Алгебра 8 класс

Немного истории Еще в древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений. Диофант Александрийский, Аль- Хорезми. Евклид Омар Хайям Решали уравнения геометрическими и графическими способами

Для графического решения квадратного уравнения представьте его в одном из видов: ax 2 + bx +c = 0 ax 2 = -bx – c ax 2 + c = - bx a(x + b/2a) 2 = ( 4ac - b 2 )/4a Квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0

Алгоритм графического решения квадратных уравнений Ввести функцию f(x), равную левой части и g(x), равную правой части Построить графики функций y=f(x) и y=g(x) на одной координатной плоскости Отметить точки пересечения графиков Найти абсциссы точек пересечения, сформировать ответ

Способы графического решения квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 Способ поcтрое- ния параболы y=ах² +bx+c Способ поcтрое- ния прямой у= bx+c и параболы у = ах² Способ поcтрое- ния прямой у= bx и параболы у = ах²+с Способ выделения полного квадрата I II III (a) (b) Способ поcтрое- ния прямой у= с и параболы у = ах²+ bx (в)(в)

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.

Графическое решение квадратного уравнения Иллюстрация на одном примере

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом Способ 1 Построить график функции y=ax 2 +bx+c Найти точки пересечения графика с осью абсцисс

Решить уравнение 1 способ Построим график функции у = 1.График-парабола, а=1>0,ветви вверх. 2. Вершина ( ) =- Х ο = 1 (1; -4)-вершина 3. Ось параболы 4. Дополнительные точки: х у Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения графика с осью х, т.е. где у=0. Значит, корни уравнения -1 и 3. Проверка устно. Ответ: -1; х 3 о у

Алгоритм построения параболы найти координаты вершины; провести ось параболы; отметить на оси абсцисс две точки, симметричные относительно оси параболы; найти значения функции в этих точках; провести параболу через полученные точки.

Пусть f(x)= x 2 – 2x -3 и g(x) = 0 а = 1>0, ветви вверх Координаты вершины x ۪۪ ο =-b/2a; x ۪۪ ο =1. y ο = 1² - 2 – 3 = -4; y ο = -4; ( 1; -4) Найти точки абсциссы которых симметричны относительно х=1 Построить по таблице график y=x 2 -2x -3 Примеры графического решения квадратных уравнений x023 y Решение уравнения x 2 -2x –3=0 Корни уравнения равны абсциссам точек пересечения параболы с осью ОХ у=x 2 – 2x -3

Графический способ решения квадратных уравнений Парабола и прямая касаются Парабола и прямая пересекаются Квадратное уравнение имеет два равных корня Квадратное уравнение не имеет корней Квадратное уравнение имеет два различных корня Парабола и прямая не пересекаются и не касаются

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом Способ 2(а) Построить графики функции y=ax 2 и у = bx+ с Найти абсциссы точек пересечения графиков.

x 2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x 2 = 2x +3 Пусть f(x)=x 2 и g(x)=2x +3 Построим на одной координатной плоскости графики функций y=x 2 иy= 2x Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой

2 способ Преобразуем уравнение к виду Построим в одной системе координат графики функций - это парабола -это прямая х у Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения: -1 и 3 Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения: -1 и 3

4 x 2 – 4x + 1 =0 Представим в виде 4x 2 = 4x -1 1). Построим графики функций: у = 4 x 2, у = 4x - 1 2). Строим параболу у = 4 x 2 а = 4, ветви вверх х ο = - ; х ο= 0; ; у ο= 0. По шаблону строим параболу 3). Строим прямую у = 4x - 1 x01 y ,5 Корнем уравнения является абсцисса точки пересечения: 0,5 -1 у х

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом Способ 2 (b) Преобразовать уравнение к виду ax 2 +с = bx Построить: параболу y = ax 2 +с и прямую y = bx Найти абсциссы точек пересечения графиков функции.

x 2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x 2 –3 = 2x Пусть f(x)=x 2 –3 и g(x)=2x Построим на одной координатной плоскости графики функций y=x 2 –3 и y =2x 3 Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой y=x 2 –3 y =2x

x 2 – 4x + 5 =0 Представим в виде x 2 +5 = 4x Пусть f(x)=x 2 +5 и g(x)=4x Построим на одной координатной плоскости графики функций y=x 2 +5 и y =4x Точек пересечения параболы с прямой нет Ответ: корней нет y=x 2 +5 y =4x y x о

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом Способ 2(в) Построить графики функции y=ax 2 + bx и у = с Найти абсциссы точек пересечения графиков.

x 2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x 2 – 2x = 3 Пусть f(x)= х² - 2 х и g(x)=3 Построим на одной координатной плоскости графики функций y= х² - 2 х и y=3 3 Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой y=3 y= х² - 2 х y х о 2 3

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом Способ 3 (выделение полного квадрата) Преобразовать уравнение к виду a(x+l) 2 = m Построить: параболу y = a(x+l) 2 и прямую y = m Найти абсциссы точек пересечения графиков функций.

Выделение квадрата двучлена. x 2 – 2x + 1 = ( x –1) 2 =4. x 2 – 2x = 3 ( x –1) = 0 ( x –1) 2 - 2² = 0 ( x –1 – 2) ( x –1 + 2 ) = 0 ( x –3 ) ( x + 1 ) = 0 x –3 = 0 x + 1 = 0 x = 3 x = - 1

x 2 – 2x – 3 =0 Представим в виде (x –1) 2 =4 Пусть f(x)= (x – 1) 2 и g(x)=4 Построим на одной координатной плоскости графики функций y= (x –1) 2 и y=4 3 Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой y=4 y= (x –1) 2

Решите графически уравнение Группа А Бычев Андрей Ерофеева Ксения Каминская Света Лобов Егор Лукьяненко Вероника Осипов Павел Циорба Влад Группа С Григорьева Катя Соловьев Илья Группа В Баличев Илья Помигуев Павел Фролов Саша х² + 2 х – 8= 0 4 х² - 8 х + 3= 0 3 х² + 2 х – 1= 0

Сколько нам открытий чудных готовит просвещения дух?

Решить графически уравнение

Как решить уравнение? Построить график квадратичной функции и абсциссы точек пересечения параболы с осью x будут являться корнями уравнения. Выполнить преобразование уравнения, рассмотреть функции, построить графики этих функций, установить точки пересечения графиков функций, абсциссы которых и будут являться корнями уравнения.

Решить графически уравнение

Построить график функции

Корни уравнения: абсциссы точек пересечения графиков функций

Построить график функции Корни уравнения: точки пересечения параболы с осью ОХ

Решить графически уравнение Корни уравнения: точки пересечения параболы и прямой

Решить графически уравнение Корни уравнения: точки пересечения параболы и прямой

Итог Познакомились: с графическим методом решения квадратных уравнений; с различными способами графического решения квадратных уравнений. закрепили знания по построению графиков различных функций.

Заключительное слово учителя: «Чем больше и глубже вам удастся усвоить азы математики и научиться пользоваться ее методами, тем дальше и быстрее вы сумеете продвинуться в использовании математических средств в той области деятельности, которой займетесь после школы»