Виноградова Татьяна Игоревна. учитель математики школа 26 Невский район. - презентация

1 Виноградова Татьяна Игоревна. учитель математики школа 26 Невский район

2 Исторические сведения. Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия. Понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи ( около гг. ) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори, а также в работах Ньютона. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лейбниц, Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс. Однако у создателей дифференциального исчисления возникли проблемы, связанные с тем, что точные определения таких основных понятий как предел, непрерывность, действительное число, отсутствовали, рассуждения содержали логические пробелы, а иногда были ошибочны.

3 Таким образом, "новая" математика не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых, воспитанных на классических образцах греческих математиков. Гениальная интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер помогала им избегать ошибок. Характерны 2 высказывания, относящиеся к 18-му столетию. Известный математик М. Ролль писал, что новая наука есть коллекция гениальных ошибок. А великий французский мыслитель - Вольтер заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции, бесконечно малых величин, пределов и производных, был охарактеризован Марксом как "мистический". Лозунгом многих математиков 17 века был:Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет".

4 Темы 1.Определение производной. 2.Правила вычисления производной. 3.Производная сложной функции. 4. Физический и геометрический смысл производной. 5. Понятие «монотонность функции». 6. Достаточные признаки возрастания и убывания функции на промежутке. 7. Понятие «критические точки функции». 8. Необходимые условия экстремума функции; 9.признаки максимума и минимума функции. 10.Решение задач. ТЕСТ

5 Производная Определение. Производной функции f в точке х 0 называется число, к которому стремится отношение Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Необходимое условие дифференцируемости функции. Для того, чтобы функция f была дифференцируема (имела производную) в точке х 0 необходимо, но не достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке.

6 Правила вычисления производной Пусть u и v дифференцируемые функции, а с – const. Тогда

7 Производная сложной функции

8 Правила дифференцирования Правило 1: Если функции y=f(x) y=g(x) имеют производную в точке х, то и их сумма имеет производную в точке x, причем производная суммы равна сумме производных: (f(x)+g(x))`= f `(x)+g`(x) На практике это правило формулируют короче: производная суммы равна сумме производных. При этом речь может идти о дифференцировании суммы любого числа функций. Например, (x2+sinx)`=(x2)`+(sinx)`=2x+cos x Правило 2. Если функция y=f(x) имеет производную в точке x, то и функция y=kf(x) имеет производную в точке x, причем (kf(x))`=kf `(x). На практике это правило формулируют короче: постоянный множитель можно вынести за знак производной. Например, (5x2)`=5(x2)`=5*2x=10x Правило 3: Если функции y=f(x) y=g(x) имеют производную в точке х, то и их произведение имеет производную в точке x, причем (f(x) g(x))`= f `(x) g(x)+ f(x) g`(x) На практике это правило формулируют так: производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции. Например, ((2x+3)sinx)`=(2x+3)`sinx+(2x+3)sinx`= 2sinx+(2x+3)cos x

9 Правило 4: Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке х и в этой точке g(x) не равно 0,то и частное имеет производную в точке х, причем

10 Геометрический смысл производной Касательной к графику функции f(x) в точке х 0 называется прямая, задаваемая уравнением – угол наклона касательной к оси Ох. k – угловой коэффициент касательной. Значение производной функции f в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.

11 Очень важно! Нужно знать! Если функция f(x) не имеет производной в точке х 0, но непрерывна в этой точке, то у графика функции в данной точке либо вообще нет касательной, Примеры Касательной не существует в точке (0;0).

12 либо есть вертикальная касательная. Касательная вертикальна в точке (0;0). y x0 Y=

13 Следовательно : Существование производной функции f в точке х 0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х 0 ; f(x 0 )) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания.

14 Физический смысл производной Пусть S=S(t) – зависимость пути от времени, тогда Скорость – производная пути по времени. Ускорение – производная скорости по времени (вторая производная пути по времени).

15 Монотонность функции Монотонность функции Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2). Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 f (x2).

16 Геометрически – это интервалы оси ox, где график функции идет вверх.. Задача1.Найти промежутки возрастания функции. Задача2.Найти промежутки убывания этой же функции: Геометрически – это интервалы оси ox, где график функции идет вниз.

17 Монотонность функции Назовите промежутки возрастания (убывания)для функций: 0 0 ab c a b c d mn x x x y y 0 y 1) 2) 3)

18 a b c 0 y x Проблема Можно ли установить зависимость между видом монотонности (возрастанием или убыванием) функции на промежутке и знаком производной в каждой точке этого промежутка? Как это сделать?

19 Признак возрастания функции Достаточное условие возрастания функции : Если в каждой точке интервала (a; b) f(x)>0, то функция f(x) монотонно возрастает на этом интервале.

20 Признак убывания функции Достаточное условие убывания функции : Если в каждой точке интервала (a; b) f(x)

21 Условие постоянства функции Необходимое и достаточное условие постоянства функции : Функция f постоянна на интервала (a; b) тогда и только тогда, когда f(x)=0 в каждой точке этого интервала. 0

22 Экстремумы функции Экстремумы функции Определение. Точка х 0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство f(x)f(x 0 ). Определение. Точка х 0 называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство f(x)f(x 0 ). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называются максимумами и минимумами функции.

23 Критические точки функции Критические точки функции Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Роль критических точек – только они могут быть точками экстремума функции. Необходимое условие экстремума. Если х 0 – точка экстремума функции f, то эта точка является критической точкой данной функции. f(x)=0; х 0 – крит. точка; f(x 0 )=f max. f(x)=0; х 0 – крит. точка; f(x 0 )=f min. f(x)=0; х 0 – крит. точка; f(x 0 ) не является экстремумом.

24 Критические точки (примеры) f(x 0 ) не существует; х 0 – крит. точка; f(x 0 ) не является экстремумом. f(x 0 ) не существует; х 0 – крит. точка; f(x 0 )=f min. Нет критических точек; х 0 =0 не является внутренней точкой области определения.

25 Критические точки (примеры) f(x)=0 при всех x (-3; 4); f(-3), f(4) не существуют; все x [-3; 4] критические точки. f(x 0 ) не существует; х 0 – крит. точка; f(x 0 )=f min. Нет критических точек; х 0 – точка разрыва.

26 Проблема Как установить с помощью производной наличие экстремума функции и его вид на промежутке? 0

27 Достаточное условие экстремума Если функция f непрерывна в точке х 0 и производная f(x) меняет знак в этой точке, то х 0 – точка экстремума функции f. Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х 0, а f(x)>0 на интервале (a; x 0 ) и f(x)

28 Схема применения производной для нахождения интервалов монотонности и экстремумов Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна. Найти производную f(x). Найти критические точки. В каждом из интервалов, на которые область определения разбивается критическими точками, определить знак производной и вид монотонности функции. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума. Записать результат исследования: промежутки монотонности и экстремумы. Пример: y=2x 3 -3x 2 -36x x – 5) x=-2 точка максимума; х=3 точка минимума. Ответ: f(x) возрастает на (- ; -2)и на (3; ) ; f(x) убывает на ( -2;3); хmax=-2, ymax=f(-2)=49; xmin=3, ymin=f(3)=-76. 4)