Урок по теме: «Прогрессии» Попова Ольга Николаевна Учитель математики МОУ гимназии 1 г. Липецка 2011

«Прогрессио движение вперед». Закончился двадцатый век. Куда стремится человек? Изучен космос и моря, Строенье звезд и вся земля. Но математиков зовет Известный лозунг:

Тема урока э к с П о н е н т а р е к у Р р е н т н ы й ф О р м у л а м а Г н и ц к и й Р а з н о с т ь з н а м Е н а т е л ь С у м м а п о С л е д о в а т е л ь н о с т ь И н д е к с а н а л И т и ч е с к и й

Знаменатель геометрической прогрессии 11 Формула n-го члена арифметической прогрессии 10 Формула среднего геометрического 9 Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии 8 Формула среднего арифметического 7 Рекуррентное задание геометрической прогрессии 6 Формула суммы nпервых членов арифметической прогрессии 5 Разность арифметической прогрессии 4 Формула n-го члена геометрической прогрессии 3 Рекуррентное задание арифметической прогрессии 2 Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии 1

Проверь себя!

Обобщающая таблица Прогрессии Арифметическая Геометрическая Определение Формула n-го члена прогрессии Сумма n первых членов прогрессии Свойства

Ямб - это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2. Прогрессии в литературе Ямб «Мой д Ядя с Амых ч Естных пр Авил...» Прогрессия: 2; 4; 6; 8... Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями!

Ямб Я помню чудное мгновенье... Прогрессии в литературе Унылая пора, очей очарованье...

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7... С первым членом 1 и разностью прогрессии 2. Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7... С первым членом 1 и разностью прогрессии 2. Прогрессии в литературе Хорей «Я пропп Ал, как зв Ерь в загс Оне» Б. Л. Пастернак Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...

Классический хорей: Листья падают в саду… В этот старый сад, бывало, Ранним утром я уйду И блуждаю, где попало. (И.Бунин) Вот ещё хорей (тоже из Бунина): Яблони и сизые дорожки, Изумрудно-яркая трава На берёзах серые серёжки И ветвей плакучих кружева. Прогрессии в литературе

Хорей Буря мглою небо кроет...

НАЗАД, В ИСТОРИЮ! Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях. На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э)

Прогрессии в древности Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.

Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы: Древняя Греция

Древний Египет Задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры» Формула, которой пользовались египтяне:

Задача из папируса Райнда «У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

Решение задачи Людей всего 7, кошек 7 2 = 49, они съедают всего 7 3 = 343 мыши, которые съедают всего 7 4 = 2401 колосьев, из них вырастает 7 5 = мер ячменя, в сумме эти числа дают

Англия XVIII век В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий: Арифметическая Геометрическая

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников. Задача - легенда

-Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь. - Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее. Сета молчал. -Не робей, - ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его. -Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу. -Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, -сказал царь. Мудрец поклонился.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. -Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно. -Простое пшеничное зерно? – изумился царь. -Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую -32…

-Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей. Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться у ворот дворца.

Стоит ли царю смеяться?

Решение задачи - легенды Её сумма равна Дано ; 1, 2, 4, 8, 16… Найти:

Наградой должно было быть восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать зёрен. Если всё это зерно засыпать в амбар высотой 4 метра и шириной 10 метров, то длина амбара была бы вдвое больше, чем расстояние от Земли до Солнца...

Вывод Вывод Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться. Такое количество зёрен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Задача из арифметики Магницкого Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил ее продавцу, говоря: «Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: "Если по-твоему цена лошади высока, то купи её подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за второй-1/2 коп., за третий-1 коп., и т.д. Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

Решение задачи из арифметики Магницкого 1. Составим последовательность чисел 2. Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q =2, n = 24, (4 подковы по 6 гвоздей) 3. Попытаемся подсчитать сумму 5. Имеем 4. Зная формулу

БАКТЕРИИ В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Указать количество бактерий, рожденных одной бактерией за 7 минут.

Решение Зная формулу Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q =2, n = 7. Получаем м

Самостоятельная работа ( тест) n anan Рис Про арифметическую прогрессию (а n ) известно, что а 7 = 8, а 8 = 12. найдите разность арифметической прогрессии. А) -4Б) 4В) 20Г) 3 2. Геометрическая прогрессия задана формулой. Найдите знаменатель геометрической прогрессии. Б) 18В) 3Г) 9 3. Члены арифметической прогрессии изображены (рис.1) точками на координатной плоскости. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии? А) -7В) 12Г) Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии 4; 8; … А) - 254Б) 508В) 608Г) Часть I ( 0,5 балла ) А) -3 Б) 6

5. Последовательность а n задана формулой Найдите номер члена последовательности, равного 7. Г) - 4А) 4Б) - 2В) 2 Часть II (задания на 2 балла) 6. В геометрической прогрессии (b n ) b 1 = 8, b 3 = 24. Найдите b 5. ( для q > 0 ) (задания на 3 балла) 7. Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 11. Третий её член на 6 больше первого. Найдите второй и четвёртый члены. Количество набранных баллов оценка 1,5 - 2«3» 2,5 – 4,5«4» 5 – 7,5«5» b 5 = 72Ответ: а 2 =1; а 4 = 7,

Домашнее задание Узнайте автора строк, решив предложенные задания Вариант 1 Что есть больше всего на свете? – Пространство. Что быстрее всего? – Ум. Что мудрее всего? – Время. Что приятнее всего? – Достичь желанного. Вариант 2 Именно математика в первую очередь защищает нас от обмана чувств… Эта наука дает надежнейшие правила. Кто им следует, тому не опасен обман чувств. Вариант 3 Математика является самой древней из всех наук, вместе с тем она остается вечно молодой. Вариант 4 Я утверждаю, что в каждой науке можно найти собственно науку лишь постольку, поскольку в ней можно встретить математику.

Оцените свои знания и умения на конец урока. Был ли полезен урок для каждого из вас? Чем?