Как извлечь корень? Выполнила: Шевелёва Татьяна,8а класс Учитель: Шевелёва С.В. - презентация

1 Как извлечь корень? Выполнила: Шевелёва Татьяна,8а класс Учитель: Шевелёва С.В.

2 Десять страниц математики понятой лучше ста страниц, заученных на память и непонятных, а одна страница, самостоятельно проработанная, лучше десяти страниц, понятых отчётливо, но пассивно. Юнг Д.

3 Цель работы: Рассмотреть способы нахождения приближённых значений арифметического квадратного корня без использования таблиц и калькуляторов.

4 Актуальность работы: Сейчас мы не можем представить себе свою жизнь без использования калькуляторов. Мы их применяем при решении самых различных задач, в том числе и для извлечения квадратного корня из различных чисел. Но ведь калькуляторы появились в конце XX века, поэтому мне стало интересно, как же извлекали квадратные корни из чисел до появления калькуляторов.

5 Немного истории Некоторые немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой. Эту точку ставили перед числом, из которого нужно извлечь корень. Например, 25

6 Позднее вместо точки ставили ромбик, 25

7 Впоследствии ставили знак и над выражением, из которого извлекался корень, проводили черту. 25

8 Затем знак и черту стали соединять:

9 Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а. = 2, т. к. 2² = 4, = 7, т. к. 7² = 49, = 1,1, т. к. 1,1² = 1,21 = ?

10 А как же быть, если нужно извлечь ? Несколько способов: воспользоваться калькулятором; воспользоваться таблицей В.М. Брадиса; Воспользоваться алгоритмом извлечения «вручную».

11 Рассмотрим несколько алгоритмов извлечения «вручную»

12 1-й алгоритм извлечения «вручную»: Найдём приближённое значение. Так как 1² < 2 < 2 ², то 1 < < 2. Значит, 1,…. Найдём цифру десятых. Для этого будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3; и т.д., пока не получим число, большее 2. 1,1² = 1,21; 1,2² = 1,44; 1,3² = 1,69; 1,4² = 1,96; 1,5² = 2,25. Так как 1,4² < 2 < 1,5²,то 1,4 < < 1,5, значит 1,4….

13 1-й алгоритм извлечения «вручную»: Итак, = 1,4… Чтобы найти цифру сотых, будем последовательно возводить в квадрат десятичные дроби 1,41; 1,42; 1,43; и т.д. 1,41² = 1,9881; 1,42² = 2,0164 Получили 1,41 < < 1,42. Значит, = 1,41…. Продолжая этот процесс, найдём что десятичная запись числа начинается так: 1,414…. Поэтому 1,414.

14 2-й алгоритм извлечения «вручную»: Пусть надо извлечь, или иначе говоря, решить квадратное уравнение х² = 2. Разделим правую и левую части уравнения на х: х =. Получается, что извлечь корень – это то же самое, что разделить данное число на другое число, но делитель надо найти такой, чтобы он был равен частному. Попробуем – наугад – разделить 2 на 1,5:

15 2-й алгоритм извлечения «вручную»: Попробуем – наугад – разделить 2 на 1,5: _2 1,5 1,5 1,33… _ Мы взяли делитель 1,5, частное получилось 1,33. Эти числа, к сожалению, не равны, одно велико, другое мало. Возьмём приближённое значение их среднего арифметического: (1,5+1,33):2 = 1,415.

16 2-й алгоритм извлечения «вручную»: (1,5+1,33):2 = 1,415 Будем теперь делить 2 на это число: _2 1,415 1,415 1,4134 _ _ _ _ На этот раз первые три цифры делителя и частного совпали, это и есть первые три цифры = 1,41…. Опять действуем по тому же правилу: ( ,4134 ) : 2 = 1,4142

17 2-й алгоритм извлечения «вручную»: ( ,4134 ) : 2 = 1,4142 _2 1,4142 1,415 1, _ _ _ _ Теперь уже совпали пять цифр, т.е. = 1,4142….

18 2-й алгоритм извлечения «вручную»: Итак, теперь уже совпали пять цифр, т.е. = 1,4142…. Достаточно вам такой точности? Если да, то остановитесь, если нет – делите 2 на 1,41421, т. е. на полусумму новых делителя и частного.

19 3-й алгоритм извлечения «вручную»: Пусть надо извлечь квадратный корень из числа 6118,99. Поступать будем следующим образом. Разобьём данное число на группы по две цифры в каждой, считая от запятой влево. 18, 99 =

20 3-й алгоритм извлечения «вручную»: 18, 99 = 7… Подберём число, квадрат которого является 49 ближайшим к двум цифрам левой грани ( 7² = 49 < 61), запишем его справа от знака равенства, квадрат этого числа запишем ниже числа, из которого извлекается корень, вычтем этот квадрат ( как при делении чисел).

21 3-й алгоритм извлечения «вручную»: 18, 99 = 78, 223… Число, записанное справа от 49 знака равенства, удвоим и 148 _ запишем слева от разности (7· 2 = 14 ) _34 99 Припишем теперь к этому произведению такую цифру _ (её же припишем и к уже записанным цифрам корня), _ чтобы произведение (148 · 8 = = 1184) было возможно ближе к записанной ранее разности - это снова напоминает обычное деление. Будем продолжать этот процесс, пока не достигнем необходимой нам точности.

22 Вывод: Существуют различные способы извлечения квадратного корня без использования таблиц и калькуляторов. Они способствуют развитию логического мышления и повышают интерес к математике.

23 Литература: «Школьникам о математике и математиках» Пособие для учащихся 4-8классов средней школы Составитель М.М.Лиман Москва «Просвещение» 1981 «История математики в школе VII – VIII классы» Г.И.Глейзер Пособие для учителей Москва «Просвещение» 1982 «Арифметика и алгебра в древнем мире» М.Я.Выгодский Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы Москва 1967 «За страницами учебника алгебры» Л.Ф.Пичурин Книга для учащихся 7-9 классов средней школы Москва «Просвещение» 1990