Лекция 9 РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ. Все сооружения являются пространственными, и на них действуют нагрузки, лежащие в разных плоскостях. Поэтому. - презентация

1 Лекция 9 РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ

2 Все сооружения являются пространственными, и на них действуют нагрузки, лежащие в разных плоскостях. Поэтому и расчетные схемы сооружений должны быть пространственными. 1. Внутренние усилия пространственных систем Как мы знаем, в плоских стержневых системах определяются три внутренних усилия M, Q, N : В пространственных стержневых системах таких усилий шесть: изгибающие моменты M y и M z крутящий момент M x =H поперечные силы Q y и Q z продольная сила N

3 2. Опоры пространственных систем и их реакции Пространственные системы опираются на пространственные опоры, которые имеют свои кинематические и статические особенности. В пространственных системах могут быть 15 типов опор. Из них рассмотрим четыре опоры. Шаровая подвижная опора В расчетной схеме изображается как одна связь, в которой возникает опорная реакция. У этой опоры имеется пять степеней свободы, которые дают возможность поступательных перемещений в двух и поворотов в трех направлениях.

4 Шаровая неподвижная опора В расчетной схеме изображается в виде трех связей с тремя реакциями. У этой опоры есть три степени свободы – возможность поворота в трех направлениях. Шаровая опора на цилиндрических катках В расчетной схеме изображается в виде двух связей с двумя опорными реакциями. У этой опоры имеется четыре степени свободы – одно поступательное перемещение и три поворота.

5 Заделка В расчетной схеме изображается как обычная заделка, в которой возникают три опорные реакции и три реактивных момента. У заделки степеней свободы нет. Кроме рассмотренных здесь, еще имеются 11 различных опор.

6 Реакции статически определимых пространственных систем определяются из шести уравнений равновесия. Имеется четыре варианта записи уравнений равновесия. Из них рассмотрим два варианта. 1. X=0; Y=0; Z=0; M 1 =0; M 2 =0; M 3 =0. Оси x, y, z не должны лежать в одной плоскости и быть параллельными; суммы моментов не обязательно составлять относительно тех же осей. 2. M 1 =0; M 2 =0; M 3 =0; M 4 =0; M 5 =0; M 6 =0. Здесь 1, 2, …, 6 – шесть любых осей в пространстве.

7 2. Кинематический анализ пространственных систем Многие условия и выводы, полученные при кинематическом анализе плоских систем, применимы и при анализе пространственных систем. Но их недостаточно. Потому введем новые понятия и рассмотрим новые способы их анализа. Тело (Т) это геометрически неизменяемая часть пространственной системы. Любое тело без связей имеет шесть степеней свободы – три независимых поступательных перемещения и три поворота. Для их исключения тело нужно закреплять шестью связями. Простейший способ закрепления тела к земле показан на рис., где имеются шаровая подвижная опора A, шаровая опора на цилиндрических катках B и шаровая неподвижная опора C. Из них опора C исключает три поступательных перемещения, опора B – два поворота и опора A – один поворот. Таким образом, получаемая система является ГНС.

8 Связи, соединяющие два тела, могут быть различными. Простейшая связь в виде стержня С имеет вид: Если два тела соединяются шаровым шарниром Ш, то это соединение эквивалентно трем связям: Припайка П, жестко связывающая два тела, эквивалентна шести связям.

9 Если в пространственной системе имеется n Т тел, n Ш шаровых шарниров, n C стержней, опорных связей и n П припаек, то число степеней свободы такой системы определяется по формуле W = 6n Т – 3n Ш – n C – – 6n П. Для геометрической неизменяемости пространственной системы необходимо выполнение условия W 0. Расчет пространственных систем намного сложнее расчета плоских систем. Поэтому изучим только основы расчета ферм.

10 4. Расчет пространственных ферм Кинематический анализ пространственной фермы проводится по формуле W = 3n У – n C –, где n У – число узлов фермы. W 0 необходимое условие геометрической неизменяемости, W=0 необходимое условие статической определимости фермы. Качественный анализ ферм проводится с использованием принципов образования геометрически неизменяемых пространственных систем. Одним из простейших принципов является присоединение к телу триады (шарового шарнира с тремя связями). При его использовании вначале в ферме выделяют простейшее геометрически неизменяемое тело – треугольную пирамиду. Затем к нему последовательно присоединяют отдельные триады. Геометрическую неизменяемость пространственной системы можно проверять методом нулевой нагрузки: если при расчете без нагрузки усилия во всех стержнях и опорные реакции окажутся равными нулю, то система неизменяема, если же возникает неопределенность типа 0/0, система мгновенно изменяема.

11 Изучим два метода расчета пространственных ферм. 1. Метод сечений Применяется при расчете ферм с простейшим образованием. Имеются два его варианта. Метод вырезания узлов. Основан на последовательном вырезании узлов фермы, в которых число неизвестных усилий не больше трех. Составляются три уравнения проекций X=0, Y=0, Z=0 на три оси. Эти оси не должны быть параллельными одной плоскости. На этом методе основан признак определения нулевых стержней: если узел с тремя пересекающимися стержнями не нагружен, то усилия во всех трех стержнях равны нулю. Метод моментной оси. Через ферму проводится сквозное сечение, затем составляется и решается уравнение момента относительно некоторой оси. Моментной осью называется ось, относительно которой составляется уравнение момента. Эта ось выбирается так, чтобы в уравнение вошла только одна неизвестная.

12 2. Метод разложения на плоские фермы Когда стержни фермы располагаются группами на нескольких плоскостях, этот метод дает большой выигрыш в расчетах. Метод разложения на плоские фермы основан на теореме: если силы, действующие на пространственную ферму, лежат в одной плоскости, то усилия во всех стержнях фермы, лежащих вне этой плоскости, равны нулю. Порядок расчета фермы по этому методу состоит в следующем: внешняя нагрузка разлагается на несколько плоскостей; части фермы, лежащие на разных плоскостях, рассчитываются только на нагрузку в своей плоскости; применяется принцип суперпозиции.

13 Например, на следующую ферму нагрузка действует только в двух плоскостях. Следовательно, ее расчет можно свести к расчету только двух плоских ферм. В стержнях фермы, лежащих на третьей плоскости, все усилия равны нулю.

14 В пространственных стержневых системах в общем случае могут возникать шесть внутренних усилий. Поэтому формула вычисления перемещений содержит шесть компонент: 5. Определение перемещений пространственной стержневой системы Вычисление перемещений по этой формуле проводится как обычно для плоских стержневых систем. В пространственных рамах влиянием продольных и поперечных сил обычно пренебрегают и учитывают только первые три члена этой формулы, а в фермах учитывается только последний член. Здесь: индексом P обозначены усилия грузового состояния: надчеркиванием обозначены усилия единичного состояния; – два изгибающих момента и крутящий момент, – две поперечные силы и продольная сила; – моменты инерции относительно осей y,z и полярный момент инерции; – коэффициенты формы сечения; F площадь сечения.

15 6. Расчет пространственных рам методом сил Степень статической неопределимости пространственной рамы определяется по формуле где n к – число замкнутых контуров, n уд – число удаленных связей. Для ферм используется другая формула: где n C – число стержней, – число опорных связей, n У – число узлов. Основная система и канонические уравнения метода сил имеют тот же смысл и вид, как и для плоских рам. Но входящие в них коэффициенты определяются с учетом изгибающих моментов в двух плоскостях и крутящего момента в каждом элементе рамы. Построение промежуточных и окончательных эпюр внутренних усилий и их проверка такие же, как и при расчете плоских рам.