4.5 Решение задач на пропорции Школа 2100 school2100. ru Презентация для учебника Козлова С. А., Рубин А. Г. «Математика, 6 класс. Ч. 1» ГЛАВА IV ПРОПОРЦИИ

За 1,5 кг гречневой крупы заплатили 30 р. Сколько придётся заплатить за 20 кг такой же крупы? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 1 Масса и стоимость товара – прямо пропорциональные величины, поэтому условие этой задачи можно записать так: Найдём неизвестный член пропорции:

Шесть рабочих выполнили некоторую работу за 18 дней. За сколько дней выполнят эту же работу 9 рабочих, если будут работать с такой же производительностью? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 2 Число рабочих и продолжительность работы – обратно пропорциональные величины, поэтому условие этой задачи можно записать так: Найдём неизвестный член пропорции:

Можно сказать так: разделить число в отношении m : n значит разделить его на две части, прямо пропорциональные числам m и n. Решение задач на пропорции Задача на деление числа в данном отношении

Разделить число 84 в отношении 7 : 5. Решение задач на пропорции ПРИМЕР 3: Первое решение Пусть первая часть равна х, тогда вторая часть равна 84 – х. Составляем пропорцию. Тогда 7 (84 – х) = 5 х; 588 – 7 х = 5 х. 5 х + 7 х = х = 588; х = 588 : 12; х = 49. Тогда 84 – х = 35.

Разделить число 84 в отношении 7 : 5. Решение задач на пропорции ПРИМЕР 3: Второе решение Если два числа относятся, как m : n, то удобно считать, что первое число содержит m частей, а второе число – n таких же частей. Это можно сказать и так: первое число равно m · х, а второе равно n · х. (По сути, мы обозначили через х одну часть.)

Разделить число 84 в отношении 7 : 5. Решение задач на пропорции ПРИМЕР 3: Второе решение Обозначим первую часть 7 х, а вторую 5 х. Тогда 7 х + 5 х = 84, Отсюда 12 х = 84; х = 7, следовательно, 7 х = 49; 5 х = 35. Это решение может быть распространено на несколько чисел.

Разделить число 84 в отношении 7 : 5 : 2. Решение задач на пропорции ПРИМЕР 4: Первое решение Прежде всего следует узнать, какое число приходится на одну часть. Общее количество частей равно = 14, поэтому на одну часть приходится Последовательно умножив 6 на 7, 5, 2, получим соответственно 42, 30, 12.

Разделить число 84 в отношении 7 : 5 : 2. Решение задач на пропорции ПРИМЕР 4: Первое решение Очевидно, что: То есть число 84 разделили на три части х, y, z так, что первая часть относится к числу 7 так, как вторая к числу 5, а третья к числу 2:

Решение задач на пропорции ПРИМЕР 4: Первое решение Таким образом, деление в заданном отношении – это деление на части прямо пропорционально заданному ряду чисел.

Разделить число 84 в отношении 7 : 5 : 2. Решение задач на пропорции ПРИМЕР 4: Второе решение Решим эту задачу при помощи пропорции. Обозначим искомые части числа 84 через х, y, z.

В некоторых задачах возникает необходимость разбить число на несколько частей не прямо пропорционально заданным числам, а обратно пропорционально. Решение задач на пропорции Разбиение числа обратно пропорционально заданным числам Разбить число обратно пропорционально числам n, m, k – всё равно что разделить его прямо пропорционально числам При разбиении числа на две части правило можно сформулировать ещё проще: разбить число обратно пропорционально числам n и m – всё равно что разделить его прямо пропорционально m и n.

Первый велосипедист движется со скоростью 10 км/ч, второй – 9 км/ч. Они отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 95 км. Какой путь проехал до встречи каждый из них? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 5 Поскольку велосипедисты были в пути одно и то же время, а при постоянном времени расстояние прямо пропорционально скорости, то разделим 95 км в отношении 10 : 9. Первый велосипедист проехал: 95 : (10 + 9) · 10 = 95 : 19 · 10 = 50 км. Второй велосипедист проехал: 95 : (10 + 9) · 9 = 95 : 19 · 9 = 45 км.

Первая машинистка печатает 10 страниц в час, вторая – 9 страниц в час. Как разделить между ними рукопись в 95 страниц, чтобы они закончили работу одновременно? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 6 Поскольку объём работы прямо пропорционален производительности (при одинаковом времени), то заданный объём работы (95 страниц) нужно разделить прямо пропорционально производительностям машинисток, то есть в отношении 10 : 9.

Первая машинистка печатает 10 страниц в час, вторая – 9 страниц в час. Как разделить между ними рукопись в 95 страниц, чтобы они закончили работу одновременно? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 6 Первая машинистка должна получить: 95 : (10 + 9) · 10 = 95 : 19 · 10 = 50 страниц. Вторая машинистка должна получить: 95 : (10 + 9) · 9 = 95 : 19 · 9 = 45 страниц.

Два велосипедиста отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 27 км. Какой путь проехал до встречи каждый из велосипедистов, если известно, что первый велосипедист проезжает за 4 ч такое же расстояние, какое второй проезжает за 5 ч? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 7 Из примера 5 известно, что расстояние – 27 км нужно разделить прямо пропорционально скоростям велосипедистов. Но скорости велосипедистов нам неизвестны! Зато мы знаем, что при данном расстоянии скорость обратно пропорциональна времени.

Два велосипедиста отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 27 км. Какой путь проехал до встречи каждый из велосипедистов, если известно, что первый велосипедист проезжает за 4 ч такое же расстояние, какое второй проезжает за 5 ч? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 7 Таким образом, 27 км нужно разделить обратно пропорционально числам 4 и 5, то есть прямо пропорционально числам 5 и : (4 +5) · 5 = 15 км проехал до встречи первый велосипедист; 27 : (4 + 5) · 4 = 12 км проехал до встречи второй велосипедист.

Первая машинистка перепечатывает рукопись в 420 страниц за 3 дня, а вторая – за 4 дня. Сколько страниц рукописи нужно дать каждой машинистке, чтобы они закончили работу одновременно? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 8 Из примера 6 известно, что рукопись нужно разделить прямо пропорционально производительностям машинисток. Но производительность обратно пропорциональна времени. Таким образом, 420 страниц нужно разделить между первой и второй машинистками обратно пропорционально числам 3 и 4, то есть прямо пропорционально числам 4 и 3.

Первая машинистка перепечатывает рукопись в 420 страниц за 3 дня, а вторая – за 4 дня. Сколько страниц рукописи нужно дать каждой машинистке, чтобы они закончили работу одновременно? Решение задач на пропорции ПРИМЕР : (3 + 4) · 4 = 240 страниц следует отдать первой машинистке; 420 : (3 + 4) · 3 = 180 страниц следует отдать второй машинистке.

Одновременно из пунктов А и В, расстояние между которыми 14 км, друг за другом отправились пешеход и велосипедист. Скорость пешехода равна 5 км/ч, а скорость велосипедиста 12 км/ч. На каком расстоянии от пункта В велосипедист догонит пешехода? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 9 Раньше мы решали такие задачи, находя скорость сближения: 12 – 5 = 7 (км/ч). Таким образом, велосипедист догонит пешехода через 14 : 7 = 2 (ч) после старта. Пешеход за это время пройдёт 5 · 2 = 10 (км).

Одновременно из пунктов А и В, расстояние между которыми 14 км, друг за другом отправились пешеход и велосипедист. Скорость пешехода равна 5 км/ч, а скорость велосипедиста 12 км/ч. На каком расстоянии от пункта В велосипедист догонит пешехода? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 9 Рассмотрим теперь решение с помощью пропорции. Пусть велосипедист догнал пешехода на расстоянии х км от точки В.

Одновременно из пунктов А и В, расстояние между которыми 14 км, друг за другом отправились пешеход и велосипедист. Скорость пешехода равна 5 км/ч, а скорость велосипедиста 12 км/ч. На каком расстоянии от пункта В велосипедист догонит пешехода? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 9 При данном времени расстояние прямо пропорционально скорости, то запишем это так:

Одновременно из пунктов А и В, расстояние между которыми 14 км, друг за другом отправились пешеход и велосипедист. Скорость пешехода равна 5 км/ч, а скорость велосипедиста 12 км/ч. На каком расстоянии от пункта В велосипедист догонит пешехода? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 9 Отсюда 12 х = 5 (14 + х); 12 х = х. Слагаемое 70 равно разности суммы 12 х и слагаемого 5 х: 12 х – 5 х = 70; 7 х = 70; х = 10.

Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, одновременно с ним из пункта В в пункт А направился пешеход, причём скорость пешехода в 3 раза меньше скорости велосипедиста. За какое время прошёл расстояние от А до В пешеход, если известно, что он встретил велосипедиста через 1,5 ч после начала движения? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 10 Расстояния, преодолённые велосипедистом и пешеходом от начала движения до встречи, прямо пропорциональны их скоростям.

Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, одновременно с ним из пункта В в пункт А направился пешеход, причём скорость пешехода в 3 раза меньше скорости велосипедиста. За какое время прошёл расстояние от А до В пешеход, если известно, что он встретил велосипедиста через 1,5 ч после начала движения? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 10 Значит, велосипедист проехал до встречи с пешеходом в 3 раза большее расстояние, чем прошёл пешеход.

Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, одновременно с ним из пункта В в пункт А направился пешеход, причём скорость пешехода в 3 раза меньше скорости велосипедиста. За какое время прошёл расстояние от А до В пешеход, если известно, что он встретил велосипедиста через 1,5 ч после начала движения? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 10 А это, в свою очередь, означает, что пешеходу после встречи с велосипедистом осталось пройти расстояние в 3 раза большее, чем он прошёл до встречи.

Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, одновременно с ним из пункта В в пункт А направился пешеход, причём скорость пешехода в 3 раза меньше скорости велосипедиста. За какое время прошёл расстояние от А до В пешеход, если известно, что он встретил велосипедиста через 1,5 ч после начала движения? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 10 Поскольку при постоянной скорости время прямо пропорционально расстоянию, то это займёт у него 3 · 1,5 = 4,5 (ч).

Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, одновременно с ним из пункта В в пункт А направился пешеход, причём скорость пешехода в 3 раза меньше скорости велосипедиста. За какое время прошёл расстояние от А до В пешеход, если известно, что он встретил велосипедиста через 1,5 ч после начала движения? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 10 Таким образом, от В до А пешеход шёл 1,5 + 4,5 = 6 (ч).

Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, одновременно с ним из пункта В в пункт А направился пешеход, причём скорость пешехода в 3 раза меньше скорости велосипедиста. За какое время прошёл расстояние от А до В пешеход, если известно, что он встретил велосипедиста через 1,5 ч после начала движения? Решение задач на пропорции ПРИМЕР 10 Можно было рассуждать и по-другому: из рисунка видно (и это вытекает из пропорциональности величин), что расстояние от В до А в 4 раза больше, чем расстояние от В до места встречи, а значит, и время движения то же в 4 раза больше, то есть составляет 1,5 · 4 = 6 (ч).

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ Ответьте на следующие вопросы: Делимость. Свойства делимости ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ За 3 кг риса заплатили 50 р. Сколько придётся заплатить за 39 кг такого же риса? Решение задач на пропорции Десять рабочих выполнили некоторую работу за 36 дней. За сколько дней выполнят эту же работу 18 рабочих, если будут работать с такой же производительностью? Разделить число 559 в отношении 15 : 8 : 9 : 11. Одновременно из пунктов А и В, расстояние между которыми 91 км, друг за другом отправились пешеход и велосипедист. Скорость пешехода равна 4 км/ч, а скорость велосипедиста 9 км/ч. На каком расстоянии от пункта В велосипедист догонит пешехода? Первая машинистка перепечатывает рукопись в 780 страниц за 10 дней, а вторая – за 15 дней. Сколько страниц рукописи нужно дать каждой машинистке, чтобы они закончили работу одновременно?