Производная. МБОУ «Средняя школа 3» Тетуева Г.Э. Высшая кв. категория. - презентация

1 Производная. МБОУ «Средняя школа 3» Тетуева Г.Э. Высшая кв. категория

2 Найдите производные функций: Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ

3 Найдите производные функций: Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ

4 Геометрический смысл производной

5 у х а b Определите по графику функции у = f (x): 1.Чему равен угловой коэффициент касательной в точке М? М подсказк а 135 о 2. Чему равна производная в точке М ? М 0 0 М 3/43/4 3/43/4

6 Функция y=f(x) задана на интервале (a;b), на рисунке изображен график ее производной а b К графику функции провели все касательные, параллельные прямой y = 3 + x (или совпадающие с ней). Найдите количество точек графика функции, в которых проведены эти касательные. решение У всех прямых, параллельных прямой y = 3 + x, угловой коэффициент равен 1. Поэтому найдём, сколько раз производная принимает значение, равное 1. Для этого найдём число точек пересечения графика производной с прямой y = 1 Таких точек ровно 5. Ответ: 5 у х у = 1

7 решение Функция y=f(x) задана на интервале (a;b), на рисунке изображен график ее производной. Найдите количество точек графика функции в которых касательные наклонены под углом 135 о к положительному направлению оси абсцисс. Ответ: 5 Найдем угловой коэффициент k = tg a: tg 135 o = -1. Найдём, сколько раз производная принимает значение, равное -1. Для этого найдём число точек пересечения графика производной с прямой y = -1 Таких точек ровно 5. у х а b у = -1

8 Функция y=f(x) задана на интервале (a;b), на рисунке изображен график ее производной. решение у х а b К графику функции провели все касательные, параллельные прямой у = 4 - 2х (или совпадающие с ней). Найдите наибольшую из точек абсцисс, в которых проведены эти касательные. Ответ: 4 У всех прямых, параллельных прямой y = 4 -2x, угловой коэффициент равен -2. Найдём, в каких абсциссах производная принимает значение, равное -2. Для этого найдём точки пересечения графика производной с прямой y = -2 и выберем точку с наибольшей абсциссой. Это х=4. 4 у = -2

9 решение Функция y=f(x) задана на интервале (a;b), на рисунке изображен график ее производной. Найдите количество точек графика функции в которых касательные наклонены под углом 60 о к положительному направлению оси абсцисс. Найдем угловой коэффициент k = tg a: tg 60 o =. Найдём, сколько раз производная принимает значение, равное. Для этого найдём число точек пересечения графика производной с прямой y = Таких точек ровно 2. у х а b Ответ: 2

10 Механический смысл производной

11 Материальная точка движется прямолинейно по закону s (t) = 1 - 6t + 2,5t 2 Определить скорость через 2 с. после движения. Ответ: 4 РЕШЕНИЕ. подсказк а ЗАДАЧА 1

12 Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью р( t ) = t 2 /2 + 3t –3 (моль) Найти скорость химической реакции через 3 секунды. ЗАДАЧА 2 подсказк а РЕШЕНИЕ. 1) v( t ) = p`( t ) = t + 3, 2) v(3) = p`(3) = = 6(моль/сек) Ответ: 6 моль / сек

13 Признаки возрастания и убывания функции

14 Справочные сведения:

15 Функция y = f(x) задана на интервале (a;b), на рисунке изображен график ее производной. у х Укажите промежутки убывания функции. 2. Укажите промежутки возрастания функции Определите длину промежутка возрастания функции. а b

16 Функция y = f(x) задана на интервале (a;b), на рисунке изображен график ее производной. у х b а 1. Укажите промежутки убывания функции. 2. Укажите промежутки возрастания функции. 3. Определите длину промежутка, на котором касательная к графику функции имеет отрицательный угловой коэффициент? 6

17 Функция y = f(x) задана на интервале (a;b), на рисунке изображен график ее производной. у х Укажите промежутки убывания функции. 2. Укажите промежутки возрастания функции. 3. Определите длину наибольшего промежутка, на котором касательная к графику функции имеет положительный угловой коэффициент? 3 а b

18 Экстремумы функции

19 Функция y=f(x) задана на интервале (a;b), на рисунке изображен график ее производной. у х b а 1.Назовите точки максимумов функции. 2. Назовите точки минимумов функции. х = 0 х = -3; х = 2

20 Функция y=f(x) задана на полуинтервале (a;b], на рисунке изображен график ее производной. у х b а 1.Назовите точки максимумов функции. 2. Назовите точки минимумов функции. х = -3, х = 2 х = 1, х = 3

21 Функция y=f(x) задана на полуинтервале (a;b], на рисунке изображен график ее производной. у х а b х = 0 нет 2. Назовите точки максимумов функции. 3. Верно ли, что отмеченные точки являются точками минимумов функции? нет 4. Назовите точки минимумов функции. х = -4, х = 4 5. Как называются оставшиеся точки? точки перегиба х = -2, х = 2 1. Верно ли, что отмеченные точки являются точками максимумов функции?

22 Определение свойств функции по графику её производной

23 Информация, которую можно получить о функции y = f (x), если задан график её производной у х а b Точки максимума: х = -3; х = 1; х = 3 Точки минимума: х = -4; х = 0; х = 2 Функция убывает на промежутках: (а;-4], [-3;0],[1;2],[3;b] Функция возрастает на промежутках: [-4;-3],[0;1],[2;3] Точки экстремума: х = -4; х = -3; х = 0; х = 1; х = 2; х = 3

24 Функция y = f (x) задана на интервале (a;b), н а рисунке изображен график ее производной. 1.В скольких точках касательная к графику функции параллельна оси абсцисс? 2. Сколько промежутков возрастания у функции? 3. Назовите точки максимума. 4. Назовите точки минимума. у х b а 5 х = -3 ; 3 х = 1; Как называется точка х = -1? Точка перегиба.

25 у х у х у х у х Найдите функцию по графику её производной

26 Задача 1. На рисунке изображен график y=f(x) производной функции y=f(x), определенной на интервале (-8;3) В какой точке отрезка [-3;2] функция принимает наибольшее значение Подумай! Верно! Подумай! ПРОВЕРКА (4) + - y=f(x)

27 Задача 2. На рисунке изображен график y=f(x) производной функции y=f(x), определенной на интервале (-8;4) В какой точке отрезка [-7;-3] функция принимает наибольшее значение Подумай Верно! Подумай ПРОВЕРКА(3) + - нет y=f(x)

28 Задача 3. На рисунке изображен график y=f(x) производной функции y=f(x), определенной на интервале (-11;11) Найдите количество точек экстремума функции y=f(x), принадлежащих отрезку [-10;10]. ПРОВЕРКА (2) max min y=f(x) Подумай! Верно! Подумай!

29 Задача 4. На рисунке изображен график y=f(x) производной функции y=f(x), определенной на интервале (-2;12) Найдите промежутки убывания функции y=f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них Подумай! Верно! Подумай! ПРОВЕРКА (3)

30 Задача 5. На рисунке изображен график y=f(x) производной функции y=f(x), определенной на интервале (-10;2) Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y= - 2x-11 или совпадает с ней. f(x)=-2 ПРОВЕРКА(2) Подумай! Верно! Подумай!

31 Задача 6. На рисунке изображен график y=f(x) производной функции y=f(x), определенной на интервале (-4;8) Найдите точку экстремума функции y=f(x). Принадлежащей отрезку [-2;6] Подумай! Верно! Подумай! max + ПРОВЕРКА (1)

32 Задача 7. На рисунке изображен график y=f(x) и касательная к нему в точке x 0. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке x Подумай Верно! Подумай 0,25 0, ПРОВЕРКА (5) α

33 Задача 8. На рисунке изображен график y=f(x) и касательная к нему в точке x 0. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке x Подумай! Верно! Подумай! ПРОВЕРКА (3) β α 2 -0,5 0,5 -2-2

34 Задача 9. На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции в точке с абсциссой 8. Найдите значение производной функции в точке x 0 = Подумай! Верно! Подумай! 1,25 0,4 0,8 1 α ПРОВЕРКА (3)

35 Задача 10. На рисунке изображен график y=f(x) производной функции y=f(x), определенной на интервале Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y= 2x-2 или совпадает с ней Подумай Верно! Подумай ПРОВЕРКА (2) f(x)=2 5

36 Задача 11. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5) Найдите количество точек, в которых производная функции y=f(x) равна 0. y=f(x) Подумай! Верно! Подумай! ПРОВЕРКА (3)

37 Задача 12. Прямая y=5x-8 является касательной к графику функции f(x)=28x 2 +bx+15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. Т.к. парабола и касательная имеют общую точку с координатами x 0 и y 0, то составим уравнение: Решим данное уравнение: Подумай! Верно! Подумай! ПРОВЕРКА (7)

38 Задача 13. Материальная точка движется прямолинейно по закону где x –расстояние от точки отсчета в метрах, t-время в секундах измеренное с начала движения. Найдите скорость в м/с в момент времени t=6 c Подумай! Верно! Подумай! ПРОВЕРКА (3)

39 Задача 13. Материальная точка движется прямолинейно по закону где x –расстояние от точки отсчета в метрах, t-время в секундах измеренное с начала движения. Найдите скорость в м/с в момент времени t=6 c Подумай! Верно! Подумай! ПРОВЕРКА (3)

40 Задача 14. Материальная точка движется прямолинейно по закону где x –расстояние от точки отсчета в метрах, t-время в секундах измеренное с начала движения. В какой момент вре мени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с? Составим уравнение: ПРОВЕРКА (5) Подумай Верно! Подумай

41 Ответы к заданиям Дом.зад. на карточках.