Текстовые задачи. Предлагаемые задачи можно условно разбить на следующие типы задач: 1. Задачи «на совместную работу»; 2. Задачи на «планирование»; 3. - презентация

1 Текстовые задачи

2 Предлагаемые задачи можно условно разбить на следующие типы задач: 1. Задачи «на совместную работу»; 2. Задачи на «планирование»; 3. Задачи на « зависимость между компонентами арифметических действий»; 4. Текстовые задачи, решаемые с помощью неравенств Все предлагаемые задачи можно решать как с помощью составления уравнения (или неравенства), так и с помощью систем уравнений и неравенств.

3 1. Задачи на совместную работу Некоторые указания к задачам на совместную работу: 1. Основными компонентами этого типа задач являются: а) работа; б) время; в) производительность труда (работа, выполненная в единицу времени). 2. План решения задачи обычно сводится к следующему: а) Принимаем всю работу. которую необходимо выполнить, за единицу. б) Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е., где t – время, за которое указанный рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно. в) Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно, за то время, которое он работал. г) Составляем уравнение, приравниваем объём всей работы (т.е. единицу) к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих (если, разумеется, в условии сказано, что при совместной работе всех рабочих выполнен весь объём работы). 3. Следует заметить, что в указанных задачах не всегда сравнивается выполненная работа. Основанием для составления уравнения может служить также указанное в условии соотношение затраченного времени или производительности труда.

4 Вычисление неизвестного времени работы Задача 1 Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только одна бригада, а заканчивала ремонт участка дороги одна вторая бригада, производительность труда которой более высокая, чем первой бригады. В результате ремонт заданного участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в своё рабочее время выполнила всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?

5 Решение: Пусть вся работа может быть выполнена первой бригадой за x дней, а второй – за y дней. Принимая всю работу за единицу, имеем: - производительность первой бригады, - производительность второй бригады, - часть работы, которую могла выполнить первая бригада за 18 дней, – часть работы, которую могла выполнить вторая бригада за 18 дней. Так как обе бригады, работая совместно, могли выполнить всю работу за 18 дней, то на основании этого имеем

6 всей работы, следовательно, она затратила на это дней Далее из условия задачи следует, что первая бригада выполнила всей работы, следовательно, она затратила на это дней, а вторая бригада выполнила Так как всего было затрачено 40 дней, то можно составить второе уравнение: Составим систему уравнений и решим её: Имеем x 1 = 24, x 2 = 45; y 1 = 72, y 2 = 30. Так как производительность второй бригады была выше, чем первой, то условию задачи удовлетворяют x = 45 и y = 30. Ответ: 45 дней, 30 дней.

7 Задачи про бассейн, который одновременно наполняется разными трубами. Задача 2. Если две трубы открыть одновременно, то бассейн наполнится за 2 ч 24 мин. В действительности же сначала была открыта только первая труба в течение одной четверти времени, которое необходимо второй трубе, чтобы наполнить бассейн, действуя отдельно. Затем действовала вторая труба также в течение одной четверти времени, которое необходимо первой, чтобы одной наполнить бассейн, после чего оказалось, что остается наполнить полной вместимости бассейна. Сколько времени необходимо для наполнения бассейна каждой трубой в отдельности?

8 Решение: Пусть первая труба наполняет бассейн за x часов, а вторая наполнит бассейн за y часов, тогда производительность каждой трубы будет соответственно и в час (примем объём воды в бассейне за единицу). Из условия следует, что первая труба наполнила часть бассейна, вторая труба часть бассейна, а вместе они наполнили части бассейна. Отсюда Так как обе трубы при одновременной работе наполняют весь бассейн за 2 ч 24 мин, то

9 Отсюда получим, что если x = 4, то y =6, а если же x = 6, то y = 4.. Очевидно, результаты однозначны. Будем полагать, что первая труба работала быстрее. Ответ: 4 ч; 6 ч. Составим систему и решим её: имеем: Полагая 12y+12x=5xy.

10 2. Задачи на планирование К задачам этого раздела относятся те задачи, в которых выполняемый объём работы известен или его нужно определить (в отличие от задач на совместную работу). При этом сравнивается работа, которая должна быть выполнена по плану. и работа, которая выполнена фактически. Так же как и в задачах на совместную работу, основными компонентами задач на планирование являются а) работа (выполненная фактически и запланированная); б) время выполнения работы (фактическое и запланированное); в) производительность труда (фактическая и запланированная). Замечание. В некоторых задачах этого раздела вместо выполнения работы дается количество участвующих в её выполнении рабочих.

11 Задачи, в которых требуется определить объём выполняемой работы. Задача 3. Ученик токаря вытачивает шахматные пешки для определенного числа комплектов шахмат. Он хочет научиться изготовлять ежедневно на 2 пешки больше, чем теперь, тогда такое же задание он выполнит на 10 дней быстрее. Если бы ему удалось научиться изготовлять ежедневно на 4 пешки больше, чем теперь, то срок выполнения такого же задания уменьшился бы на 16 дней. Сколько комплектов шахмат обеспечивает пешками этот токарь, если для каждого комплекта нужно 16 пешек?

12 Решение: Пусть токарь вытачивает x пешек для определенного числа комплектов шахмат. Будем также полагать, что в день он вытачивает y пешек. Тогда задание он выполнит за дней. выполнит задание за дня или дня. дней. Соответственно если он будет вытачивать в день (y+2) пешки или (y+4), то На основании условия задачи составим систему уравнений: Так как на каждый комплект нужно 16 пешек, то число комплектов равно 240 : 16 = 15. Отсюда x = 240 и y = 6. Ответ: 15.

13 Задачи, в которых требуется определить время, затраченное на выполнение предусмотренного объёма работы. Задача 4. Планом предусмотрено, что предприятие на протяжении нескольких месяцев изготовит 6000 насосов. Увеличив производительность труда, предприятие стало изготовлять в месяц на 70 насосов больше, чем было предусмотрено, и на один месяц раньше установленного срока Перевыполнило задание на 30 насосов. На протяжении скольких месяцев было предусмотрено выпустить 6000 насосов?

14 Решение: Пусть за x месяцев было предусмотрено выполнение нового задания. Тогда за (x-1) месяцев было выпущено 6030 насосов. В месяц по плану предприятие планировало выпускать насосов, а фактически выпустило в месяц насосов Из условия задачи следует уравнение: - Решая уравнение, получим x 1 = 10, x 2 = - Ответ: На протяжении 10 месяцев. = 70. (не удовлетворяет условию задачи).

15 Задача 5. Бригада каменщиков взялась уложить 432 м 3 кладки, но в действительности на работу вышло на 4 человека меньше. Сколько всех каменщиков в бригаде, если известно, что каждому работавшему каменщику пришлось укладывать на 9 м 3 больше, чем первоначально предлагалось? Решение: Пусть в бригаде x каменщиков. Тогда по условию задачи на работу вышло (x-4) каменщика. Каждый каменщик должен был по плану уложить фактически же каждый уложил м 3. М 3 кладки Из условия следует уравнение решая которое находим x = 16. Ответ: 16.

16 Составление уравнений в задачах данного раздела вытекает непосредственно из условия задачи. Задачи, в которых требуется найти сумму слагаемых, каждое из которых составляет ту или иную часть искомой суммы Задача 6. Трое изобретателей получили за своё изобретение премию в размере 1410 р., причем второй получил того, что получил первый, и еще 60 р., а третий получил денег второго и ещё 30 рублей. Какую премию получил каждый? 3. Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий

17 Решение: 1. Пусть первый изобретатель получил x рублей. 2. Тогда второй получил рублей, третий получил рублей. 3. Из условия следует: откуда Х=900, Ответ: 900 р., 360 р., 150 р.

18 Задачи, в которых используется формула двузначного числа Задача 7. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число. Решение: 1. Пусть x – цифра десятков, y – цифра единиц, 10x + y – искомое двузначное число. 2. Из условия задачи следует: х 2 + y 2 = 13, Отсюда получим, что x = 3, y =2. 10x + y – 9 = 10y + x; ( x= -2 – не подходит, т.к. x – цифра) Ответ: 32.

19 Задачи, в которых слагаемые пропорциональны некоторым числам (или дано их отношение) Задача 8. Числители трех дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, а знаменатели соответственно пропорциональны числам 1, 3, 7. Среднее арифметическое этих дробей равно. Найти эти дроби.

20 Решение: 1. Числители дробей: x, 2x, 5x (по условию задачи). 2. Знаменатели дробей: y, 3y, 7y (по условию задачи). 3. Дроби: 4. Из условия задачи следует: первая дробь вторая дробь ТРЕТЬЯ ДРОБЬ Ответ:

21 Задачи, где неизвестные являются членами прогрессии (или пропорции) Задача 9. Для оплаты пересылки четырех бандеролей понадобились 4 различные почтовые марки на общую сумму 2 р. 80 к. Определить стоимость марок, приобретенных отправителем, если эти стоимости составляют арифметическую прогрессию, а самая дорогая марка в 2,5 раза дороже самой дешевой.

22 Решение: 1. Пусть x рублей – стоимость самой дешевой марки. 2. Тогда 2,5x рублей – стоимость самой дорогой марки. 3. Стоимость всех четырех марок по условию есть сумма членов арифметической прогрессии, т. е.,, x = 0,4. 4. Из формулы общего члена прогрессии имеем: a 4 =a 1 +3d, 2,5 = x + 3d, 1 = 0,4 + 3d, d = 0,2. a 2 = 0,4 +0,2 = 0,6, a 3 = 0,6 + 0,2 = 0,8. Ответ: 0,4; 0,6; 0,8; 1.

23 4. Текстовые задачи, решаемые с помощью неравенств Задача 10. Для перевозки животных было выделено некоторое число вагонов из расчёта разместить в каждом по 12 животных. На станции часть животных сдали, а оставшихся разместили так, что 2 вагона оказались лишними, при этом число животных в каждом вагоне стало простым и на 14 больше нового числа вагонов. Сколько животных было первоначально?

24 Обозначим число вагонов через n, тогда первоначальное число животных 12n. Новое число вагонов, как это следует из условия, равно n-2, а новое число животных в каждом из вагонов n+12. Но неизвестно число сданных животных. Пробуем рассуждать: так как первоначальное число животных больше, чем осталось, то составим неравенство 12n>(n-2)(n+12), решением которого будут все числа из интервала(-4;6). Ограничиваясь целыми положительными числами, получaем n принадлежит интервалу (0;6). Из условия также видно, что, поскольку 2 вагона оказались лишними, общее их число было, по крайней мере, не меньше 3, т.е. n принадлежит промежутку [3;6). И, наконец, новое число животных в вагоне простое. Легко сообразить, что это число равно 5, так как, прибавив к нему 12, получим простое число 17, а числа 16 и 15 простыми не являются. Таким образом, n=5, а первоначальное число животных равно 60. Решение: