Курс лекций для магистров Направление 010400.68 Прикладная математика и информатика Профиль подготовки Математическое и информативное обеспечение экономической. - презентация

1 Курс лекций для магистров Направление Прикладная математика и информатика Профиль подготовки Математическое и информативное обеспечение экономической деятельности Автор курса : Лелявин С.Н.

2 СТРУКТУРА ЕЁ РЕАЛЬНОСТИ ОБЪЕКТИВНОСТЬ МИРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФОРМ

3 Мир математических форм обладает объективным самостоятельным существованием, не принадлежа при этом ни миру материи, ни миру духа, но представляя третий сорт бытия, не сводимый к первым двум.

4 Как практически проверить факт такого независимого существования? Можно ли формулировке придать ясный смысл? Достаточные критерии реальности объектов: Что объективно познаваемо, то объективно существует. (R) Достаточные критерии объективной реальности

5 1. «Объективно познаваемо» то, что приводит к воспроизводимому знанию, –к знанию, которое может быть получено с использованием воспроизводимых методов. Разные исследователи могут прийти к одной и той же информации об интересующем объекте, эта информация имеет объективный смысл, не зависящий от самих субъектов, но зависящий от объекта, который, тем самым, объективно существует.

6 Если вместе с воспроизводимостью метода имеется и воспроизводимость результата, то объект познаваем этим методом, так как не только процедуру можно воспроизвести, но и результат ее будет одним и тем же.

7 2. Знание, в одном и том же или эквивалентном виде получено независимо разными исследователями, так чтобы независимые акты познания были связаны также с воспроизводимыми методами. Воспроизводимая методика должна быть в реализуема чисто механически, автоматом. Это принципиальный элемент определения воспроизводимости.

8 Введем признаки объективной познаваемости и, соответственно, объективной реальности в форме «квазиматематической». Пусть А означает вещь, которая может быть объектом познания, ОбСущ(А), ОбПозн(А), ВоспрМет(А), НезОткр(А) есть предикаты, означающие, соответственно, «А объективно существует», «А объективно познаваемо», «А познаваемо воспроизводимыми методами», «А открыто независимо более одного раза», тогда введенные выше признаки объективного существования объекта А имеют форму двойной импликации: ВоспрМет(А) ОбПозн(А) ОбСущ(А) (R1) НезОткр(А) ОбПозн(А) ОбСущ(А) (R2) Поэтому собственной реальностью обладает все то, что объективно познаваемо,

9 Объективная реальность не обязана быть однородной, но реальность не находится в зависимости от того, имел ли место фактически акт познания в отношении этого объекта – свойство «потенциальности». «Потенциальность» может характеризовать наше субъективное отношение к существованию каких-то объектов, но не это существование как таковое. Одиночное квантовое измерение хоть и воспроизводимо как процедура, но не приводит ни к какому объективному знанию из-за отсутствия воспроизводящегося результата. Поэтому проблема «потенциальной» реальности снимается.

10 Обладают ли «самостоятельным» существованием абстрактные математические объекты? Математические объекты мыслимые как реально существующие, известны, как «математический реализм». Величайшие математики придерживались этой позиции: среди них Ш.Эрмит, Д. Гильберт, А. Пуанкаре, К.Гёдель.Роджер Пенроуз «Путь к реальности...» [3] (стр. 37): «Множество Мандельброта совершенно определенно не является изобретением человеческого разума. Оно просто объективно существует в самой математике… множество Мандельброта существует и существует вполне устойчиво: кто бы ни ставил перед компьютером задачу построения множества, каким бы ни был этот самый компьютер, структура в результате получается всегда одинаковая и чем глубже мы считаем, тем более точной и детальной будет картинка. Следовательно существовать множество Мандельброта может только в платоновском мире математических форм, больше нигде.» Объективное существование мира математических форм

11 Математические формы, по терминологии Пенроуза определенно обладают собственной реальностью, так как удовлетворяют условиям (R1) и (R2). 1. Они объективно познаваемы и получаются воспроизводимыми методами математических доказательств или вычислений (R1). 2. многие математические истины открывались независимо разными исследователями (R2). Мир математических форм существует совершенно объективно и независимо от сознания познающих его субъектов.

12 Уверенность в объективном существовании основана на познаваемости объектов воспроизводимыми методами, природа методов различна в отношении мира математики и материального мира. В одном случае это метод доказательств вычислений), в другом – это экспериментальный метод (наблюдения). Вычисление есть процесс, который в принципе должен быть выполнен некоторым реальным физическим устройством шаг за шагом, линейно упорядоченным во времени Поэтому математическое доказательство, как разновидность метода познания, может рассматриваться как разновидность воспроизводимой экспериментальной процедуры.

13 Близость методов математики экспериментальным процедурам стала еще более заметной с возникновением понятия квантового компьютера, эти вычисления не могут быть выполнено «на бумаге» или «в уме», но могут быть реализовано в виде некоторого физического процесса специальным устройством – квантовым процессором. Квантовый компьютер является по своей сути аналоговым, работает лишь с конечной точностью и всегда имеется неисчезающая вероятность получения ошибки. Поэтому граница между обычными экспериментальными процедурами и методами математики является крайне размытой.

14 Доказательства существования мира математических форм

15 Получение двух различных результатов с помощью различных, но правильных логических выводов, называется противоречием. В рассматриваемой системе для некоторого осмысленного утверждения А можно одновременно доказать А и не-А. Это означает противоречивость всей системы, такая система с практической точки зрения является совершенно бесполезной и никакие математические формы объективным существованием не обладают. Математика является непротиворечивой (в противном случае она была бы бесполезной) и объективное существование мира математических форм тавтологично не фальсифицируемо. Доказательства существования мира математических форм

16 1. Фальсифицируемость по Попперу есть требование только к форме следствий, вытекающих из теории. Научные утверждения должны приводить следствиям которые отвергается опытом. Это требование выполняется для гипотезы о реальности мира вычислимых математических форм. 2. Непротиворечивость мира математических форм на самом деле отнюдь не имеет тривиального характера. Так как непротиворечивость математики в целом не доказана, Бурбаки Н. писал:«итак, мы верим, что математике суждено выжить и что никогда не произойдет крушения главных частей этого величественного здания вследствие внезапного выявления противоречия; но мы не утверждаем, что это мнение основано на чем-либо, кроме опыта». Доказательства существования мира математических форм

17 Противоречия в математике: в наивной канторовской теории множеств-любое осмысленное свойство определяет множество объектов, обладающих этим свойством, приводит к противоречию. Это противоречие удалось устранить за счет более аккуратной формулировки теории. В отношении некоторых других разделов математики в силу второй теоремы Гёделя о неполноте непротиворечивость не может быть доказана. Вторая теорема Гёделя о неполноте утверждает, что непротиворечивость системы не может быть доказана внутри самой системы ее собственными средствами, если система действительно непротиворечива. теоремы Гёделя о неполноте выполняются не для всех математических систем, существует целый ряд теорий, непротиворечивость которых доказана до конца простыми и строго финитными методами. Доказательства существования мира математических форм

18 Объективный мир математики неоднороден в отношении его объективного существования в той же степени, в какой он неоднороден в отношении его непротиворечивости. Непротиворечивость математической теории и существование объектов этой теории эквивалентны. Для Д.Гильберта непротиворечивость аксиоматического понятия в математике эквивалентна его существованию. Д. Гильберт стремился получить уверенность в существовании математических объектов, прежде чем начать их изучать. Доказательства существования мира математических форм

19 В силу первой теоремы Гёделя о неполноте некоторые системы (формальная арифметика, теория множеств) содержат истинные (гёделевские) утверждения, которые, невыводимы в данной системе. Непротиворечивость Гёделевских утверждений в общем случае закрыта для опытной проверки, невозможно построить ни одного формального доказательства такого утверждения и сравнить результаты различных доказательств. Кроме гёделевских объектов в мире математических форм существуют чрезвычайно обширные фрагменты, в отношении которых открытость утверждения об их объективном существовании для контроля опытом и для фальсификации не вызывает сомнений. Доказательства существования мира математических форм

20 Если математические истины существуют объективно и независимо от нас, то они должны быть по необходимости пере открыты другими цивилизациями, достигшими как минимум уровня космических технологий. Другая цивилизация должна пройти весь путь построения математики и все результаты должны были быть получены независимо о нас, так как все эти результаты уже существуют независимо от кого бы то ни было в объективном мире математических форм. Критерий независимости получения информации в отношении мира математических форм (R2) превращается из достаточного критерия объективности, в необходимый, открытый контролю опытом, тогда критерий (R2) перемещается из области философии в область естественных наук. Доказательства существования мира математических форм

21 Объективная реальность представлена не только объективной реальностью материального мира, но и объективной реальностью совершенно иного рода – объективным миром математических форм, реальность мира математических форм не должна рассматриваться как предмет веры или даже как философский постулат, так как допускает опытный контроль с помощью ясных операционально определенных процедур и фальсификацию в смысле Поппера. Доказательства существования мира математических форм

22 инженерная графика, научная графика, Wеb-графика, компьютерная полиграфия графика для развлечений

23 Современная компьютерная графика - это достаточносложная, основательно проработаина и разнообразнаянаучно-техническаядисциплин Некоторые ее разделы, такие как геометрические преобразования, способы описания кривых и поверхностен '-', к настоящему времени уже исследованы достаточно полно. Ряд областей продолжает активно развиваться: методы растрового сканирования, удаление невидимых линии '-' и поверхностен '-', моделированиецвета и освещенности, создание эффекта прозрачности и др. Визуализация результатов

24 Отображение информации Ни одна из областей современной науки не обходится без графическогопредставления информации. Помимо визуализации результатов экспериментов и анализа данных натурных наблюдений существует обширная область математическогомоделирования процессов и явлений, которая просто немыслима без графическоговывода Визуализация результатов

25 Помимо визуализации результатов экспериментови анализа данных натурных наблюдений существует обширная область математического моделированияпроцессов и явлении '-J, которая просто немыслима без графического вывода. Например, описать процессы, протекающие в атмосфере или океане, без соответствующих наглядных картин течении '-' или полеи '-' температур практически невозможно … Отображение информации

26 Векторное поле Распределение температуры в салоне автомобиля Геометрия 3-х пластов нефтяного месторождения. Примеры визуализации результатов.

27 Например, описать процессы, протекающие в атмосфере или океане, без соответствующих наглядных картин течений или поле температуры практически невозможно Пример1. Векторное поле На рисунке: Ориентация вектора. Цвет вектора

28 Визуализация результатов Векторное поле. Ориентация вектора. Цвет вектора

29 Пример 2. Распределение температуры в салоне автомобиля Визуализация результатов Например, описать процессы, протекающиев атмосфере или океане, без соответствующихнаглядных картин течений или поле температуры практически невозможно

30 Визуализация результатов В геологии в результатеобработки трехмерных натурных данных можно получить геометрию пластов, залегающих на большой глубине. Отображение информации Помимо визуализации результатов экспериментов и анализа данных натурных наблюдений существует обширная область математического моделирования процессов и явлении, которая просто немыслима без графического вывода. Например, описать процессы, протекающиев атмосфере или океане, без соответствующих наглядных картин течений или пол температуры практически невозможно.

31 В геологии в результате обработки трехмерных натурных данных можно получить геометрию пластов... Визуализация результатов Пример 3. Геометрия 3-х пластов нефтяного месторождения

32 Визуализация результатов Примеры блочных геологических моделей Пример 4. Сеточная модель залежи

33 Визуализация результатов Демонстрация эволюции процесса вытеснения: нефтенасыщенность и пластовое давление

34 Визуализация результатов Помимо визуализации результатов экспериментов и анализа данных натурных наблюдений... В медицине в настоящее время широко используются методы диагностики, использующие компьютерную визуализацию внутренних органов человека. Томография (в частности, ультразвуковое исследование) позволяет получить трехмерную информацию, которая затем подвергается математическом обработке и выводится на экран. Помимо этого применяется и двумерная графика: энцифолограммы, миограммы, выводимые на экран компьютера или графопостроитель.

35 Проектирование В строительстве и технике чертежи давно представляют собой основу проектирования новых сооружений или изделий. Процесс проектирования с необходимостью является итеративным.

36 Проектирование В строительстве конструктор перебирает множество вариантов с целью выбора оптимального по каким-либо параметрам.

37 Проектирование Сегодня существуют развитые программные средства автоматизации проектно-конструкторских работ (САПР), позволяющие быстро создавать чертежи объектов, выполнять прочностные расчеты и т.п. Они дают возможность не только изобразить проекции изделия, но и рассмотреть его в объемном виде с различных сторон. Такие средства также чрезвычайно полезны для дизайнеров интерьера, ландшафта.

38 1 ) Для полиграфии 2) Графического дизайна 3) Геоинформационные системы 4) Системы автоматизированного проектирования 5) Системы виртуальной реальности; тренажеры, игровые системы (шлем­ дисплей, сенсоры)

39 По области применения 1) Для полиграфии 2) Графического дизайна 3) Геоинформационные системы 4) Системы виртуальной реальности; тренажеры, игровые системы (шлем­ дисплей, сенсоры)

40 По области применения различают системы системы автоматизированного проектирования Системы автоматизированного проектирования: системы автоматизации проектирования, системы автоматизации конструирования,системы автоматизации производства, системы автоматизации научных исследовании,автоматизированные системы управления технологическими процессами.

41 Основными факторами успеха в современном промышленном производстве являются: сокращение срока выхода продукции на рынок, снижение ее себестоимости и повышение качества. К числу наиболее эффективных технологий, позволяющих выполнить эти требования современного промышленного производства относят так называемые САD/САМ/САЕ-системы.

42 Системы автоматизированного проектирования САD/САМ/САЕ-системы – системы автоматизированного проектирования, системы технологической подготовки производства, системы инженерного анализа

43 По области применения различают системы Системы автоматизированного проектирования САD-системы (Computer Aided Design System - компьютерная поддержка проектирования) предназначены для решения конструкторских задач и оформления конструкторской документации (более привычно они именуются системами автоматизированного проектирования - САПР ( САD-системы - конструкторские (не специализированные) САПР общего назначения).

44 По области применения различают системы Как правило, в современные САD-системы входят модули моделирования трехмерной объемной конструкции (детали), оформления чертежей и текстовой конструкторской документации (спецификаций, ведомостей и т. д.). Ведущие трехмерные САD-системы позволяют реализовать идею сквозного цикла подготовки и производства сложных промышленных изделии.

45 По области применения различают системы Системы автоматизированного проектирования САМ-системы (Соmputеr Aided Manufacturing- компьютерная поддержка изготовления) предназначены для проектирования обработки изделий на станках с числовым программным управлением (ЧПУ) и выдачи программ для этих станков (фрезерных, сверлильных, эрозионных, пробивных, токарных, шлифовальных и др.). САМ-системы еще называют системами технологической подготовки производства.

46 По области применения различают системы Системы автоматизированного проектирования (САМ технологические САПР общего назначения, в частности системы автоматизированном подготовки управляющих программ для станков с ЧПУ). В настоящее время они являются практически единственным способом для изготовления сложно профильных деталей и сокращения цикла их производства. В САМ -системах используется трехмерная модель детали, созданная в САD-системе.

47 По области применения различают системы Системы автоматизированного проектирования САЕ-системы - (Соmputеr Aided Engineering - поддержка инженерных расчетов) представляют собой обширный класс систем, каждая из которых позволяет решать определенную расчетную задачу (группу задач), начиная от расчетов на прочность, анализа и моделирования тепловых процессов до расчетов гидравлических систем и машин, расчетов процессов литья. (САЕ- САПР функционального проектирования). САЕ-системы еще называют системами инженерного анализа, в САЕ-системах также используется трехмерная модель изделия, созданная в САD-системе.

48 По области применения различают системы

49

50 Лидеры мирового рынка САD/САМ/САЕ-систем по объёмам продаж Parametric Technology Corporation (РМТС), ПО Pro/Engineer, Windchill; Dassault Systemes (DASTY), ПО CATIA, SolidWorks, ENOVIA CATIA, DELMIA; Autodesk (ADSK), семейство программ, в основе которых лежит AutoCAD; Unigraphics Solutions (UGS), ПО Unigraphics, Solid Edge, iMAN, Parasolid; Structural Dynamics Research Corporation (SDRC), ПО I-DEAS

51 Проектирование... Как правило, в современные САD-системы входят модули моделирования трехмерной объемной конструкции (детали),...

52 Проектирование САЕ-системы... класс систем, каждая из которых позволяет решать определенную расчетную задачу...

53 Области применения компьютерной графики Отображение информации Проектирование Моделирование Графический пользовательский интерфейс

54 Моделирование Под моделированием в данном случае понимается имитация различного рода ситуации, возникающих, например, при полете самолета или космического аппарата, движении автомобиля и т.п. Но моделирование используется не только при создании различного рода тренажеров.

55 Моделирование Моделирование используется не только при создании различного рода тренажеров. В телевизионной рекламе, в научно-популярных и других фильмах теперь синтезируются движущиеся объекты, визуально мало уступающие тем, которые могут быть получены с помощью кинокамеры. Кроме того, компьютерная графика предоставила киноиндустрии возможности создания спецэффектов, которые в прежние годы были попросту невозможны. В последние годы широко распространилась еще одна сфера применения компьютерной графики – создание виртуальной реальности.

56

57 Основные направления В современной компьютерной графике (КГ) можно выделить следующие основные направления: изобразительная КГ, обработка и анализ изображений, анализ сцен ( перцептивная КГ), компьютерная графика для научных абстракций (когнитивная КГ, т.е. графика, способствующая познанию) Когнитивная графика - это совокупность приемов и методов образного представления условий задачи, которое позволяет либо сразу увидеть решение, либо получить подсказку для его нахождения.

58 Когнитивная компьютерная графика Когнитивная компьютерная графика – активно развивающееся новое направление, пока еще недостаточно четко очерченное. Это – компьютерная графика для научных абстракций, способствующая рождению нового научного знания. Одним из наиболее ранних примеров использования когнитивной компьютерной графики является работа Ч.Страуса "Неожиданное применение ЭВМ в чистой математике" (ТИИЭР, т. 62, No 4, 1974, с )

59 Когнитивная компьютерная графика Ч. Страус > В ней показано, как для анализа сложных алгебраических кривых используется "n мерная" доска на основе графического терминала. Пользуясь устройствами ввода, математик может получать геометрические изображения результатов направленного изменения параметров исследуемой зависимости. Пользуясь устройствами ввода, математик может получать геометрические изображения результатов... Он может также управлять текущими значениями параметров, "углубляя тем самым свое понимание роли вариаций этих параметров". В результате получено "несколько новых теорем и определены направления дальнейших исследований"

60 Основные направления Зенкин Александр Александрович- известный ученый (химик и математик). Его основные научные результаты были связаны с обобщением известной теоремы Гилберта из теории чисел, которое обеспечило полное решение классической проблемы Варинга. Он автор нового направления, получившего название Когнитивная графика. В рамках развития этого направления А.А. Зенкиным были разработаны и реализованы (совместно с сыном, который активно и плодотворно помогал Александру Александровичу в его работе) несколько компьютерных систем на основе идеи и методов когнитивной графики. Зенкин А. А. Когнитивная компьютерная графика. Под ред. Д. А. Поспелова.- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., с.

61 Поспелов Д.А. сформулировал три основных задачи когнитивной компьютерной графики: 1. Создание таких моделей представления знаний, в которых была бы возможность однообразными средствами представлять как объекты, характерные для логического мышления, так и образы картины, с которыми оперирует образное мышление, 2. Визуализация тех человеческих знаний, для которых пока невозможно подобрать текстовые описания, 3. Поиск путей перехода от наблюдаемых образов-картин к формулировке некоторой гипотезы о тех механизмах и процессах, которые скрыты за динамикой наблюдаемых картин. Поспелов -- советский специалист в области новых методов управления сложными системами, создания ЭВМ новой архитектуры и проблем искусственного интеллекта. профессор, доктор технических наук, академик РАЕН и Международной академии информации. Лауреат международной премии им. А. Тьюринга.

62 Когнитивная компьютерная графика Когнитивную графику можно классифицировать по нескольким основным признакам: Первым классификационным признаком является количество измерений, используемых при создании и обработке изображения. По этому признаку вся компьютерная графика делится на два класса: плоская или двухмерная графика, при работе с которой любое изображение имеет лишь два измерения - ширину и высоту и объемная или трехмерная (ЗD) графика, которая характеризуется тремя пространственными измерениями - шириной, высотой и глубиной. Наличие у трехмерных изображений координаты глубины дает возможность взглянуть на них с другого ракурса, не перерисовывая при этом самих изображений.

63 Когнитивная компьютерная графика Когнитивную графику можно классифицировать по нескольким основным признакам: Вторым классификационным признаком является способ формирования изображений, по которому компьютерная графика может быть разделена на растровую, векторную и фрактальную. Основным элементом растровой графики является точка, совокупность точек образует изображение. Векторная графика работает с линиями, которые описываются математически как единый объект. Фрактальная графика, как и векторная, основана на математических вычислениях, однако базовым элементом является сама математическая формула.

64 Когнитивная компьютерная графика Когнитивную графику можно классифицировать по нескольким основным признакам: Третьим признаком является способность динамического изменения изображения. По данному признаку можно выделить два класса: статическая графика и интерактивная (анимационная) графика. Под интерактивной компьютерной графикой понимают раздел компьютерной графики, изучающий вопросы динамического управления со стороны пользователя содержанием изображения, его формой, размерами и цветом на экране с помощью интерактивных устройств взаимодействия.

65 2D Graphics. Двумерная графика. Графика, "действие" в которой происходит в одной плоскости. Например, пользовательский интерфейс. 3D Graphics. Трехмерная графика. Визуальное отображение трехмерной сцены или объекта. Для представления трехмерной графики на двумерном устройстве (дисплей) применяют рендеринг.

66 Трехмерная графика. 3D-графика. Трехмерная графика - технология мультимедиа; компьютерная графика, создаваемая с помощью изображений, имеющих длину, ширину и глубину.

67 Компьютерная графика Графики -- это наглядное изображение словесного или текстового материала посредством арифметических и геометрических средств и художественных образов: чисел, плоскостей, линий, точек и др. С помощью графики устанавливается соотношение определенных величин, их функциональная взаимозависимость.

68 Термины, определения,... Любое изучаемое явление можно представить в графической форме. Графические способы изображения могут быть сгруппированы по различным признакам: по форме графического образа, по типу шкалы, поля, задачам изображения и т.д. Каждый из основных видов графических изображений строится с учетом определенных правил.

69 Термины, определения,... * По форме графического образа различают линейные, плоскостные, объемные, точечные, фоновые, изобразительные диаграммы и карты. * По типу шкалы различают: линейные равномерные (арифметические), линейные неравномерные (функциональные, логарифмические), криволинейные и др. * По виду поля графика различают диаграммы, статистические карты и др.

70 Термины, определения,... Графические способы изображения могут быть сгруппированы по различным признакам: по форме графического образа, по типу шкалы, поля, задачам изображения и т.д.

71 По задачам изображения можно выделить: графики динамики или динамические; графики статистического и динамического сравнения; графики структуры и структурных сдвигов или структурно- динамические; графики контроля выполнения плана; графики пространственного (территориального) размещения и пространственной распространенности; графики вариационных рядов; графики зависимости варьирующих признаков и взаимосвязи ; и др. Термины, определения,...

72 Диаграмма (греч. diagramma)- изображение, рисунок, чертёж) - графическое представление данных, позволяющее быстро оценить соотношение нескольких величин. Представляет собой геометрическое символьное изображение информации с применением различных приемов техники визуализации. Диаграмма - графическое изображение статистических данных при помощи линий или геометрических фигур.

73 Диаграммы-линии или графики - это тип диаграмм, на которых полученные данные изображаются в виде точек, соединённых прямыми линиями. Точки могут быть как видимыми, так и невидимыми. Также могут изображаться точки без линий (точечные диаграммы). График функции - множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента х, а ординаты - соответствующими значениями функции y.

74 Диаграммы-линии или графики - это тип диаграмм, на которых полученные данные изображаются в виде... Основными видами графиков, применяемых для технического анализа, являются следующие: линейный график (line charts) столбиковый график (bar charts) пункто-цифровой график (point & figure, так же называемые ХО, или кресты-нули) японские свечи ( candlestick) тиковый график график баров гистограмма (histogram) Другие виды: объемные японские свечи (Candlevolume), эквиобъемные графики (Equivolume ), графики прорыва 3-х линий (Three-Line Break), графики Ренко (Renko ), графики Каги (Kagi)

75 Определения, пояснения Самые распространенные виды диаграмм: линейные, …

76 Виды диаграмм: Двумерные, квазитрехмерные, … Определения, пояснения

77 График - графическое изображение математической зависимости в виде кривой, характеризующей изменения функции при изменении аргумента/аргументов. График функции - множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента х, а ординаты - соответствующими значениями функции у.

78 Определения, пояснения Линейная диаграмма (Line diagram) - график, на котором отдельные значения функции, соответствующие результатам наблюдений, последовательно соединены линиями. Линейные диаграммы отражают направления развития (тренды).

79 Типы графиков, доступные в Grapher Графики функций иллюстрируют математические выражения. Графики можно представить в двух или квазитрехмерной ориентации.

80 Типы графиков, доступные в Grapher Линейные графики Линии/диаграммы могут иметь несколько осей и кривых. Вы можете изменить строку Свойства отдельные кривые или заполнить их.

81 Типы графиков, доступные в Grapher Линейные графики Графики функций иллюстрируют математические выражения. Графики можно показать в двух или квазитрехмернои ориентации

82 Определения, пояснения Диаграмма рассеяния. Графическое изображение корреляции между двумя сериями измерений. Чем больше точек на диаграмме рассеяния образует определенную тенденцию, тем выше степень корреляции. При линейной корреляции (когда точки расположены вдоль одной линии), направление от нижнего левого угла к верхнему правому означает позитивную корреляцию, а направление от верхнего левого угла к нижнему правому указывает на негативную корреляцию.

83 Диаграммы-линии или графики - это тип диаграмм, на которых полученные данные изображаются в виде точек, соединённых прямыми линиями. Точки могут быть как видимыми, так и невидимыми (ломаные линии). Также могут изображаться точки без линий (точечные диаграммы).

84 Диаграммы-области - это тип диаграмм, схожий с линейными диаграммами способом построения кривых линий. Отличается от них тем, что область под каждым графиком заполняется индивидуальным цветом или оттенком. Преимущества данного метода в том, что он позволяет оценивать вклад каждого элемента в рассматриваемый процесс. Недостаток это типа диаграмм также схож с недостатком обычных линейных диаграмм – искажение относительных изменении показателей динамики с равномерной шкалой ординат.

85 Диаграммы-линии или графики -это тип диаграмм,... Диаграммы-области - это тип диаграмм, …

86 Столбиковые и линейные диаграммы (гистограммы). Классическими диаграммами являются столбиковые (столбчатые) и линейные (полосовые) диаграммы. Также они называются гистограммами. Столбиковые диаграммы в основном используются для наглядного сравнения полученных данных или для анализа их.. изменения за определенным промежуток времени.

87 Построение столбиковой диаграммы заключается в изображении данных в виде вертикальных прямоугольников или трехмерных прямоугольных столбиков. Каждый столбик изображает величину уровня данного статистического ряда. Все сравниваемые показатели выражены одной единицей измерения, поэтому удается сравнить статистические показатели данного процесса.

88 Столбиковые и линейные диаграммы (гистограммы) Классическими диаграммами являются столбиковые (столбчатые) и линейные (полосовые) диаграммы … Разновидностями столбиковых диаграмм являются линейные (полосовые) диаграммы; они отличаются горизонтальным расположением столбиков. Столбиковые и линейные диаграммы взаимозаменяемы, рассматриваемые в них статистические показатели могут быть представлены как вертикальными, так и горизонтальными столбиками. В обоих случаях для изображения величины явления используется одно измерение прямоугольника - высота или длина столбика. Поэтому применения этих двух диаграмм в основном одинакова.

89 Гистограмма с накоплением. Гистограммы с накоплением показывают отношение отдельных составляющих к их совокупному значению, сравнивая по категориям вклад каждой величины в общую сумму. Гистограмма с накоплением представляет значения в виде плоских вертикальных прямоугольников с накоплением. Нормированная гистограмма с накоплением. Нормированные гистограммы с накоплением сравнивают по категориям процентный вклад каждой величины в общую сумму. Нормированная гистограмма с накоплением показывает значения в виде плоских вертикальных нормированных прямоугольников с накоплением.

90 Определения, пояснения Гистограмма - столбиковая диаграмма, показывающая распределение значений некоторой переменной по выбранной совокупности интервалов, покрывающих область изменения этой переменной. Гистограмма (столбиковая диаграмма) - ступенчатая фигура, представляющая собой прямоугольники одинаковой (единичной) длины, площадь каждого из которых равна кратности варианты, попавшей в этот прямоугольник. Гистограмма - в техническом анализе (Bar chart, High-Low-Open hart, High-Low-Open-Close chart) - интервальный график, на котором каждому временному интервалу ставится в соответствие отрезок прямой палочка), начало и конец которого есть высшая и низшая цены периода. При этом цены открытия и закрытия отмечаются на отрезке разнонаправленными рисками.

91 Определения, пояснения Столбиковая (столбчатая) диаграмма... Каждое значение представляется в виде столбика, высота которого пропорциональна этому значению. При построении столбиковых диаграмм необходимо начертить систему прямоугольных координат. Основания столбиков одинакового размера размещаются на оси абсцисс, а вершина столбика будет соответствовать величине показателя, нанесенного в соответствующем масштабе на ось ординат. Каждый отдельный столбик соответствует отдельному объекту (показателю ). Общее число столбиков равно числу сравниваемых величин. Расстояние между столбиками берется одинаковое, а иногда столбики располагаются вплотную друг к другу. Вертикальная шкала всегда начинается с нуля и охватывает весь диапазон изображаемых данных. Для целей наглядности допускается разрыв по шкале данных (обычно начальных). С помощью столбиковых диаграмм легко изобразить также структуру или процесс развития явления во времени.

92 Определения, пояснения Полосовые диаграммы. Полосовые диаграммы наглядны при сравнении величин, связанных между собой элементов целого. В этом случае столбики размещаются не по вертикали, а по горизонтали, т. е. основание полос (объекты, данные) располагаются на оси ординат, а масштаб - на оси абсцисс. Ширина полос также (как столбцов в столбиковой диаграмме) должна быть одинаковой. Расстояние между ними берется одинаковым (обычно ½ или ¼ ширины полос) или полосы строятся вплотную. Шкала горизонтальной полосовой диаграммы должна начинаться также с нуля, ее разрыв обычно не допускается. В столбиковой диаграмме может допускаться точка разрыва.

93 Типы графиков, доступные в Grapher Гистограммы /столбчатые диаграммы/ отображают данные как примыкающие (смежные) или расположенные в стеке области. Можно выводить в вертикальные или горизонтальные ориентации. Гистограммы могут быть отображены как 2-х или трехмерные.

94 Типы графиков, доступные в Grapher При раскраске (заливке) для гистограмм возможны: использование однородного цвета, градиентной цветовом заливки, многократных цветов заливки или любой комбинации цветных наборов. Вывод заголовков возможен наверху областей, внизу или в обоих местоположениях. К гистограммам могут быть непосредственно добавлены строки погрешностей.

95 Столбиковые и линейные диаграммы (гистограммы) Классическими диаграммами являются столбиковые (столбчатые) и линейные (полосовые) диаграммы...

96 Самые распространенные виды диаграмм:..., столбиковые (столбчатые), полосовые,...

97 Самые распространенные виды диаграмм:..., столбиковые (столбчатые), полосовые,...

98 Плавающие гистограммы изменений... … могут быть отображены с многочисленными цветными видами в вертикальной или в горизонтальной ориентации Типы графиков, доступные в Grapher

99 Достаточно распространённым способом графического изображения структуры статистических совокупностей является секторная диаграмма, так как идея целого очень наглядно выражается кругом, который представляет всю совокупность. Относительная величина каждого значения изображается в виде сектора круга, площадь которого соответствует вкладу этого значения в сумму значений. Этот вид графиков удобно использовать, когда нужно показать долю каждой величины в общем объёме. Сектора могут изображаться как в общем круге, так и отдельно, расположенными на небольшом удалении друг от друга.

100 Определения, пояснения Секторная диаграмма (Pie diagram) - график, на котором результаты наблюдений представлены в виде кругов, разбитых на сектора. Секторные (круговые) диаграммы рекомендуется использовать, если: Требуется отобразить только один ряд данных. Все значения, которые требуется отобразить, неотрицательны. Значения, которые требуется отобразить, больше нуля. Количество категорий не слишком велико. Категории соответствуют частям общего круга.

101 Круговые диаграммы

102

103

104 Определения, пояснения Секторная диаграмма (Pie diagram) - график, на котором результаты наблюдений представлены в виде кругов, разбитых на сектора.

105 Определения, пояснения Секторная диаграмма (Pie diagram) - график, на котором результаты наблюдений представлены в виде кругов, разбитых на сектора.

106 Определения, пояснения Секторная диаграмма (Pie diagram) - график, на котором результаты наблюдений представлены в виде кругов, разбитых на сектора.

107 Типы графиков, доступные в Grapher Круговая диаграмма изображает данные в виде пропорциональных частей круга. Для того, чтобы определить сектор круга каждое значение делится на сумму всех значении.

108 Определения, пояснения Фигурные диаграммы. На таких графиках величины изображаются при помощи фигур (или разных размеров, или разной численности фигур одинакового размера). В первом случае сначала определяется, что соответствует изображаемым числам: линейный размер фигуры (ее высота, длина) или ее площадь. В виде фигур учитывается содержание рассматриваемого явления. Например, численность населения можно изобразить фигурой человека, численность тракторного парка- количеством фигур трактора или размерами трактора.

109 Определения, пояснения В первом случае сначала определяется, что соответствует изображаемым числам: линейный размер фигуры (ее высота, длина) или ее площадь. В качестве фигур учитывается содержание рассматриваемого явления. Например, численность населения можно изобразить фигурой человека, численность тракторного парка - количеством фигур трактора или размерами трактора. Во втором случае построения фигурной диаграммы каждая фигура приравнивается к определенному числу (масштабу, части изображаемой статистической величины), а число одинаковых фигурок приравнивается статистической величине. При этом допускается дробление знака (фигурки) до половины и даже четверти фигурки. Фигурные диаграммы, если они грамотно и хорошо выполнены, фиксируют на себе внимание, очень понятны и доходчивы. Они часто используются как агитационный плакат.

110 Определения, пояснения Во втором случае... каждая фигура приравнивается к определенному числу, а число одинаковых фигурок... Пример фигурной диаграммы – графическое изображение данных о затратах на телерекламу Компьютерных разработок в августе, сентябре и октябре соответственно.

111 Определения, пояснения Цилиндр, пирамида и конус. Для цилиндрических, конических и пирамидальных диаграмм доступны те же типы представлений (с группировкой, с накоплением, нормированная с накоплением и объемная), что и для прямоугольных гистограмм. Они показывают и сравнивают данные аналогичным образом. Различие заключается в том, что эти типы диаграмм вместо прямоугольников содержат цилиндрические, конические и пирамидальные.

112 Определения, пояснения

113 Пузырьковая диаграмма является разновидностью точечной диаграммы с тем отличием, что размер пузырьков представляет значение третьей переменной. Пузырьковая диаграмма (плоская и с объемным эффектом) позволяет сравнить наборы не из двух, а из трех значений. Третье значение определяет размер пузырька. Можно выбрать отображение пузырьков в плоском формате или с объемным эффектом.

114 Типы графиков, доступные в Grapher Создание пузырьковых графиков - показать, как одна дополнительная переменная соотносится с нормальными переменными ХУ или XYZ. Вывод в двух или трех измерениях.

115 Типы графиков, доступные в Grapher

116

117 Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Иностранная литература,, 1965 Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965 Зенкин А. А. Когнитивная компьютерная графика. Под ред. Д. А. Поспелова.- М.: Наука, Гл. ред. физ.- мат. лит., Коэн К.П. Теория множеств и континуум-гипотеза. М. «ЛИБРОКОМ» Когаловский М.Р. Перспективные технологии информационных систем -М.: ДМК Пресс, Когаловский М.Р. Энциклопедия технологий баз данных. - М.: Финансы и статистика, Колмогоров А.Н. Избранные труды в 6 томах. Наука Клини С.К. Введение в метаматематику. – М.: Иностранная литература, 1957 Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математики и ее изучении. М.: Наука, 1977 Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973, Пенроуз Р. Новый ум короля.(2-е изд.) М.: УРСС, Пенроуз Р. Тени разума. /– М.-Ижевск. ИКИ, Пенроуз Р. Путь к реальности, или законы, управляющие Вселенной. Полный путеводитель. М.- Ижевск. ИКИ, НИЦ «РХД», Страуса Ч."Неожиданное применение ЭВМ в чистой математике"(ТИИЭР, т. 62, No 4, 1974, с ) Филинов Е.Н. Проблемы информатики и информационные технологии // Системы и средства информатики,