в качестве «черного ящика». При построении эмпирической модели математически описываются экспериментально установленные связи между отдельными параметрами системы, без учета характера законов, вызвавших появление этих связей. Комбинированные модели строятся на основе комбинации вышеописанных теоретических и эмпирических методов построения, как правило в случае, когда экспериментальные зависимости, от которых отталкиваются при построении эмпирической модели, получены не при физическом эксперименте на реальном объекте, а при вычислительном эксперименте на математической модели этого объекта.

23 Классификация по характеру математического аппарата Линейные/Нелинейные – в зависимости от линейности/нелинейности математических зависимостей, входящих в модель. Непрерывные/Дискретные – в зависимости от характера переменных, фигурирующих в модели. Детерминированные/ Статистические – в зависимости от того, отражает ли математический аппарат случайный характер параметров объекта и свойств внешней среды. Статические/Динамические – в зависимости от того, отражает ли математический аппарат изменение во времени параметров объекта и свойств внешней среды.

24 Классификация по способу реализации Аналоговые модели реализуются на аналоговых вычислительных машинах (АВМ), носителем информации в которых являются непрерывные сигналы. Аналоговое моделирование основывается на свойствах изоморфизма различных физических явлений. Изоморфизм заключается в том, что различные по своей физической природе процессы описываются одинаковыми математическими конструкциями. В этом случае изучение одних физических явлений может быть заменено изучением других, изоморфных исходным и более удобных для исследования. Цифровые модели реализуются на цифровых вычислительных машинах (ЦВМ), носителем информации в которых являются дискретные сигналы. Сущность цифрового моделирования состоит в реализации математических моделей средствами прикладного программного обеспечения ЦВМ. Гибридные модели реализуются на аналого-цифровых вычислительных машинах и комплексах (АЦВМ, АЦВК), сочетающих достоинства аналогового и цифрового моделирования: скорость и точность АВМ; гибкость, наглядность и удобство ЦВМ. Нейронечеткие модели реализуются при помощи интеллектуальных вычислительных устройств нового поколения, реализующих т.н. «мягкие вычисления»: нейрокомпьютеров и нечетких вычислительных систем, алгоритм работы которых, базируется на методах, принципиально отличных от двоичной логики.