Теоретические основы цифровой обработки сигналов Иллюстративный материал к конспекту лекций Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого. - презентация

1 Теоретические основы цифровой обработки сигналов Иллюстративный материал к конспекту лекций Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Научно-исследовательская лаборатория цифровой обработки сигналов Великий Новгород 2010

2 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 2 Литература 1.Солонина А.И.,Улахович Д.Л. и др. Основы ЦОС. Курс лекций. Изд.2-е - СПб.:Питер, А.Б.Сергиенко. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2003 г. 3.Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. пер. с англ. под ред. Бритова А.А. – М.: Бином, Айфичер Э.С, Джервис Б.У. Цифровая обработка сигналов: практический подход, 2-е издание.Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. Цифровая обработка сигналов.– СПб.: Политехника, Гольденберг К.Н., Матюшкин Б.Ю., Поляк Н.Н., Цифровая обработка сигналов. – М.: Радио и связь, Рабинер Л., Гоулд Б.. Теория и применение цифровой обработки сигналов. /пер. с англ. – Мир, Каппелини В., Константиниос А.Д., Эмилиани П., Цифровые фильтры и их применение. – М.: Энергоавтомиздат, Введение в цифровую фильтрацию. Под ред. Богнера Г. Пер. с англ. – М.: Мир, Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов. Справочник. – М.: Радио и связь, Применение цифровой обработки сигналов под ред. Оппенгейма. – М.: Мир, Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов, М., Мир, Карташев В. Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. – М.: Высшая школа, 1982

3 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 3 Промышленность Обработка изображений Обработка изображений Обработка речи Инструментарий Другие Космонавтика Медицина Общетехнические Военная техника Связь ЦОС Основные области применения ЦОС Цифровая фильтрация Свертка Корреляция Преобразование Гильберта Быстрое преобразование Фурье Адаптивная фильтрация Генерация сигналов Кодирование - декодирование Засекреченная связь Радиолокация Обработка изображений Навигация Радиомодемы Управление ракетами Радиоразведка Гидроакустика Ультразвуковое оборудование Диагностический инструментарий Мониторинг больных Слуховые приборы Протезирование Космическая фотосъемка Компрессия данных Анализ измерений космических зондов Радиотелескопы Компенсаторы эхо Видео-конференц. связь Модемы Цифровое радио Трансмультиплексоры Сотовая телефония Интеллектуальные мультиплексоры Адаптивные корректоры Интерполяция Шифрование данных Пакетная коммутация Широкополосная связь Робототехника Цифровое управление Засекреченный доступ Контрольная аппаратура для ЛЭП Зрение роботов Компрессия и передача изображений Распознавание образов Повышение качества изображения Трехмерные вращения Работа с цифровыми картами Кодирование речи Распознавание речи Верификация диктора Повышение качества речи Синтез речи Системы речь - текст Спектральный анализ Генерация функций Анализ сейсмограмм Цифровая фильтрация Синтез моделей Временной анализ Анализ вибраций Фазовая синхронизация Синтезаторы музыки Игрушки и игры Цифровое вещание и телевидение ……………………………………………..

4 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 4 Элементная база ЦОС Цифровые ИС Дискретно- аналоговые ИС Универсальные ЦВМ Специализ. ЦВМ МИССИС БИССБИС ПЛИСБМК Програм.Репрогр. АЦП ЦАП ПЗС-ППЗ УКК МикроЭВМ ПЭВМ Большие ЭВМ Супер ЭВМ Сигнальные процессоры Специализ. процессоры Графические процессоры Специализ. ЦВМ

5 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 5 Примеры устройств ЦОС

6 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 6 Примеры устройств ЦОС

7 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 7 Средства разработки системы ЦОС Ассемблер MOV A,B Языки высокого уровня (C, C++, VHDL, Abel, Verilog, HDL,….) САПР Эмулятор Система ЦОС Отладочный комплект (EZ-Kit)

8 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 8 Пример аналогового и цифрового устройств Аналоговое устройство Цифровое устройство АЦП ФНЧ ЦАП

9 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 9 Сравнительная характеристика цифровой и аналоговой обработки ПреимуществаНедостатки Повторяемость (малочувствительны к старению, к допускам точности компонентов, к изменениям температуры) Высокая помехоустойчивость Большой динамический диапазон Высокая точность Универсальность методов и аппаратуры Гибкость (Возможность программной перестройки) Высокая степень интеграции Большие требования к быстродействию (ширине полосы частот) Сложность методов и аппаратуры Большая мощность потребления энергии Наличие погрешностей дискретизации и шумов квантования Высокая скорость морального старения

10 Вопросы для самостоятельной работы по Введению 1. Основные области применения цифровой обработки сигналов 2. Общая характеристика, типы и основные параметры программируемых логических интегральных схем (ПЛИС) (CPLD, FPGA фирм Xilinx, Altera и др.) 3. Основные типы и характеристики аналого-цифровых и цифроаналоговых преобразователей, в том числе на основе технологии Σ-Δ. 4. Общая характеристика графических процессорных устройств для высокопроизводительных вычислений. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 10

11 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 11 Раздел 1. Теория дискретных систем Представление сигналов 1.Графически Непрерывные, дискретные и цифровые сигналы t, сек y(t) В, Непрерывный (аналоговый) сигнал T=1/fd – шаг дискретизации, fd- частота дискретизации, q –шаг квантования 0001, , , , , , 8 Цифровой сигнал (квантование по уровню и дискретизация по времени) q ý(n) n Дискретный сигнал (дискретизация по времени) T y(n),

12 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 12 n0n0 u -1 (n-n 0 ) 0 единичный скачок задержанный на n 0 отсчетов 2.Набор чисел: 0, 0.5, 0.25, Аналитически: x(n)=1/2 n, n=0, 1, Рекуррентно: x(n)=x(n-1)/2, x(0)=1, n=0, 1, 2.. Примеры последовательностей: Непрерывные, дискретные и цифровые сигналы -2 n u 0 (n) единичный импульс n u 0 (n-n 0 ) 0n0n0 1 единичный импульс, задержанный на n 0 отсчетов n 0 1 u -1 (n) единичный скачок 1 если задана a(n), n, то

13 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 13 Линейные системы с постоянными параметрами (ЛПП) Ф[x(n)] x(n) y(n) Дискретная ЛПП a 1 y 1 (n) +a 2 y 2 (n) Свойства ЛПП Ф x 1 (n) y 1 (n) Линейность Если и Ф x 2 (n) y 2 (n) то Ф a 1 x 1 (n) +a 2 x 2 (n) Инвариантность задержки Ф x(n) y(n) Если Ф x(n-n 0 ) y(n-n 0 ) то n0n0 n0n0

14 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 14 Свойства ЛПП Коммутативность (перестановка): Ф1Ф1 x(n)y(n) Ф2Ф2 Ф1Ф1 x(n)y(n) Ф2Ф2 Если то

15 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 15 Суперпозиция x 1 (n) x 2 (n) x 3 (n) + + Синтез Разложение x (n)

16 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 16 Импульсная характеристика Дискретная ЛПП u 0 (n)h(n) h(n) – импульсная характеристика – отклик системы на единичный импульс u 0 (n) Характеристики ЛПП полностью определяются ее импульсной характеристикой

17 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 17 Фундаментальная концепция ЦОС h(n) x(n) y(n) x 1 (n) x 2 (n) x 3 (n) h(n) y 1 (n) y 2 (n) y 3 (n) разложение (декомпозиция) x(n)=x 1 (n)+x 2 (n)+x 3 (n) синтез y(n)=y 1 (n)+y 2 (n)+y 3 (n )

18 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд n = 7n = 6n = 5n = 4n = 3n = 2n = 1n = 0 Свертка гдеh( ) – импульсная характеристика, – оператор свертки h(n-m), x(m) h(n), x(m) n = y(n) n = 7n = 6n = 5n = 4n = 3n = 2n = 1n = h(n-m), x(m) h(n), x(m) n = y(n)

19 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 19 Физическая реализуемость ЛПП Если h(n)=0 при n

20 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 20 Разностные уравнения Назначение: временной анализ дискретных систем; способ построения системы; порядок, нули, собственные частоты. Разностное уравнение М-го порядка: + x(n) y(n) x(n-1) b0b0 b1b1 b2b2 -a 2 x(n-2) y(n-2) Пример ЛПП 2-го порядка y(n-1) -a 1

21 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 21 Частотная характеристика ЛПП Пусть x(n)=e j n – дискретный комплексный гармонический сигнал. Тогда при прохождении его через ЛПП с ИХ h(n) Частотная характеристика ЛПП:

22 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 22 Преобразование Фурье для дискретных сигналов т.к. X(e j )=X(e j +2 k ), k=0, 1, 2… Для непрерывных сигналов:Для дискретных сигналов: X(e j ) непрерывная и периодичная (период 2 )

23 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 23 Свойства ПФ для дискретных сигналов Свойство Последовательность x(n) y(n) Преобразование Фурье X(e j ) Y(e j ) 1. Линейность a x(n)+b y(n)a X(e j )+ b Y(e j ) 2. Задержкаx(n-n 0 ) e j n 0 X(e j ) 3. Частотный сдвиг e j 0 n x(n) X(e j( - 0 ) ) 4. Свертка x(n) y(n)X(e j ) Y(e j ) 5. Произведение x(n) y(n)

24 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 24 Соотношение между ПФ дискретных и непрерывных сигналов /T - /T2 /T 3 /T4 /T 0 |X н (j )|, |X(e j T )| f д /2-f д /2fдfд 3f д /22fд2fд Re[x н (t)]=x н (t) t T 2T3T4T x(n, 0 ), x(n, 0 +2 /T), x(n, 2 /T- 0 ) /T2 /T- 0, x(nT, 0 )

25 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 25 Эффект наложения спектров (aliasing) д /2 д 3 д /2 0 |X н (j )|, |X(e j T )| 2 д 5 д /26 д д /2 д 3 д /2 0 |X н (j )|, |X(e j T )| 2 д 5 д /26 д max = д – без наложения max > д – наложения ФНЧ д /2 д 3 д /2 0 |X н (j )|, |X(e j T )| 2 д 5 д /26 д max = д – без наложения

26 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 26 Z-преобразование Преобразование ЛапласаZ-преобразование Применяется для описания, синтеза и анализа ЛПП

27 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 27 Z-плоскость r r-радиус, -угол, Для любой ЛПП X(z) можно представить в виде: гдеz i – нули; p i – полюса. e j - единичная окружность 1 1 Re(Z) Im(Z) 0 ЛПП устойчива, если все полюса находятся внутри единичной окружности: r p

28 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 28 Примеры Z-преобразования x(n)Z[x(n)] u 0 (n)1 u -1 (n)1/(1-z -1 ) (-1) n 1/(1+z -1 ) nz -1 /(1+z -1 ) 2 n2n2 (z -1 -z -2 )/(1+z -1 ) 3 anan 1/(1-az -1 ) x(n)Z[x(n)] e j n 1/(1-e j z -1 ) na n-1 z -1 /(1-az -1 ) 2 a n sin(n ) a n cos(n ) Связь Z-преобразования и преобразования Фурье

29 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд |H(e j )| Пример Z 1 =e j /4 = j Z 2 =e -j /4 = j p 1 =0.9 e j /4 = j p 2 =0.9 e -j /4 = j Re(Z) Im(Z) /4 0.9 |H(z)| |H(e j )|

30 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 30 Основные свойства Z-преобразования Свойство Последовательность x(n) y(n) Z-преобразование X(z) Y(z) 1. Линейность a x(n)+b y(n)a X(z)+ b Y(z) 2. Задержкаx(n-n 0 ) z -n 0 X(z) 3. Частотный сдвиг a n x(n) X(z/a) 4. Свертка x(n) y(n)X(z) Y(z) 5. Произведение x(n) y(n)

31 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 31 Обратное Z-преобразование Способы вычисления: 1.Деление числителя на знаменатель 2.Разложение на простые дроби 3.Использование теоремы о вычетах 4.Таблица Z-преобразований

32 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 32 Одностороннее Z-преобразование Предназначено для анализа физически реализуемых систем Основное отличие – в свойстве задержки где - начальные условия При нулевых начальных условиях: - аналогично двустороннему Z-преобразованию

33 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 33 Решение РУ с помощью Z-преобразования. Пример: решить РУ Решение: - Z-преобразование от обеих частей Общий случай решения РУ порядка L

34 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 34 Пример вычисления обратного Z-преобразования 1. Деление числителя на знаменатель: 2. Разложение на простые дроби:

35 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 35 Дискретное преобразование Фурье Дискретное преобразование Фурье размерностью N: x p (n) – периодическая последовательность с периодом N Обратное дискретное преобразование Фурье: X p (k) – периодическая последовательность с периодом N

36 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 36 Связь Z-преобразования и ДПФ – конечная последовательность Пусть Тогда 0 Re(Z) Im(Z) N=8 Полагая

37 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 37 Связь ДПФ и ПФ где: Ф(0)=1 : X(e j2 k/N )=X(k)

38 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 38 Связь ПФ и ДПФ (пример) 0 N 2N n x p (n) x (n) |X (e j )| |X p (k)| N 2N (k) arg[X (e j )] arg[X p (k)] N 2N (k)

39 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 39 Дополнение нулями x(n) – конечная последовательность длины N, X(e j ), X 9 (k), X 16 (k)

40 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 40 Основные свойства ДПФ Свойство Последовательности с периодом N x N (n), y N (n) N-точечное ДПФ X N (k) Y N (k) 1. Линейность a x N (n)+b y N (n)a X N (k)+ b Y N (k) 2. Задержкаx N (n-n 0 ) 3. Частотный сдвигX N (k-n 0 ) 4. Свертка x N (n) y N (n)X N (k) Y N (k) 5. Произведение x N (n) y N (n)

41 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 41 Основные свойства ДПФ 5 n x 6 (n) 0 Циклический сдвиг конечной последовательности 5 n x 6 (n+2)=x 6 (n-4) 0 6. Симметрия: Если x N (n), y N (n) -действительные Пусть z N (n)=x N (n)+jy N (n)

42 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 42 Примеры ДПФ x 1 (n)=u 0 (n), x 2 (n)=u 0 (n-4), x 3 (n)=u 0 (n-8) |X 1 (k)|=|X 2 (k)|=|X 3 (k)| Re[X 1 (k)], Re[X 2 (k)], Re[X 3 (k)]Im[X 1 (k)], Im[X 2 (k)], Im[X 3 (k)] arg[X 1 (k)], arg[X 2 (k)], arg[X 3 (k)]

43 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд Примеры ДПФ x(n)=u -1 (n), |X(k)| x(n)

44 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 44 Свертка последовательностей 1. Циклическая (периодическая, круговая); 2. Линейная (апериодическая); 3. Секционированная; 4. Быстрая (на основе БПФ, на основе разложения на короткие, на основе структурных свойств, на основе ТЧП)

45 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 45 h p (7- l ) h p (6- l )h p (5- l ) h p (4- l ) Циклическая свертка N=902N=18 n h p (n) N=902N=18 n y p (n) h p (3- l ) h p (2- l ) h p (1- l ) h p (0- l ) l xp(l),xp(l), N=9 2N=18 N=9 0 n x p (n) 2N=18

46 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 46 Быстрая свертка на основе БПФ x(n) h(n) Дополнение нулями ( опционально) x p (n) h p (n) БПФ X p (k) H p (k) Y p (k) ОБПФ y(n) Для БПФ по основанию 2 выигрыш в кол. операций умножения

47 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 47 Линейная свертка N 1 =4 0 n h p (n) N 2 =8 0 n y p (n) 10 0 n x p (n) 3 7 N 1 +N 2 -1=11 12 M N 1 +N 2 -1

48 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 48 M2M =3M Секционированные свертки Для свертки последовательностей значительно различающихся по длине 1. Метод перекрытия с суммированием x(n) h(n) n n L N N>>L n y 0 (n) L+M-1 n y 1 (n) L+2M-1 M n y 2 (n) M2M L+3M-1 ++ n y(n) M2M L+3M-1 L+M-1 L+2M-1

49 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 49 y 2 (n) y 1 (n) 3M+L-1 y 0 (n) M+L-1 Секционированные свертки 2. Метод перекрытия с накоплением h(n) n L n M n 2M 3M 4M3M n y(n) M 3ML+3M-1 2M M =3M x(n) n N x 0 (n) n M2M3M x 1 (n) x 2 (n) y 3 (n) n x 3 (n)

50 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 50 Раздел 2. Цифровые фильтры Классификация По импульсной характеристике: С конечной импульсной характеристикой (КИХ,КИО) С бесконечной импульсной характеристикой (БИХ, БИО) По реализации: рекурсивные нерекурсивные По назначению: Фильтрация во временной области (Сглаживание, удаление постоянной составляющей, изменение формы, …) Фильтрация в частотной области (фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ), режекторные (РФ), многочастотные, фазовые (всепропускающие),…) По свойству адаптации: Неадаптивные Адаптивные По скорости дискретизации: Неизменяющие частоту дискретизации Изменяющие частоту дискретизации (дециматоры, интерполяторы)

51 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 51 Структурные схемы цифровых фильтров Рекурсивные фильтры Прямая форма 1

52 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 52 Структурные схемы рекурсивных фильтров Прямая форма 2 (каноническая)

53 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 53 Структурные схемы рекурсивных фильтров Каскадная форма где либо

54 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 54 Структурные схемы рекурсивных фильтров Параллельная форма

55 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 55 Структурные схемы нерекурсивных фильтров Прямая форма Фильтр с многоотводной линией задержки (трансверсальный фильтр)

56 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 56 Инверсная форма ЦФ

57 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 57 КИХ фильтр на основе интерполяционной формулы Лагранжа где Для N=3:

58 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 58 Фильтр с частотной выборкой Получается из ЦФ на основе формулы Лагранжа при: При этом- отсчет ЧХ

59 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 59 Лестничные (решетчатые) фильтры Применение: анализ и синтез речи; компрессия и декомпрессия данных; адаптивная фильтрация. Физическая модель: каскадное соединение цилиндров разного диаметра. Коэффициенты фильтра представляют часть энергии волны, отраженной от границ раздела цилиндров разного диаметра. ПреимуществаНедостатки нечувствительны к погрешностям коэффициентов при увеличении порядка фильтра не требуется перерасчет коэффициентов имеющихся звеньев легко обеспечивается устойчивость БИХ-структур больше вычислительные затраты по сравнению со структурами прямой формы

60 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 60 Нерекурсивный решетчатый фильтр для первого звена:

61 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 61 Рекурсивный решетчатый фильтр

62 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 62 Лестнично-решетчатый фильтр

63 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 63 Фильтры скользящего среднего Преимущества: оптимальный фильтр для подавления случайного шума, простота реализации Недостаток: плохие фильтрующие свойства в частотной области Для M=4:

64 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 64 после фильтра M=51 Фильтры скользящего среднего Импульсная характеристика:Переходная характеристика: n 1 0n Для M=4: исходный сигналпосле фильтра M=11

65 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 65 Фильтры скользящего среднего Частотная характеристика: |H 5 (f)|, |H 11 (f)|, |H 31 (f)|, дБ f

66 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 66 Фильтры скользящего среднего Рекурсивная форма реализации фильтра:

67 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 67 Фильтры скользящего среднего Каскадное соединение фильтров: Частотная характеристика: f H 7,1, H 7,2, H 7,4, дБh 7,1, h 7,2, h 7, n

68 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 68 Общая характеристика КИХ-фильтров Преимущества: абсолютно устойчивы; физически реализуемы; линейные ФЧХ, произвольные АЧХ; простой расчет шумов дискретизации; возможность использования БПФ. Недостатки: большой порядок при высоких требованиях к скатам АЧХ. возможна некратная шагу дискретизации задержка в фильтре Основные методы расчета: взвешивание; частотная выборка; оптимизация по Чебышеву. Порядок расчета: аппроксимация АЧХ, расчет коэффициентов, выбор порядка; выбор схемы построения; расчет шумов квантования, выбор разрядности данных и коэф-тов; проверка моделированием.

69 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 69 КИХ-фильтры с линейной фазой h(n), 0 n N-1 - отсчеты ИХ фильтра (действительные). - ЧХ фильтра - ЛФХ фильтра - фазовая задержка (*)(*)

70 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 70 КИХ-фильтры с линейной фазой 1. = Откуда:

71 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 71 КИХ-фильтры с линейной фазой 5 центр симметрииh(n) N=11 =5 a) Фильтр вида 1: четная симметрия, N-нечетное 5 центр симметрии h(n) N=12 =5.5 б) Фильтр вида 2: нечетная симметрия, N-четное n n 6

72 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 72 КИХ-фильтры с линейной фазой h(n), 0 n N-1 - отсчеты ИХ фильтра (действительные). - ЧХ фильтра - фазовая задержка 1. = Для нечетных N:

73 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 73 КИХ-фильтры с линейной фазой 5 центр антисимметрииh(n) N=11 =5 a) Фильтр вида 3: четная антисимметрия, N-нечетное 4 центр антисимметрии h(n) N=10 =4.5 б) Фильтр вида 4: нечетная антисимметрия, N-четное n n 5

74 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 74 Импульсные и частотные характеристики КИХ-фильтров c ЛФХ Вид 1. N-нечетное, h(n)-симметричная N=19 N=9

75 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 75 Импульсные и частотные характеристики КИХ-фильтров c ЛФХ Вид 2. N-четное, h(n)-симметричная N=18 N=9

76 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 76 Импульсные и частотные характеристики КИХ-фильтров c ЛФХ Вид 3. N-нечетное, h(n)-антисимметричная

77 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 77 Импульсные и частотные характеристики КИХ-фильтров c ЛФХ Вид 4. N-четное, h(n)-антисимметричная

78 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 78 Проектирование КИХ-фильтров методом взвешивания Задача проектирования Заданы требования к АЧХ: 1 – неравномерность в полосе пропускания (ПП); 2 – неравномерность в полосе заграждения (ПЗ); p – граничная частота полосы пропускания; s – граничная частота полосы заграждения. Определить: N-порядок фильтра, h(n), n=0, 1... N-1 – коэффициенты фильтра

79 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 79 Явление Гиббса Поскольку: то: Если H(e j ) идеальная, то имеются два затруднения: 1.h(n) – бесконечная усечение до N/2 2.Физически нереализуемая сдвиг на N/2 вправо

80 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 80 Проектирование КИХ-фильтров методом взвешивания Операции метода взвешивания Способ 1Способ 2 1. выбрать N и w(n) 2. вычислить проверка 1, 2, w p, w s 5.

81 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 81 Проектирование КИХ-фильтров методом взвешивания в частотной областиво временной области

82 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 82 Основные виды оконных функций Требования к окнам: - минимальный уровень боковых лепестков (min пульсаций АЧХ фильтра); - минимальная ширина главного лепестка АЧХ окна (min ширина переходной полосы фильтра). 1. Прямоугольное окно

83 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 83 Основные виды оконных функций 2. Обобщенное окно Хемминга

84 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 84 Основные виды оконных функция 3. Окно Кайзера 4. Окно Ланцоша

85 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 85 Весовые функции окон и их ЧХ

86 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 86 Основные характеристики некоторых окон Вид окна Максимальный уровень бокового лепестка, дБ Асимтотическая скорость спадания бокового лепестка, дБ/октава Эквивалент ширины полосы 1. Прямоугольное Треугольное Ханна Хемминга Наттола Гауссовское Чебышёва

87 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 87 Проектирование методом частотной выборки ДПФОДПФ 1.Произвести дискретизацию в N равноотстоящих точках на единичной окружности 2.По этим точкам интерполировать непрерывную ЧХ

88 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 88 Проектирование методом частотной выборки Ĥ(e j ), H(e j ) 0 2 s p Ĥ(e j ) ПП ПЗ переходная полоса T1T1 T2T2 T3T3

89 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 89 Проектирование оптимальных КИХ-фильтров Критерий оптимальности:Min. max. ошибки аппроксимации Вид аппроксимации ЧХ: Чебышевская Процедура оптимизации: Итерационный алгоритм замены Аппроксимация ЧХ фильтра Вид фильтра Q(e jw )P(e jw ) Вид 1 1 Вид 2 cos ( /2) Вид 3 sin Вид 4 sin ( /2)

90 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 90 Постановка задачи проектирования - заданная ЧХ фильтра (идеальная); - весовая функция ошибки аппроксимации. Взвешенная функция ошибки аппроксимации т.к. то: Обозначая: Получим: и - критерий оптимальности

91 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 91 Графическая интерпретация задачи проектирования

92 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 92 Теорема Чебышева Если, то необходимое и достаточное условие, что P(e j ) наилучшая аппроксимация по минимальному критерию функции, состоит в наличии не менее r+1 экстремума функции E(e j ) в области А т.е. для 1 < 2 < 3... < r+1

93 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 93 Решение задачи оптимизации Сущность итерационного алгоритма : Избежать решения системы нелинейных уравнений относительно экстремальных частот путем итерационной процедуры их уточнения и решения системы из r+1 линейных уравнений относительно r коэффициентов и погрешности.

94 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд Процедура проектирования оптимальных фильтров 1. Задание D(e j ), W(e j ) и N 3. Решение задачи аппроксимации 4. Расчет ИХ фильтра h(n) P(e j ) Задать r+1 экстремумов Рассчитать 1, 2 Интерполировать P(e j ) Рассчитать E(e j ), найти экстремумы | E(e j )|> Экстремумы изменились? Да Нет Наилучшая аппроксимация

95 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 95 Свойства оптимальных ФНЧ Ширина переходной полосы: F=F s -F p Оценка качества фильтра - нормированная ширина переходной полосы D=(N-1) F При N (>50) D не зависит от N Параметры оптимального ФНЧ: N, Fp, Fs, K

96 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 96 Сравнение КИХ ФНЧ, спроектированных разными методами

97 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 97 БИХ-фильтры с линейной ФЧХ Метод 1

98 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 98 БИХ-фильтры с линейной ФЧХ Метод 2

99 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 99 Всепропускающие фильтры Назначение: линеаризация ФЧХ. Необходимое условие: должен существовать нуль для каждого полюса

100 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 100 Классификация методов расчета БИХ-фильтров Задача аппроксимации АЧХ, ФЧХ, ГЗ или ИХ за счет выбора коэффициентов фильтра. 3 группы методов расчета: расчет ЦФ по фильтрам непрерывного времени; прямые методы расчета разложения и количества нулей и полюсов в Z-плоскости; оптимизация при наличии ограничений.

101 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 101 Расчет ЦФ по фильтрам непрерывного времени Аналоговые фильтры-прототипы: Баттерворта, Чебышева I и II рода, Кауэра-Золотарева (эллиптические). Системная функция: дифференциальное уравнение: Методы дискретизации аналоговых фильтров: 1.Отображение дифференциалов; 2.Инвариантного преобразования ИХ; 3.Билинейного преобразования; 4.Согласованного Z-преобразования.

102 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 102 Метод билинейного преобразования 1.Ось j должна отображаться в единичную окружность в Z-плоскости (сохранение частотно-избирательных свойств). 2.Левая полуплоскость S-плоскости должна отображаться внутрь единичной окружности (сохранение устойчивости) Условия однозначного преобразования аналоговых фильтров в цифровые Условия 1 и 2 удовлетворяются отображением: - билинейное преобразование

103 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 103 Метод билинейного преобразования При S=j - частотная ось S-плоскости: - 1 ое условие выполняется- 2 ое условие выполняется Полагая S= +j : Аналоговый фильтр с H(S) преобразуется в цифровой с H(z) : Порядок знаменателя сохраняется, а порядок числителя может возрастать Нуль H(S) при S отображается в z=-1

104 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 104 Метод билинейного преобразования Нелинейное соотношение частот: - для фильтров с почти ступенчатой ЧХ нелинейная связь частотных шкал может быть скомпенсирована; - ни ФЧХ, ни импульсная характеристики аналогового и цифрового фильтра не совпадают

105 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 105 Частотные преобразования Метод 2 Метод 1

106 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 106 Частотные преобразования Преобразование полосы частот по методу 1 L - нижняя частота среза; U - верхняя частота среза. Вид преобразованияЗамена переменной 1. ФНЧ ФНЧ 2. ФНЧ ФВЧ 3. ФНЧ ПФ 4. ФНЧ РФ Уровень пульсаций в полосе пропускания и полосе задержки не изменяется; С теоретической и расчетной точки зрения оба метода равноценны.

107 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 107 Сравнение КИХ и БИХ-фильтров Оптимальные КИХ-фильтры - эллиптические БИХ. На обработку 1 отсчета требуется MAC операций (мин.): - операций MAC для КИХ-фильтра N-го порядка - операций MAC для БИХ-фильтра n-го порядка Для фильтров одинаковой вычислительной сложности:

108 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 108 Сравнение КИХ и БИХ-фильтров 1.При Fp>0.3 БИХ-фильтр лучше при любых 1, 2, n. 2.При n 7 БИХ-фильтр лучше при любых 1, 2, Fp. 3.КИХ-фильтр лучше при большой 1 и малой 2. 4.КИХ-фильтр лучше при линейной ФЧХ.

109 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 109 Фильтры изменяющие частоту дискретизации Характерная особенность: различная скорость потока данных на входе и выходе. Применения: преобразование частоты дискретизации между цифровыми аудиосистемами; узкополосные ФНЧ и полосовые фильтры; сжатие полосы частот при цифровой обработке речевых сигналов; трансмультиплексоры (преобразование ВРК-ЧРК); квадратурная модуляция; восстанавливающие и ограничивающие фильтры в цифровых аудиосистемах; узкополосный анализ спектра в сонарных системах и вибрационном анализе. Основные операции: прореживание (децимация) и интерполяция.

110 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 110 z 0 (3nT/2) |Z 0 (f)| f s /3 2f s /3 fsfs |Y 0 (f)||Y 1 (f)| y 1 (nT/2) y 0 (nT/2) Фильтры изменяющие частоту дискретизации x(nT) t fsfs 2f s f |X(f)| f s /2 2f s /2 T t T/2 f s /2 fsfs f f s /4 |Y(f)| Интерполяция 2 x(nT) t 3T/2 y(nT/2) Децимация 3 y(nT/2) f s /2 fsfs |Y(f)| f

111 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 111 Фильтры изменяющие частоту дискретизации fs/2 fs f s1 /2 f s1 =f s /2 3f s1 /2 2f s1 |X(f)| |Y 1 (f)| f f АЧХ ФНЧ дециматора |Y 2 (f)| Прореживание сигнала в 2 раза Для устранения наложения при прореживании и для снижения искаженией в спектре при интерполяции необходимо выполнять низкочастотную фильтрацию, согласованную с коэффициентом изменения частоты дискретизации.

112 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 112 Фильтры изменяющие частоту дискретизации L H(z) Интерполятор M H(z) Дециматор Интерполирующий фильтр

113 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 113 Фильтры изменяющие частоту дискретизации Прореживающий фильтр В отличие от рекурсивных, нерекурсивные структуры дециматоров обеспечивают возможность работы умножителей на частоте выходного сигнала. При больших частотах дискретизации, в дециматорах часто используют гребенчатые фильтры.

114 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 114 Спектральный анализ Основные приложения: радиолокация, радионавигация, радиоастрономия; гидроакустика, гидролокация; системы распознавания речи; сжатие полосы речевых сигналов; вибрационный анализ. Спектральный анализ – это измерение, которое дает точные или приближенные значения Z - преобразования дискретного сигнала в заданном множестве точек Z - плоскости. Различают мгновенный спектр и оценку спектральной плотности мощности. Разновидности спектрального анализа: вычисление мгновенного спектра с использованием окон; оценивание СПМ классическими методами; оценивание СПМ параметрическими методами: оценивание блочных данных; рекурсивное оценивание; многомерный спектральный анализ. Методы цифрового спектрального анализа

115 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 115 Алгоритмы БПФ Быстрое преобразование Фурье (БПФ) – метод вычисления ДПФ {x(n)}, 0 n N-1 – комплексный сигнал. ДПФ: где - множитель вращения { W nk } периодична по n и k с периодом N: W (n+mN)(k+lN) = (W N ) nk, где m, l = 0, 1, 2…, W N – множитель вращ-я с периодом N. Количество операций для ДПФ размерности N: (N-1) 2 – комплексных умножений, N(N-1) – комплексных сложений. Основная идея БПФ – разбиение длинной последовательности на короткие.

116 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 116 Алгоритм БПФ с прореживанием по времени Пусть N – степень 2. Разобьем { x(n )} на { x1(n) } – четные отсчеты, { x2(n) } – нечетные отсчеты. x1(n) = x(2n), x2(n) = x(2n+1), для Поскольку то Вычисление X 1 (k) и X 2 (k) – 2N 2 /4 MAC + объединение X 1 (k) и X 2 (k) – N MAC Тогда Всего N 2 /2+N N 2 /2 при больших N

117 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 117 Алгоритм БПФ с прореживанием по времени Доопределение X(k) для k N/2 на основании периодичности N/2 точечных ДПФ: - период X(k) не равен периоду X 1 (k). Из-за Т.к. то

118 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 118 Пример алгоритма БПФ размерности 8 по основанию 2 с прореживанием по времени Разложение ДПФ размерности 8 на два ДПФ размерности 4. Этап 3

119 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 119 Пример алгоритма БПФ размерности 8 по основанию 2 с прореживанием по времени Этап 2

120 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 120 Направленный граф алгоритма БПФ размерности N = 8 по основанию 2 с прореживанием по времени и с замещением (алгоритм Кули-Тьюки). Этап 1

121 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 121 Свойства алгоритма БПФ по основанию 2 1. Алгоритм состоит из этапов. На каждом этапе происходит изменение размерности БПФ вдвое по сравнению с предыдущим. K эт = log 2 N 2. На каждом этапе необходимо выполнить N/2 операций бабочка. A B X = A + B W N K Y = A - B W N K W N K 2 операции комплексного сложения и 1 операция комплексного умножения 3. Общее число базовых операций "бабочка": 4. Для вычисления базовой операции достаточно иметь одну дополнительную ячейку для хранения произведения. Остальные результаты размещаются в освободившиеся ячейки. Это алгоритм с замещением.

122 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 122 Сравнение вычислительных затрат N K ДПФ/БПФ2 Выигрыш в количестве операций алгоритма БПФ 2 по сравнению с ДПФ в зависимости от размерности N N К ДПФ/БПФ2

123 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 123 Перестановка данных и двоичная инверсия Для алгоритма по основанию 2 и прореживанием по времени закон чередования входных отсчетов описывается двоично-инверсным порядком. Пример: N = 8 L = log 2 8 = 3 Способы получения поворачивающих множителей 1. Табличный – требует много памяти, но имеет наибольшее быстродействие 2. Последовательный – не требует много памяти, но имеет низкое быстродейст. 3. Рекуррентный с изменением шага от этапа к этапу и с начальным условием на каждом этапе

124 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 124 Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте Входная последовательность разбивается на 2 половины: Тогда N-точечное ДПФ последовательности {x(n)}: Т.к.то

125 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 125 Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте Поскольку то X(k) для четных и нечетных k: X(2k) получаются из N/2-точечных ДПФ последовательности: f(n) = x1(n) + x2(n) ; n = 0, 1, 2…N/2 – 1 X(2k+1) получаются из N/2-точечных ДПФ последовательности: g(n) = [x1(n) - x2(n)]W N n n = 0, 1, 2…N/2 – 1

126 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 126 Пример построения алгоритма БПФ размерности 8 с прореживанием по частоте Этап 1

127 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 127 Алгоритмы БПФ по основанию 2 Направленный граф алгоритма БПФ по основанию 2 с прореживанием по частоте.

128 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 128 Различия алгоритмов БПФ с прореживанием по времени и по частоте по временипо частоте двоично-инверсный прямой A B X = A + B W N K Y = A - B W N K W N K A B X = A + B Y = (A – B) W N K W N K 1. Порядок следования входных отсчетов: 2. Порядок следования выходных отсчетов: 3. Базовая операция бабочка

129 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 129 Вычисление обратного ДПФ по алгоритму прямого - обратное ДПФ * - знак комплексного сопряжения Тогда: Т.о. можно использовать алгоритмы БПФ для вычисления ДПФ и ОДПФ Обратное ДПФ { x(n) } для последовательности { X(k) }, k=0,1,…,N-1

130 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 130 Алгоритмы БПФ по основанию 4 По аналогии с основанием 2 можно построить алгоритмы БПФ по основанию 4. ДПФ размерности 4 не требует операций комплексного умножения, так как умножение навыполняется перестановкой реальной и мнимой компонент Выигрыш по количеству операций комплексного умножения по сравнению с алгоритмом БПФ по основанию 2 около 25%. 3 комплексных умножения 12 комплексных сложений Операция «бабочка» по основанию 4 с прореживанием по времени

131 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 131 Алгоритм БПФ по основанию 4 размерности

132 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 132 Принцип построения алгоритма БПФ с произвольным основанием Если N – составное число, то одномерный массив отсчетов можно записать в виде матрицы размерности N=MxL. Алгоритм вычисления ДПФ размерности N: Преобразовать одномерный массив в матрицу (заполнение по строкам!) Вычислить ДПФ каждого столбца Умножить элементы матрицы Вычислить ДПФ каждой строки Преобразовать матрицу в одномерный массив (считывание по строкам!). Если размерность строки или столбца - составное число, разбиение можно повторить. Для произвольных составных N наиболее быстрый алгоритм со смешанным основанием – АВПФ (алгоритм Винограда преобразования Фурье).

133 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 133 Сравнение БПФ и гребенки фильтров. Гребенка фильтров: выдает N спектральных отсчетов в каждый момент времени; Требует N операций умножения- накопления на 1 отсчет сигнала. БПФ без перекрытия: Выдает N спектральных отсчетов через N отсчетов сигнала; Требует операций умножения-накопления на 1 отсчет сигнала. БПФ с перекрытием: Выдает N отсчетов через отсчетов сигнала; Требует в K раз больше операций Z -N Z -1 + W0W0 + W1W1 + WkWk + W N-1 - Анализатор спектра в виде гребенки фильтров

134 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 134 Использование «окон» при спектральном анализе Импульсная характеристика одного из гребенки фильтров: Частотная характеристика (без фазового множителя): Проблема: маскировка слабых спектральных компонент сильными из-за высоких боковых лепестков АЧХ фильтра. дБ Амплитуды сигналов: А1 – 1 (0 дБ) А2 – 0.01 (-40 дБ) А3 –0.001(-60 дБ)

135 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 135 Использование «окон» при спектральном анализе Во временной области – умножение сигнала на весовую функцию «окна». 1 умножение на отсчет для всех видов окон В спектральной области – свертка спектра сигнала с частотной характеристикой «окна». Для окна Ханна порядок фильтра -3 ( окно Хэмминга – без умножений). Для окна Блэкмана порядок фильтра - 5. Временные отсчеты Умножение на весовую функцию Анализатор спектра (БПФ) Спектральные отсчеты Временные отсчеты Свертка с ЧХ «окна» (сглаживание спектра) Анализатор спектра (БПФ) Спектральные отсчеты

136 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 136 Использование «окон» при спектральном анализе Стратегия выбора «окна» по одному из параметров: по скорости спадания БЛ – при большой разнице амплитуд и частот; по максимальному уровню БЛ – при разных амплитудах и неизвестных (распределенных в большом диапазоне) частотах; по ширине основного лепестка АЧХ – при сопоставимых амплитудах и близко расположенных частотах. дБ Амплитуды сигналов: А1 – 1 (0 дБ) А2 – 0.01 (-40 дБ) А3 –0.001(-60 дБ)

137 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 137 Классические методы спектрального оценивания Задача: получить оценку спектральной плотности мощности сигнала с минимальной среднеквадратической ошибкой по зашумленной реализации конечной длительности. Основные характеристики: Диапазон анализируемых частот Определяется частотой дискретизации F s : от 0 до ½ F s для действительных сигналов; от - ½ F s до + ½ F s для комплексных сигналов. Разрешающая способность по частоте Определяется эффективной шириной главного лепестка ЧХ окна B e : Достоверность Определяется относительной среднеквадратической ошибкой Q оценки СПМ

138 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 138 Классические методы спектрального оценивания Особенность оценки СПМ при наличии шума: При увеличении размерности БПФ ошибка оценки СПМ не уменьшается, так как определяется спектральной плотностью шума. Для ее снижения необходимо усреднение спектральных оценок. При ограниченной длине реализации случайного процесса: Повышение достоверности оценки приводит к ухудшению разрешающей способности; Повышение разрешающей способности приводит к потере достоверности оценки. Если влияние шума пренебрежимо мало, то - эффективная длительность реализации. Если необходимо усреднение оценок СПМ для повышения достоверности, то - статистическая ширина полосы «окна»

139 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 139 Периодограммный метод оценки СПМ Последовательность операций: 1.Реализация процесса длиной L отсчетов разбивается на M сегментов размером N отсчетов каждый 2.Вычисляется БПФ от каждого сегмента 3.Усредняется оценка СПМ Для снижения потерь из-за взвешивания функцией «окна» применяется перекрытие сегментов на ½ или ¼. Увеличение длины сегмента соответствует улучшению разрешающей способности и снижению достоверности (возрастанию ошибки), и наоборот.

140 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 140 Коррелограммный метод оценки СПМ Основан на дискретном аналоге теоремы Винера-Хинчина. Последовательность операций: 1.Вычислить АКФ реализации процесса в диапазоне [0,N-1] дискретных задержек: 2.Вычислить ДПФ размерности N от АКФ c использованием «окна»: Увеличение диапазона задержек АКФ соответствует улучшению разрешающей способности, и снижению достоверности (возрастанию ошибки), и наоборот. Рекомендуется: начинать оценку СПМ с высокой достоверности, продвигаясь в направлении более высокого разрешения по частоте.

141 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 141 Параметрические методы спектрального оценивания Основные недостатки классических методов: низкое разрешение, ограниченное длительностью сигнала; маскировка слабых сигналов боковыми лепестками «окон». Возможность устранения этих недостатков – в использовании априорной информации об оцениваемом процессе. Задача оценки СПМ сводится к оценке небольшого числа параметров модели. Оцениваемые параметры: Коэффициенты фильтра; Мощность шума. Источник «белого» шума Линейная система (фильтр) порядка P Оцениваемый процесс + Источник «белого» шума

142 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 142 Параметрические методы спектрального оценивания Модели авторегрессии (АР) и скользящего среднего (СС): АР СС АРСС Z СС: АР: b0b0 b1b1 bqbq a1a1 apap

143 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 143 Параметрические методы спектрального оценивания Связь параметров АР – модели и значений АКФ процесса Нормальное уравнение Юла-Уолкера для АР – процесса Записываем эти уравнения для в матричной форме:

144 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 144 Параметрические методы спектрального оценивания Методика построения оценки СПМ для АР- процесса: Рассчитываются значения АКФ : ; Решается уравнение Юла-Уолкера относительно параметров АР- модели и спектральной плотности ; Вычисляется оценка СПМ:

145 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 145 Параметрические методы спектрального оценивания Взаимосвязь классических и параметрических методов оценки СПМ.

146 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 146 Параметрические методы спектрального оценивания Преимущества параметрических методов: высокое разрешение, что соответствует «длинной» АКФ; отсутствие боковых лепестков весовой функции «окна». Недостатки параметрических методов: неопределен выбор порядка модели; зависимость разрешения от отношения сигнал/шум Формула Марпла; возможная потеря устойчивости.

147 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 147 Параметрические методы спектрального оценивания Сводная таблица параметрических методов оценки СПМ МетодХарактеристики БергаОбщие свойства КовариационныйПреимущества Модифицированный ковариационный Недостатки Юла-УолкераУсловия несингулярности Общие свойства МетодБерга Ковариаци- онный Модифиц. ковариац. Юла- Уолкера Не использует взвешивание данных функцией «окна» Использует взвешивание данных функцией «окна» Минимальная СКО предсказания «вперед» и «назад» с ограничением алгоритма Дурбина- Левинсона Минимальная СКО предсказания «вперед» Минимальная СКО предсказания «вперед» и «назад». Минимальная СКО предсказания «вперед» Преимущества МетодБерга Ковариаци- онный Модифиц. ковариац. Юла- Уолкера Высокое разрешение для короткой длины блока данных Разрешение выше, чем у Юла-Уолкера при коротких блоках данных Высокое разрешение для короткой длины блока данных Для длинных блоков данных разрешение такое же, как у других методов Всегда устойчивые модели Работоспособен для P чистых гармоник в шуме Работоспосо- бен для P чистых гармоник в шуме Всегда устойчивые модели Не подвержен расщеплению спектральных линий Недостатки МетодБерга Ковариационн ый Модифиц. ковариац. Юла- Уолкера Расположение пиков сильно зависит от начальных фаз Может приводить к неустойчивым моделям Работает относительно плохо для коротких блоков данных Подвержен расщеплению спектральных линий при высоком порядке модели Смещение частот оценок синусоид в шуме Расположение пиков слегка зависит от начальных фаз Смещение частот оценок синусоид в шуме Наименьшее смещение частот оценок синусоид в шуме Условия несингулярности МетодБерга Ковариаци- онный Модифици- рованный ковариаци- онный Юла- Уолкера -Порядок должен быть меньше, либо равен половине размера кадра данных Порядок должен быть меньше, либо равен 2/3 размера кадра данных -

148 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 148 Параметрические методы спектрального оценивания Общие свойства МетодБерга Ковариаци- онный Модифиц. ковариац. Юла- Уолкера Не использует взвешивание данных функцией «окна» Использует взвешивание данных функцией «окна» Минимальная СКО предсказания «вперед» и «назад» с ограничением алгоритма Дурбина- Левинсона Минимальная СКО предсказания «вперед» Минимальная СКО предсказания «вперед» и «назад». Минимальная СКО предсказания «вперед»

149 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 149 Параметрические методы спектрального оценивания Преимущества МетодБерга Ковариаци- онный Модифиц. ковариац. Юла- Уолкера Высокое разрешение для короткой длины блока данных Разрешение выше, чем у Юла-Уолкера при коротких блоках данных Высокое разрешение для короткой длины блока данных Для длинных блоков данных разрешение такое же, как у других методов Всегда устойчивые модели Работоспособен для P чистых гармоник в шуме Работоспосо- бен для P чистых гармоник в шуме Всегда устойчивые модели Не подвержен расщеплению спектральных линий

150 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 150 Параметрические методы спектрального оценивания Недостатки МетодБерга Ковариационн ый Модифиц. ковариац. Юла- Уолкера Расположение пиков сильно зависит от начальных фаз Может приводить к неустойчивым моделям Работает относительно плохо для коротких блоков данных Подвержен расщеплению спектральных линий при высоком порядке модели Смещение частот оценок синусоид в шуме Расположение пиков слегка зависит от начальных фаз Смещение частот оценок синусоид в шуме Наименьшее смещение частот оценок синусоид в шуме

151 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 151 Параметрические методы спектрального оценивания Условия несингулярности МетодБерга Ковариаци- онный Модифици- рованный ковариаци- онный Юла- Уолкера -Порядок должен быть меньше, либо равен половине размера кадра данных Порядок должен быть меньше, либо равен 2/3 размера кадра данных -