Харьковский колледж Государственного университета Телекоммуникации Решение систем линейных алгебраических уравнений Группа К-11 Стариков Владислав Александрович Харьков-2015

Для решения СЛАУ на компьютерах традиционно используются две группы численных методов, которые представлены на рисунке:

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида: где a ij и b i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x 1,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1,…,b m называются свободными членами. Совокупность n чисел c 1,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1,…,x n. Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы.

При этом могут возникнуть три ситуации: Система может иметь единственное решение. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. если бы решение существовало, то x 1 + x 2 равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной. Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда, пользуясь определением равенства матриц, данную систему можно записать в виде: или короче AX=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением. Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1, обратную матрице A:. Поскольку A -1 A = E и EX = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B. Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B.

Пример: Решить систему уравнений матричным методом Итак, х 1 =4,х 2 =3,х 3 =5.

ПРАВИЛО КРАМЕРА Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными: Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Теорема (правило Крамера) Если определитель системы Δ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Пример: Решить систему уравнений методом Крамера Итак, х=1, у=2, z=3.

МЕТОД ГАУССА Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1. Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на –а 11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на –а 11, а затем сложим с первым.

В результате исходная система примет вид: Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2. Для этого третье уравнение разделим на, умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений: Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3, затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го – x 1.

При использовании метода Гаусса уравнения, при необходимости, можно менять местами. Часто, вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы: и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования: перестановка строк или столбцов; умножение строки на число, отличное от нуля; прибавление к одной строке (столбцу) других строк (столбцов), умноженных на любое число; отбрасывание нулевой строки (столбца); транспонирование.

Пример: Решить систему уравнений методом Гаусса

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь:

До сих пор я рассматривал системы, которые совместны и имеют единственное решение. Такие системы можно решить любым способом: по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса. Однако на практике широко распространены еще два случая:по формулам Крамера, матричным методом Гаусса – Система несовместна (не имеет решений); – Система совместна и имеет бесконечно много решений. Примечание: термин «совместность» подразумевает, что у системы существует хоть какое-то решение. В ряде задач требуется предварительно исследовать систему на совместность. Для этих систем применяют наиболее универсальный из всех способов решения – метод Гаусса (в высшей математике принято использовать гауссовский метод последовательного исключения неизвестных).

Пример Решить систему линейных уравнений Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – меньше, чем количество переменных. Если количество уравнений меньше, чем количество переменных, то сразу можно сказать, что система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. И это осталось только выяснить.

Начало решения совершенно обычное – запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) На левой верхней ступеньке нам нужно получить +1 или –1. Таких чисел в первом столбце нет, поэтому перестановка строк ничего не даст. Единицу придется организовать самостоятельно, и сделать это можно несколькими способами. Я поступил так: К первой строке прибавляем третью строку, умноженную на –1. (2) Теперь получаем два нуля в первом столбце. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 5. (3) После выполненного преобразования всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли упростить полученные строки? Можно. Вторую строку делим на 2, заодно получая нужную –1 на второй ступеньке. Третью строку делим на –3. (4) К третьей строке прибавляем вторую строку. Наверное, все обратили внимание на нехорошую строку, которая получилась в результате элементарных преобразований: Ясно, что так быть не может.

Перепишем полученную матрицу обратно в систему линейных уравнений: Если в результате элементарных преобразований получена строка вида, где – число, отличное от нуля, то система несовместна (не имеет решений). Если же по условию требуется ИССЛЕДОВАТЬ систему на совместность, тогда необходимо оформить решение с привлечением понятия ранга матрицы и теоремы Кронекера-Капелли.ранга матрицы и теоремы Кронекера-Капелли

Литература 1. Высшая математика для экономистов /под.ред. А.Н. Романова. Учебник для ВУЗов. М.: ЮНИТИ с. 2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, – 664 с. 3. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Е. З. Численные методы анализа. – М.: Мир, 1967Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука, Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических ВУЗов. М.: Высшая школа с., ил. 5. Згуровський М.З., Коваленко І.І., Міхайленко В.М. Вступ до компютерних, інформаційних технологій: Навч.посіб. – К.: Вид-во Європ. ун-ту (фінанси, інформ. системы, менеджм. і бізнес), с. 6. Лукянова В.В. Компютерний аналіз даних: Посібник. – К.: Видавничий центр Академія, – 344 с. (Альма-матер)

Благодарю за внимание!