Гауссова кривая Закон больших чисел Выполнила: Ромашева Мария, ученица 11Б класса МОУ «Гимназия 11» - презентация

1 Гауссова кривая Закон больших чисел Выполнила: Ромашева Мария, ученица 11Б класса МОУ «Гимназия 11»

2 Явление статистической устойчивости ; Во многих, различных по своей природе статистических наблюдениях статистическая устойчивость может быть описана с помощью одной единственной функции. Эта функция введена великим немецким математиком К.- Ф. Гауссом.

3

4 График функции y= (x) называют гауссовой кривой

5 Гистограммы распределения большого объема информации незаменимы в случаях, когда ряд данных состоит из очень большого количества чисел. Если ширина вертикальных столбцов гистограммы достаточно мала, а основания столбцов в объединении дают некоторый промежуток, то сама гистограмма похожа на график некоторой непрерывной функции, заданной на этом промежутке. Иногда такую функцию называют выравнивающей функцией.

6 Графики функций выравнивающих гистограммы похожи друг на друга. Все эти кривые распределения получаются из гауссовой кривой. Ее часто называют кривой нормального распределения.

7 Для наглядной демонстрации действии гауссова закона распределения иногда используют специальное устройство доску Гальтона

8 Существует способ приближенных вычислений вероятности P n (k) наступления k « успехов » в n независимых повторениях эксперимента с помощью гауссовой функции. Для гауссовой функции имеются подробные таблицы ее значений. Эти таблицы составлены для значений аргумента х с шагом 0,01.

9 Алгоритм использования функции у = ( х ) в приближенных вычислениях проверить справедливость неравенства npq >10; вычислить x k по формуле x k = ; по таблице значений гауссовой функции вычислить (x k ); предыдущий результат разделить на

10

11 Пример 1 Вероятность рождения мальчика примем равной 50%. Найти вероятность того, что среди 200 новорожденных будет : а ) 110 мальчиков ; б ) 80 мальчиков.

12 Решение : n- 200 р = q = 0,5 npq = 50; 50 > 10 7,07. а ) число « успехов » k =110, б ) k = 80 а ) x k = б ) x k =

13 Используя таблицы вычисляем ответы а)а) б)б)

14 Вероятности P n (k), как правило, весьма малы. Поэтому при большом числе n в схеме Бернулли для числа k « успехов » устанавливают не одно точное значение, а некоторые рамки, в пределах которых разрешено меняться числу k. Вероятность того, что число « успехов » k в n испытаниях Бернулли находится в пределах от k 1 до k 2, обозначают так : P n (k 1 k k 2 ).

15 Функция Ф ( х )

16 График функции у = Ф ( х )

17 Алгоритм использования функции у = Ф ( х ) в приближенных вычислениях проверить справедливость неравенства npq 10; вычислить х 1 и х 2 по формулам : по таблице вычислить значения Ф ( х 1 ) и Ф ( х 2 ); найти разность Ф ( х 2 ) - Ф ( х 1 )

18

19 Пример 2 Политика П. поддерживает в среднем 40% населения. Какова вероятность того, что из 1500 случайно опрошенных людей политика П. поддерживают : от 570 до 630 человек ?

20 Решение : p=0,4 q=0,6 npq=360, 360>10 19 k 1 =570; k 2 =630

21 Пример 3 Известно, что 75% учеников начальной школы не имеют четвертных троек. Случайным образом выбрали 300 учеников. Какова вероятность того, что : « троечников » среди них будет более 99;

22 Решение : n=300 p=0,25 q=0,75 =7,5 100 k 300

23 Допустим, что мы провели n независимых повторений испытания с двумя исходами и пусть « успех » мы наблюдали ровно k раз. Тогда число k / n естественно назвать частота « успеха ». Насколько же частота « успеха » в n испытаниях Бернулли отличается от вероятности p « успеха » в одном испытании ? Использование функций и Ф позволяет доказать, что при достаточно большом числе n повторений испытания с двумя исходами числа k / n и р практически совпадут.

24 Пример 4 Известно, что 90% жителей некоторой страны ни разу не ели авокадо. Случайным образом выбрали п жителей и выяснили число k тех из них, которые не ели авокадо. Насколько большим должно быть п, чтобы с вероятностью более 60% можно было утверждать, что частота k/n отличается от 0,9 не более чем на 0,01?

25 Решение : p=0,9 q=0,1

26 Закон больших чисел Для каждого положительного числа r при неограниченном увеличении числа n независимых повторений испытания с двумя исходами вероятность того, что частота k/n появления « успеха » отличается менее чем на r от вероятности p « успеха » в одном отдельном испытании, стремится к единице